7.2023年莱芜区学业水平第一次模拟试题-2023年山东省济南市中考一模数学试题

— 37 — — 38 — — 39 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. -7 的倒数是 (　 　 ) A. -7　 B. 7　 C. 1 7 　 D. - 1 7 2. 如图是某几何体的三视图,该几何体是 (　 　 ) A. 长方体　 B. 圆锥　 C. 三棱柱　 D. 圆柱 第 2 题图 　 　 　 　 第 4 题图 3. 2022 年 11 月 29 日,搭载神舟十五号载人飞船的长征二号 F 遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心发 射,11 月 30 日 3 名航天员进驻中国空间站,会师神舟十四号乘组,两个航天员乘组首次实现“太空 会师” . 神舟十五号飞船远地点高度约 361 900 m,近地点高度约 200 000 m. 将数据 361 900 用科学 记数法并保留三位有效数字表示为 (　 　 ) A. 0. 362×106 　 B. 36. 2×104 　 C. 3. 62×105 　 D. 3. 619×105 4. 如图,AB∥DE,点 C 在 AB 上,CE 平分∠BCD. 若∠BCE= 65°,则∠D 的度数为 (　 　 ) A. 90°　 B. 80°　 C. 79°　 D. 50° 5. 我国新能源汽车发展迅猛,下列新能源汽车标志既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (　 　 ) A. 蔚来 　 　 B. 零跑 　 C. 小鹏 　 D. 哪吒 6. 实数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子成立的是 (　 　 ) A. -3a>-3b　 B. | a | < | b | 　 C. a+b>0　 D. b a >0 7. 某学校成立了 A,B,C 三个志愿者小组,在“学雷锋活动月”,利用周末时间到“残障儿童服务站”举 行献爱心活动. 如果小明和小刚每人随机选择参加其中一个小组,那么他们恰好选到同一个小组的 概率是 (　 　 ) A. 1 9 　 B. 1 6 　 C. 1 3 　 D. 2 3 8. 如果 a2 -2a-1 = 0,那么代数式 4 a -a( ) · a 2 a+2 的值为 (　 　 ) A. -3　 B. -1　 C. 1　 D. 3 9. 如图,在△ABC 中,∠ABC = 90°,∠BAC = 2∠C,AB = 6,分别以点 A,C 为圆心,以大于 1 2 AC 的长为半 径画弧,两弧相交于 D,E 两点,作直线 DE 交 AC 于点 M,交 BC 于点 N,连接 AN. G 为 AN 上一动点, 过点 G 作 GF⊥AB,垂足为 F,连接 GB,则 GF+GB 的最小值为 (　 　 ) A. 3　 B. 3 3 　 C. 6　 D. 6 3 10. 已知点 A(n,y1),B(n+2,y2)在抛物线 y=mx2 -2mx+m-2(m>0)的对称轴的同侧,当 | y1 -y2 | = 2 时, m 的取值范围是 (　 　 ) A. 0<m≤ 1 2 　 B. 1 2 <m<2　 C. 1 2 ≤m≤2　 D. 0<m≤2 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 因式分解:2a2 -8a+8 = . 12. 如果小球在如图所示的地板上自由滚动,并随机停留在某块方砖上,那么它最终停留在阴影区域的 概率是 . 第 12 题图 　 　 　 　 第 15 题图 13. 一个多边形的每个外角都是 60°,则这个多边形的对角线共有 条. 14. 代数式 x 2x-3 的值比代数式 2 3-2x 的值大 4,则 x= . 15. 如图,已知正方形 ABCD,E 是边 AB 上一动点,将正方形 ABCD 沿 DE 折叠,点 A 的对应点为点 G. 若 △ABG 是以 AB 为底的等腰三角形,则∠ADE 的度数为 . 16. 对数的定义:一般地,若 ax =N(a>0,a≠1),则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作:x = logaN. 比如指数 式 24 = 16 可以转化为 4 = log216,对数式 2 = log525 可以转化为 52 = 25. 我们根据对数的定义可得到 对数的一个性质:loga(M·N)= logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0) . 理由如下:设 logaM =m,logaN =n,则 M= am,N = an . ∴ M·N = am ·an = am+n . 由对数的定义,得 m+n = loga(M·N) . 又∵ m+n = logaM+logaN,∴ loga(M·N)= logaM+logaN. 类似地,还可以证明对数的另一个性质:loga M N = logaM- logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0) . 请利用以上内容计算:log318+log32-log34 = . 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算:(π-2 023) 0 + | 1- 3 | -2cos 30°+ 1 2( ) -1 . 18. (6 分)解不等式组: x 2 >x -1 3 , x-3(x-2)≥4, ì î í ï ï ïï 并写出它所有的整数解. 19. (6 分)如图,在▱ABCD 中,点 E,F 在对角线 AC 上,且 DE∥BF. 求证:BF=DE. 20. (8 分)读书是文化建设的基础,为了充分发挥读书启智润心的正能量,十四届政协委员林丽颖建议 设立了“国家读书日”,让读书成为一种有品质的生活方式,成为新时代的新风尚. 某社区设立了家 庭成年人阅读问卷调查,社区管理人员随机抽查了 30 户家庭进行问卷调查,将调查结果分为 4 个 等级:A,B,C,D. 整理如下: 下面是家庭成年人阅读时间在 1≤x<2 小时内的数据: 1,1. 2,1. 3,1. 5,1. 2,1,1. 5,1. 4,1. 7,1. 2,1. 2,1,1. 8,1. 6,1. 5. 家庭成年人阅读时间统计表 等级 阅读时间 /时 频数 A 0≤x<1 12 B 1≤x<1. 5 a C 1. 5≤x<2 b D x≥2 3 合计 30 　 　 家庭成年人阅读时间扇形统计图 请结合以上信息回答下列问题: (1)统计表中的 a= ,b= ; (2)B 组数据的众数是 ,中位数是 ; (3)扇形统计图中 C 组对应扇形的圆心角为 度,m= ; (4)该社区宣传管理人员有 1 男 2 女,要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动,请用树状图法 或列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率. 7 2023 年莱芜区学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 40 — — 41 — — 42 — 21. (8 分)某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔 CD 的高度,已知信号塔与斜坡 AB 的坡顶 B 在同一水平面上,兴趣小组的同学在斜坡底 A 处测得塔顶 C 的仰角为 45°,然后他们沿着坡度为 1 ∶ 2. 4 的斜坡 AB 爬行了 26 米,在坡顶 B 处又测得该塔塔顶 C 的仰角为 66°. (1)求坡顶 B 到地面 AE 的距离; (2)求联通信号发射塔 CD 的高度(结果精确到 1 米) . (参考数据:sin 66°≈0. 91,cos 66°≈0. 41,tan 66°≈2. 25) 22. (8 分)如图,在△ABC 中,以 AB 为直径的☉O 与 BC 相交于点 D,DE 是☉O 的切线,DE⊥AC 于点 E. (1)求证:AB=AC; (2)若☉O 的半径为 4,∠C= 30°,求 AE 的长. 23. (10 分)“五一”劳动节马上来了,为了抓住“五一”小长假的旅游商机,某旅游景点决定购进 A,B 两 种纪念品,购进 A 种纪念品 10 件、B 种纪念品 4 件,共需 1 200 元;购进 A 种纪念品 5 件、B 种纪念 品 8 件,共需 900 元. (1)购进 A,B 两种纪念品每件各需要多少元? (2)若购买两种纪念品共 200 件,并且购买 B 种纪念品的数量不大于 A 种纪念品数量的 3 倍. A 种 纪念品每件获利 30 元,B 种纪念品每件的获利是进价的八折,请设计一个方案:怎样购进 A,B 两种 纪念品获得的总利润最大? 最大总利润是多少? 24. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,双曲线 y= k x (x>0)经过 B,C 两点,△ABC 是直角三角形,AC∥ x 轴,AB∥y 轴,点 A(8,4),AC= 3. (1)求反比例函数的表达式及点 B 的坐标; (2)M 是 y 轴正半轴上的动点,连接 MB,MC; ①求 MB+MC 的最小值; ②N 是反比例函数 y= k x (x>0)图象上的一点,若△CMN 是以 CN 为直角边的等腰直角三角形,求所 有满足条件的点 N 的坐标. 25. (12 分)如图 1,△ACB 是等腰直角三角形,∠ACB= 90°,点 D 在△ACB 的内部,连接 CD,将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90°,得到线段 CE,连接 DE,BD,AE. (1)判断线段 AE 与 BD 的数量关系并给出证明; (2)如图 2,当 B,D,E 三点在同一条直线上时,写出线段 BE,CE,AE 的数量关系为 　 ; (3)如图 3,若 AC= 2,DC= 1. 2,F 是线段 AB 的中点,当 E,D,F 三点在同一条直线上时,连接 BD. 求 BD 的长度. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 26. (12 分)抛物线 y= - 1 2 x2 +(a-1)x+2a 与 x 轴交于 A(b,0),B(4,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,c),P 是抛物线在第一象限内的一个动点,且在对称轴的右侧. (1)求 a,b,c 的值; (2)如图 1,连接 BC,PA,交点为 M,连接 PB. 若 S△PMB S△AMB = 1 4 ,求点 P 的坐标; (3)如图 2,在(2)的条件下,过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E,将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE′,旋转角为 α(0°<α<90°),连接 BE′,CE′,求 BE′+ 3 4 CE′的最小值. 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 ∴ OB= 5 =BH+OH= 3x+4x,则 x= 5 7 . ∴ PD=BD-BP= 4-5x= 3 7 , 即点 P 的坐标为 3, 3 7( ) . 图 1 　 图 2 (3)由(2),知 sin∠OBD= 3 5 . 如图 2,过点 C 作 CN⊥OB 于点 N. ∴ CN=BC·sin∠OBD= 3 5 BC. ∴ AC+ 3 5 BC=AC+CN=AN, 即当点 A,C,N 共线时,AC+ 3 5 BC 最小. ∴ 3BC+5AC= 5 AC+ 3 5 BC( ) = 5AN 最小. ∵ S△OAB = 1 2 OA·BD= 1 2 OB·AN, 即 6×4 = 5AN,解得 AN= 24 5 . ∴ 3BC+5AC 的最小值= 5AN= 24. 7 2023 年莱芜区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C D C A C B B A 1. D　 【解析】-7 的倒数是- 1 7 . 故选 D. 2. A　 【解析】该几何体的三视图均为矩形,且三个矩 形的大小不一,故该几何体是长方体. 故选 A. 3. C　 【解析】361 900≈362 000 = 3. 62×105 . 故选 C. 4. D　 【解析】∵ CE 平分∠BCD,∠BCE= 65°, ∴ ∠BCD= 2∠BCE = 130°. ∴ ∠ACD = 180° -∠BCD = 180°-130° = 50°. ∵ AB∥DE,∴ ∠D= ∠ACD = 50°. 故选 D. 5. C　 【解析】A 不是中心对称图形,但是轴对称图形, 故此选项不符合题意;B 既不是中心对称图形,也不 是轴对称图形,故此选项不符合题意;C 既是中心对 称图形,也是轴对称图形,故此选项符合题意;D 不 是中心对称图形,但是轴对称图形,故此选项不符 合题意. 故选 C. 6. A　 【解析】根据图示,可得-2<a<-1,0<b<1. ∴ a< b. ∴ -3a>- 3b. 故选项 A 符合题意;∴ 1< | a | <2,0< |b | <1,∴ |a | > | b | . 故选项 B 不符合题意;∴ a+b<0. 故选项 C 不符合题意;∴ b a <0. 故选项 D 不符合题 意. 故选 A. 7. C　 【解析】画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,其中他们恰好选到同一个 小组的结果有 3 种,∴ 他们恰好选到同一个小组的 概率是 3 9 = 1 3 . 故选 C. 8. B　 【解析】原式 = 4 -a2 a · a 2 a+2 = (2+a)(2-a) a · a 2 a+2 =a(2-a)= 2a-a2 . ∵ a2 - 2a- 1 = 0,∴ 2a-a2 = - 1. ∴ 原式= -1. 故选 B. 9. B　 【解析】如图,过点 B 作 BE′⊥AC 于点 E′. 根据 两点之间,线段最短和垂 线段最短,得 GF + GB ≥ BE′,即 BE′是 GF+GB 的 最小值. ∵ ∠ABC = 90°, ∠BAC = 2 ∠C, ∴ ∠C = 30°. ∴ ∠BAC = 60°. 由作图,得 MN 垂直平分 AC. ∴ AN=CN. ∴ ∠CAN= ∠C= 30°. ∴ ∠BAN = ∠BAC- ∠CAN= 30°. ∴ ∠BAN = ∠CAN. ∴ AN 平分∠BAC. ∴ 点 E′,F 关于 AN 对称. 在 Rt△ABE′中,BE′=AB· sin 60° = 6× 3 2 = 3 3 . ∴ GF+GB 的最小值为 3 3 . 故选 B. 10. A　 【解析】∵ y=mx2 - 2mx+m- 2,∴ y = m(x- 1) 2 - 2. ∴ 抛物线 y=mx2 -2mx+m-2(m>0)的对称轴为 直线 x= 1. ∵ 点 A(n,y1),B(n+2,y2)在抛物线 y = mx2 -2mx+m-2 上,∴ | y1 -y2 | = |m(n-1) 2 -2- [m(n+2-1) 2 -2] | = | 4mn | . ∵ | y1 -y2 | = 2, ∴ | 4mn | = 2. 当 n+2≤1 时,n≤-1,∴ 4mn= -2. ∴ m≤ 1 2 . 又∵ m> 0,∴ 0<m≤ 1 2 . 同理,当 n≥1 时,0<m≤ 1 2 . ∴ m 的取值范围是 0<m≤ 1 2 . 故选 A. 11. 2(a-2) 2 　 【解析】原式= 2(a2 -4a+4)= 2(a-2) 2 . 12. 1 2 　 【解析】∵ 总面积为 16 个小正方形的面积,其 中阴影区域的面积为 8 个小正方形的面积,∴ 小 球最终停留在阴影区域的概率是 8 16 = 1 2 . 13. 9　 【解析】多边形的边数:360° ÷60° = 6,对角线的 条数:6 ×(6-3) 2 = 9. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —12— 14. 2　 【解析】由题意,得 x 2x-3 - 2 3-2x = 4. 方程两边都 乘(2x-3),得 x+2 = 4(2x-3) . 解得 x= 2. 检验:当 x = 2 时,2x-3≠0. ∴ x= 2 是原方程的根. 15. 15°　 【解析】如图,连接 CG. ∵ AG=BG,∴ ∠BAG= ∠ABG. ∵ ∠BAD= ∠ABC= 90°, ∴ ∠BAD - ∠BAG = ∠ABC - ∠ABG,即∠DAG= ∠CBG. 又 ∵ AD = BC, ∴ △ADG ≌ △BCG(SAS) . ∴ DG =CG. 又∵ DG = AD =CD,∴ DG =CD = CG. ∴ △CDG 是等边三角形. ∴ ∠CDG = 60°. 又∵ ∠ADE= ∠GDE,∠ADC = 90°,∴ ∠ADE = 1 2 (∠ADC-∠CDG)= 1 2 ×(90°-60°)= 15°. 16. 2　 【解析】原式 = log3(2× 9) +log32-log34 = log32+ log39+ log32 - log34 = 2 + ( log32 + log32) - log34 = 2 + log32×2-log34 = 2+log34-log34 = 2. 17.解:原式= 1+( 3 -1)-2× 3 2 +2 = 1+ 3 -1- 3 +2 = 2. 18.解:解不等式 x 2 >x -1 3 ,得 x>-2. 解不等式 x-3(x-2)≥4,得 x≤1. 所以不等式组的解集是-2<x≤1. 所以不等式组所有的整数解为-1,0,1. 19.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ BC=AD,BC∥AD. ∴ ∠BCF= ∠DAE. ∵ DE∥BF,∴ ∠BFE= ∠DEF. ∴ ∠BFC= ∠DEA. 在△BCF 和△DAE 中, ∠BFC= ∠DEA, ∠BCF= ∠DAE, BC=DA, { ∴ △BCF≌△DAE(AAS) . ∴ BF=DE. 20.解:(1)由家庭成年人阅读时间在 1≤x< 2 小时内 的数据可知,a= 9,b= 6. (2)∵ 在 1≤x<1. 5 小时内的数据中,1. 2 出现的次 数最多,∴ B 组数据的众数是 1. 2. 将 1≤x<1. 5 小时内的数据按从小到大排列:1,1, 1,1. 2,1. 2,1. 2,1. 2,1. 3,1. 4,排在第 5 个的数据 是 1. 2. ∴ B 组数据的中位数是 1. 2. 故答案为 1. 2,1. 2. (3)扇形统计图中 C 组对应扇形的圆心角为 360°× 6 30 = 72°,m% = 9 30 × 100% = 30% ,∴ m = 30. 故答案 为 72;30. (4)设 1 名男生记为 A,2 名女生记为 B,C. 画树状图如下: 共有 6 种等可能的结果,其中恰好选中“1 男 1 女” 的结果有 AB,AC,BA,CA,共 4 种, ∴ 恰好选中“1 男 1 女”的概率是 4 6 = 2 3 . 21.解:(1) 如图,过点 B 作 BF ⊥AE,垂足为 F. ∵ 斜坡 AB 的坡度为 1 ∶ 2. 4, ∴ BF AF = 1 2. 4 = 5 12 . ∴ 设 BF = 5x 米, 则 AF = 12x 米. 在 Rt△ABF 中,AB= AF2+BF2 = (12x)2+(5x)2 = 13x(米). ∵ AB= 26 米,∴ 13x= 26. ∴ x= 2. ∴ BF= 10 米,AF= 24 米. 答:坡顶 B 到地面 AE 的距离为 10 米. (2)如图,延长 CD 交 AE 于点 G. 由题意,得 BF=DG= 10 米,BD=FG. 设 BD=FG= x 米,则 AG=AF+FG= (x+24)米. 在 Rt△BDC 中,∠CBD= 66°. 由题意,得∠CAG= 45°,∠CBD= 66°. ∴ CD=BD·tan 66°≈2. 25x 米. ∴ CG=CD+DG= (2. 25x+10)米. 在 Rt△ACG 中,∠CAG= 45°,∴ tan 45° =CG AG = 1. ∴ CG=AG. ∴ 2. 25x+10 = x+24. 解得 x= 11. 2. ∴ CD= 2. 25x= 25. 2≈25 米. 答:联通信号发射塔 CD 的高度约为 25 米. 22. (1)证明:如图,连接 OD. ∵ DE 是☉O 的切线, ∴ DE⊥OD. ∵ DE⊥AC, ∴ AC∥OD. ∴ ∠C = ∠ODB. ∵ OB=OD,∴ ∠ODB=∠B. ∴ ∠C=∠B. ∴ AB=AC. (2)解:如图,连接 AD. ∵ ☉O 的半径为 4,AB 是☉O 的直径, ∴ AB= 8,∠ADB= ∠ADC= 90°. ∵ ∠C= 30°,AB=AC,∴ ∠B= ∠C= 30°. ∴ AD= 1 2 AB= 4. ∵ DE⊥AC,∴ ∠AED= 90°. ∴ ∠C+∠DAE= ∠DAE+∠ADE= 90°. ∴ ∠C= ∠ADE. ∴ ∠ADE= ∠B= 30°. ∴ AE= 1 2 AD= 2. 23.解:(1)设购进 A 种纪念品每件需要 x 元、B 种纪 念品每件需要 y 元. 根据题意,得 10x +4y= 1 200, 5x+8y= 900.{ 解得 x= 100, y= 50.{ 答:购进 A 种纪念品每件需要 100 元、B 种纪念品 每件需要 50 元. (2)设购进 A 种纪念品 m 件,则购进 B 种纪念品 (200-m)件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —22— 根据题意,得 200-m≤3m. 解得 m≥50. 设购进的 200 件纪念品全部售出后获得的总利润 为 w 元,则 w = 30m+50×0. 8(200-m),即 w = -10m+ 8 000. ∵ -10<0,∴ w 随 m 的增大而减小. 又∵ m≥50,且 m 是正整数, ∴ 当 m= 50 时,w 取得最大值,最大值 = - 10× 50+ 8 000 = 7 500,此时 200-m= 200-50 = 150. ∴ 当购进 A 种纪念品 50 件、B 种纪念品 150 件时, 获得的总利润最大,最大总利润是 7 500 元. 24.解:(1)∵ 点 A(8,4),AC= 3,∴ 点 C(5,4) . 将点 C(5,4)代入 y= k x ,得 4 = k 5 . 解得 k= 20. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 20 x . 在 y= 20 x 中,令 x= 8,得 y= 5 2 . ∴ 点 B 的坐标为 8, 5 2( ) . (2)①如图 1,作点 C 关于 y 轴的对称点 C′,连接 BC′交 y 轴于点 M,连接 MC,此时 MB+MC 最小. 图 1 ∵ 点 C,C′关于 y 轴对 称, ∴ MB + MC = MB +MC′. 当点 B,M,C′共线时, MB+MC′最小,即 MB+ MC 最小, 最小值为 BC′的长度. 由(1)知点 C(5,4),B 8, 5 2( ) , ∴ 点 C′(-5,4) . ∴ BC′= (8+5) 2 + 5 2 -4( ) 2 = 685 2 . ∴ MB+MC 的最小值为 685 2 . ②设点 M(0,m),N n, 20 n( ) . 如图 2,当点 C 为直角顶点时,过点 C 作 TK∥y 轴,过 点 N 作 NT⊥TK 于点 T,过点M作MK⊥TK 于点 K. 　 　 　 　 　 图 2 ∵ △CMN 是以 CN 为 直角边的等腰直角三 角形, ∴ CM = CN,∠MCK = 90°-∠NCT= ∠CNT. ∵ ∠K= 90° = ∠T, ∴ △CMK ≌ △NCT (AAS) . ∴ CK=NT,MK=CT. ∴ 4-m= 5-n, 5 = 20 n -4.{ 解得 n= 209 . ∴ 点 N 209 ,9( ) ; 如图 3,当点 N 为直角顶点时,过点 N 作 RS⊥y 轴 于点 S,过点 C 作 CR⊥RS 于点 R. 　 　 　 　 　 图 3 同理可得 SN = RC, SM=NR. ∴ n= 20 n -4, 20 n -m= 5-n. ì î í ï ï ï ï 解得 n = 2 6 - 2 或 n = -2 6 -2(舍去) . ∴ 点 N(2 6 -2,2 6 +2) . 综上 所 述, 所 有 满 足 条 件 的 点 N 的 坐 标 为 20 9 ,9( ) 或(2 6 -2,2 6 +2) . 25.解:(1)AE=BD. 证明:根据旋转的性质,得∠ECD= 90° = ∠ACB, CE=CD. ∴ ∠ECD-∠ACD= ∠ACB-∠ACD. ∴ ∠ACE= ∠BCD. 在△ACE 和△BCD 中, AC=BC, ∠ACE=∠BCD, CE=CD, { ∴ △ACE≌△BCD(SAS).∴ AE=BD. (2)在 Rt△CED 中,∠ECD= 90°,CE=CD, ∴ DE= CE2 +CD2 = 2CE. ∵ AE=BD,BE=DE+BD,∴ BE= 2CE+AE. 故答案为 BE= 2CE+AE. (3)如图,连接 CF. ∵ △ACB,△CDE 都是等 腰直角三角形, ∴ ∠CED= 45° = ∠CAB. ∴ A,E,C,F 四点共圆. ∴ ∠EAC= ∠EFC. 由(1)知△ACE≌△BCD, ∴ ∠EAC= ∠DBC. ∴ ∠EFC= ∠DBC. ∴ B,C,D,F 四点共圆. ∴ ∠DCF= ∠DBF. ∵ F 是线段 AB 的中点, ∴ CF⊥AB. ∴ ∠CFB= 90°. ∴ ∠FCB+∠DBC+∠DBF= 90°. ∴ ∠FCB+∠DBC+∠DCF= 90°. ∴ ∠CDB= 180°-90° = 90°. ∵ BC=AC= 2,DC= 1. 2, ∴ BD= BC2 -CD2 = 22 -1. 22 = 1. 6. 26.解:(1)将点 B(4,0)代入 y= - 1 2 x2 +(a-1)x+2a, 得-8+4(a-1)+2a= 0. ∴ a= 2. ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 +x+4. 令 x= 0,则 y= 4. ∴ c= 4. 令 y= 0,则 0 = - 1 2 x2 +x+4. ∴ x1 = 4,x2 = -2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —32— ∴ 点 A(-2,0),即 b= -2. (2)如图 1,过点 P 作 PD⊥x 轴,交 BC 于点 D,过 点 A 作 y 轴的平行线,交 BC 的延长线于点 H. 图 1 设 lBC:y= kx+b. 将点(0,4),(4,0)代入,得 b = 4,k= -1. ∴ lBC:y= -x+4. 设点 P m,- 1 2 m2 +m+4( ) ,则 点 D(m,-m+4) . ∴ PD=yP -yD = - 1 2 m2 +m+4- (-m+4)= - 1 2 m2+2m. ∵ PD∥AH,∴ △AMH∽△PMD. ∴ PM AM =PD AH . 将 x= -2 代入 y= -x+4,得 y= 6. ∴ AH= 6. ∵ S△PMB S△AMB = 1 2 PM·h 1 2 AM·h =PM AM = 1 4 , ∴ PD AH =PD 6 = 1 4 . ∴ PD= 3 2 . ∴ 3 2 = - 1 2 m2 +2m. ∴ m1 = 1(舍去),m2 = 3. 当 m= 3 时,- 1 2 m2 +m+4 = 5 2 . ∴ 点 P 3, 5 2( ) . (3)如图 2,在 y 轴上取一点 F,使得 OF = 9 4 ,连接 BF,在 BF 上取一点 E′,使得 OE′=OE. 图 2 由(2),得点 P ( 3, 52 ) . ∵ PE⊥x 轴,∴ OE= 3. ∴ OE′=OE= 3. ∵ OF·OC= 9 4 ×4 = 9, ∴ OE′2 =OF·OC. ∴ OE′ OF = OC OE′ . ∵ ∠COE′= ∠E′OF,∴ △COE′∽△E′OF. ∴ E′F CE′ =OE′ OC = 3 4 . ∴ E′F= 3 4 CE′. ∴ BE′+ 3 4 CE′=BE′+E′F =BF,此时 BE′+ 3 4 CE′的 值最小,最小值为 BF = OB2 +OF2 = 42 + 9 4( ) 2 = 337 4 . 8 2023 年平阴县学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A C D D C B D C B 1. A　 【解析】-6 的相反数是 6. 故选 A. 2. A　 【解析】观察图形可知,选项 A 符合题意. 故选 A. 3. C　 【解析】1 200 = 1. 2×103 . 故选 C. 4. D　 【解析】如图,∵ l1∥l2, ∴ ∠3 = ∠1 = 120°. ∴ ∠4 = ∠3 = 120°. ∴ ∠2 = ∠4+30° = 150°. 故选 D. 5. D　 【解析】A 是轴对称图形,但不是中心对称图形, 故本选项不符合题意;B 不是轴对称图形,也不是中 心对称图形,故本选项不符合题意;C 是轴对称图 形,但不是中心对称图形,故本选项不符合题意;D 既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符 合题意. 故选 D. 6. C　 【解析】A. ∵ a< 0,b> 0,∴ a≠b,故不符合题意; B. ∵ a<0,b>0,∴ a<b,故不符合题意;C. 由数轴可 知 | a | < | b | ,故符合题意;D. 由 C 可知不符合题意. 故选 C. 7. B　 【解析】∵ 从 3 名一等奖获得者中任选 2 名参加 全市冬奥知识竞赛,∴ 小明被选到的概率是 2 3 . 故选 B. 8. D　 【解析】A. 一次函数 y = ax+b 的图象经过第一、 三、四象限,则 a>0,b<0,所以 ab<0,则反比例函数 y= ab x 经过第二、四象限,不符合题意;B. 一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限,则 a<0,b<0, 所以 ab>0,则反比例函数 y = ab x 经过第一、三象限, 不符合题意;C. 一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、 二、四象限,则 a<0,b>0,所以 ab<0,则反比例函数 y= ab x 经过第二、四象限,不符合题意;D. 一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、三、四象限,则 a>0,b<0, 所以 ab<0,则反比例函数 y = ab x 经过第二、四象限, 符合题意. 故选 D. 9. C　 【解析】由题意可知,AM 平分∠CAB. ∵ ∠C 不 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —42—