5.2023年高新区学业水平第一次模拟试题-2023年山东省济南市中考一模数学试题

— 25 — — 26 — — 27 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. -2 的绝对值是 (　 　 ) A. 2 B. - 1 2 C. 1 2 D. -2 2. 如图所示的几何体的主视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 　 　 3. 神舟十四号载人飞船是北京时间 2022 年 6 月 5 日 10 时 44 分由长征二号 F 遥十四运载火箭成功送 入近地点高度 200 000 米、远地点高度 350 000 米、倾角 42°的地球近地轨道. 将 350 000 用科学记数 法表示应为 (　 　 ) A. 3. 5×104 B. 0. 35×105 C. 35×104 D. 3. 5×105 4. 将一副三角板(含 30°,45°的直角三角形)摆放成如图所示的形状,图中∠1 的度数为 (　 　 ) A. 90° B. 135° C. 120° D. 150° 5. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. (x+2) 2 = x2 +4 B. a2 +a2 =a4 C. 2x+3x= 5x2 D. ( -2x3) 2 = 4x6 6. 10 件产品中有 5 件次品,从中任意抽取 1 件,恰好抽到次品的概率是 (　 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 7. 化简 x x-1 - 1 x+1 的结果是 (　 　 ) A. 1 B. x+1 C. x-1 D. x 2 +1 x2 -1 8. A,B,C 三种上宽带网方式的月收费金额 yA(元),yB(元),yC(元)与月上网时间 x(小时)的对应关系 如图所示,以下四个推断中错误的是 (　 　 ) A. 月上网时间不足 35 小时,选择方式 A 最省钱 B. 月上网时间超过 55 小时且不足 80 小时, 选择方式 C 最省钱 C. 对于上网方式 B,若月上网时间在 60 小时以内,则月收费金 额为 60 元 D. 对于上网方式 C,无论月上网时间是多久,月收费都是 120 元 9. 问题:如图 1,在矩形纸片 ABCD 中,AB = 2,BC = 3,要求将矩形纸片剪两刀后不重叠、无缝隙地拼接 成一个正方形. 甲、乙两位同学根据剪拼前后面积不变,确定了正方形的边长为 6 ,并分别设计了如 下的方案. 甲:如图 2,在 AD 上找点 E,连接 BE,使 BE= 6 ,作∠DCF= ∠AEB,交 BE 于点 F,完成分割; 乙:如图 3,在 AD 上找点 F,连接 CF,使 CF= 6 ,以 BC 为直径作圆,交 CF 于点 E,连接 BE 即可完成 分割. 下列结论正确的是 (　 　 ) A. 甲、乙的分割都不正确 B. 甲、乙的分割都正确 C. 乙的分割正确,图 3 中 AF= 2 D. 甲的分割正确,图 2 中 AE= 2 2 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 第 9 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与 x 轴交于点 A(5,0),与 y 轴交于点 C,其对称轴为直线 x= 2,结 合图象分析如下结论:①abc>0;②b+3a<0;③当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大;④M 是抛物线的顶 点,若 CM⊥AM,则 a= 6 6 . 其中正确的有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 因式分解:9-4x2 = . 12. 如图,游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同,把游戏板平放到露天地面上,落在该游戏板上的 第一滴雨正好打中阴影部分的概率是 . 第 12 题图 　 　 第 13 题图 　 　 第 16 题图 13. 实数 m 在数轴上的位置如图所示,则化简 |m-1 | + m2 的结果为 . 14. 已知 x2 -x= 2 022,则代数式(x+1)(x-1) +x(x-2)= . 15. 某市的出租车收费标准如表: 里程 /公里 收费 /元 3 公里以下(含 3 公里) 14 3 公里以上,10 公里以下(含 10 公里),每增加 1 公里 2. 4 10 公里以上,每增加 1 公里 3. 6 当 x>10 时,收费 y(元)与行驶里程 x (公里)的函数表达式为 . 16. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°, AC=3, BC= 3,把Rt△ABC 沿 AB 翻折得到Rt△ABD,过点B 作BE⊥ BC,交 AD 于点 E,F 是线段 BE 上一点,且 tan∠ADF= 3 2 . 下列结论中:①AE=BE; ②△BED∽△ABC; ③BD2 =AD·DE;④AF=2 13 3 ,正确的有 (把所有正确答案的序号都填上). 三、解答题(本大题共 10 个小题,共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (6 分)计算: tan 60°- | - 3 | +( 5 -1) 0 + 1 2( ) -2 . 18. (6 分)解不等式组: 5x-3<4x, x 8 - 1 4 ≤x +1 2 , ì î í ï ï ïï 并把它的解集在数轴上表示出来. 19. (6 分)如图,在▱ABCD 中, ∠ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E, ∠CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F. 求证:△ABE≌△CDF. 20. (8 分)植树节期间,某校 360 名学生参加植树活动,要求每人植树 3 ~ 6 棵,活动结束后随机抽查了 20 名学生每人的植树量,并分为四种类型,A:3 棵; B: 4 棵; C: 5 棵;D:6 棵. 根据各类型对应的人 数绘制了扇形统计图(如图 1)和尚未完成的条形统计图(如图 2) . 请解答下列问题: 　 　 　 　 　 　 　 　 植树人数扇形统计图　 　 　 　 植树人数条形统计图 图 1 　 　 　 　 图 2 (1)将条形统计图补充完整; 5 2023 年高新区学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 28 — — 29 — — 30 — (2)这 20 名学生每人植树量的众数为 棵,中位数为 棵; (3)在求这 20 名学生每人植树量的平均数时,小宇是这样分析的: 第一步:求平均数的公式是 x= x1 +x2 +…+xn n ; 第二步:在该问题中,n= 4,x1 = 3,x2 = 4,x3 = 5,x4 = 6; 第三步:x= 3 +4+5+6 4 = 4. 5(棵) . 小宇的分析是不正确的,他错在第几步? 请你帮他计算出正确的平均数,并估计这 360 名学生共植 树多少棵. 21. (8 分)为倡导“低碳生活”,人们常选择以自行车作为代步工具. 图 1 是一辆自行车的实物图,图 2 是这辆自行车的部分几何示意图,其中车架档 AC 与 CD 的长分别为 45 cm 和 60 cm,且它们互相垂 直,座杆 CE 的长为 20 cm,点 A,C,E 在同一条直线上,且∠CAB = 75°. (参考数据:sin 75°≈0. 966, cos 75°≈0. 259,tan 75°≈3. 732) (1)求车架档 AD 的长; (2)求车座点 E 到车架档 AB 的距离(结果精确到 1 cm) . 图 1 　 图 2 22. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,AE⊥EP,垂足为 E,直线 EP 与☉O 相切于点 C,AE 交☉O 于点 D,直 线 EC 交 AB 的延长线于点 P,连接 AC,BC. (1)求证:AC 平分∠BAD; (2)若直径 AB 为 10,BC= 6,求 DE 的长. 23. (10 分)在疫情防控期间,某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售,两 次购进同一商品的进价相同,具体情况如表所示. 项目 购进数量 /件 酒精消毒液 测温枪 购进所需费用 /元 第一次 30 40 7 560 第二次 40 30 5 880 (1)求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元; (2)公司决定酒精消毒液以每件 20 元出售,测温枪以每件 240 元出售. 为满足市场需求,需购进这 两种商品共 1 000 件,且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的 4 倍. 求该公司销售完这 1 000 件 商品获得的最大利润. 24. (10 分)如图 1,一次函数 y= -2x+4 的图象交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,与反比例函数 y= k x (x>0) 的图象交于点 C(1, n) . (1)求反比例函数的表达式; (2)在双曲线 y= k x (x>0)上是否存在一点 D,满足 S△OCD = 1 2 S△AOB? 若存在,请求出点 D 的坐标;若 不存在,请说明理由; (3)如图 2,过点 B 作 BM⊥OB 交反比例函数 y= k x (x>0)的图象于点 M,N 为反比例函数 y= k x (x> 0)的图象上的一点, ∠ABM= ∠BAN,请直接写出点 N 的坐标. 图 1 　 　 图 2 25. (12 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,E 是线段 BC 上一动点(不与点 B,C 重合),连接 AE,将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转与∠BAC 相等的角度,得到线段 AF,连接 EF,M 和 N 分别是边 BC, EF 的中点. (1)如图 1,若∠BAC= 120°,当 E 是边 BC 的中点时,N 恰为 AC 与 EF 的交点,此时MN BE = , 直线 BE 与 MN 相交所成的锐角的度数为 度; (2)如图 2,若∠BAC= 120°,当 E 是边 BC 上任意一点时(不与点 B,C 重合),上述两个结论是否成 立? 若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由; (3)若∠BAC= 60°,AB= 6,点 E 在直线 BC 上运动,BE CE = 1 2 . 若其他条件不变,过点 C 作 CP∥MN,交 直线 EF 于点 P,直接写出点 P 到 BC 的距离: . 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 26. (12 分)如图,已知抛物线 y=ax2 +bx+4(a≠0)与 x 轴交于点 A(1, 0)和 B,与 y 轴交于点 C,对称轴 为直线 x= 5 2 . (1)求抛物线的表达式; (2)如图 1,若 P 是线段 BC 上的一个动点(不与点 B,C 重合),过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于 点 Q,连接 OQ,当线段 PQ 的长度最大时,判断四边形 OCPQ 的形状并说明理由; (3)如图 2,在( 2) 的条件下,D 是 OC 的中点,过点 Q 的直线与抛物线交于点 E,且∠DQE = 2∠ODQ. 在 y 轴上是否存在点 F,使得△BEF 为等腰三角形? 若存在,求点 F 的坐标;若不存在,请 说明理由. 图 1 　 　 图 2 由直线 BC 的表达式为 y= -x+3,设直线 AR 的表达 式为 y= -x+b. 将点 A(-1,0)代入,得 b= -1. ∴ 直线 AR 的表达式为 y= -x-1,令 x= 0,得 y= -1. ∴ 点 R(0,-1) . ∵ 点 C(0,3),∴ CR= 4. 设点 P(t,-t2 +2t+3),则点 K(t,-t+3) . ∴ PK= -t2 +2t+3-(-t+3)= -t2 +3t. ∵ PH∥AC, ∴ ∠MPH = ∠MAC, ∠MHP = ∠MCA. ∴ △PMH∽△AMC. ∴ PM AM = PH AC = HM CM . ∴ S1 S2 = HM CM = PH AC , S2 S3 = PM AM = PH AC . ∴ S1 S2 + S2 S3 = 2PH AC . ∵ AR∥BC,PH∥AC,PK∥CR, ∴ ∠ARC= ∠RCB = ∠PKH,∠ACR = 90° -∠CAO = 90°-∠PTQ= ∠HPK. ∴ △ACR∽△HPK. ∴ PH CA =PK CR = -t 2 +3t 4 . ∴ S1 S2 + S2 S3 = 2PH AC = -t 2 +3t 2 = - 1 2 t- 3 2( ) 2 + 9 8 . ∵ - 1 2 <0, ∴ 当 t= 3 2 时, S1 S2 + S2 S3 取得最大值,最大值为 9 8 . 5 2023 年高新区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D D C D A D B B C 1. A　 【解析】-2 的绝对值是 2. 故选 A. 2. D　 【解析】从正面看,是一个等腰三角形. 故选 D. 3. D　 【解析】350 000 = 3. 5×105 . 故选 D. 4. C　 【解析】如图,∠2 = 30°,∠3 = 90°,∴ ∠1 = ∠2+ ∠3 = 90°+30° = 120°. 故选 C. 5. D　 【解析】A. (x+2) 2 = x2 +4x+4,计算错误,故本选 项不符合题意;B. a2 +a2 = 2a2,计算错误,故本选项 不符合题意;C. 2x+ 3x = 5x,计算错误,故本选项不 符合题意;D. (-2x3) 2 = 4x6,计算正确,故本选项符 合题意. 故选 D. 6. A　 【解析】10 件产品中有 5 件次品,从中任意抽取 1 件,恰好抽到次品的概率是 5 10 = 1 2 . 故选 A. 7. D　 【解析】原式= x(x +1) (x+1)(x-1) - x-1 (x+1)(x-1) = x2 +x-x+1 x2 -1 = x 2 +1 x2 -1 . 故选 D. 8. B　 【解析】A. 月上网时间不足 35 小时,选择方式 A 最省钱,本选项说法正确,不符合题意;B. 月上网时 间超过 55 小时且不足 80 小时,选择方式 B 最省钱, 本选项说法错误,符合题意;C. 对于上网方式 B,若 月上网时间在 60 小时以内,则月收费金额为 60 元, 本选项说法正确,不符合题意;D. 对于上网方式 C, 无论月上网时间是多久,月收费都是 120 元,本选 项说法正确,不符合题意. 故选 B. 9. B　 【解析】拼成的正方形的边长为 2×3 = 6 . 甲: 如图 1. ∵ ∠DCF = ∠AEB,∠AEB + ∠DEF = 180°, ∴ ∠DCF+∠DEF = 180°. ∴ ∠CDE+∠CFE = 180°. ∴ ∠CFE= 90° = ∠A. ∴ ∠BFC = ∠A = 90°. ∴ ∠ABF+ ∠FBC=∠ABF+∠AEB,即∠FBC=∠AEB. ∴ △CFB∽ △BAE. ∴ BA CF =BE CB . ∴ 2 CF = 6 3 . 解得 CF = 6 . ∴ CF = BE. ∴ 把 △BAE 平移到 △CDM,把 △CFB 平移到 △MNE,可得正方形 CFNM. 乙:如图 2,∵ BC 是圆 的直径,∴ ∠BEC = 90°. 同理可得△BEC∽△CDF. ∴ BC CF =BE CD ,即 3 6 =BE 2 . 解得 BE= 6 . ∴ CF=BE. ∴ 把△BEC 平移到△PQF,把△CDF 平移到△BAP, 可得正方形 PQEB. 故选 B. 图 1 　 　 图 2 10. C　 【解析】∵ 抛物线的开口向上,∴ a> 0. ∵ 对称 轴为直线 x= 2,∴ - b 2a = 2. ∴ b = - 4a< 0. ∵ 抛物线 交 y 轴的负半轴,∴ c<0. ∴ abc>0,故①正确;∵ b = -4a,a>0,∴ b+ 3a = -a< 0,故②正确;观察图象可 知,当 0<x≤2 时,y 随 x 的增大而减小,故③错误; ∵ 抛物线经过点(5,0),对称轴为直线 x = 2,∴ 抛 物线与 x 轴负半轴的交点为(-1,0). ∴ 可以假设抛物 线的表达式为 y=a(x+1)(x-5)= a(x-2) 2 -9a. ∴ 点 M(2,-9a),C(0,-5a) . 如图,过点 M 作 MH⊥y 轴 于点 H. 设对称轴交 x 轴于点 K. ∴ MH = 2,MK = 9a,CH = 4a,AK = 3. ∵ CM⊥AM,∴ ∠AMC = ∠KMH = 90°. ∴ ∠CMH = ∠AMK. ∵ ∠MHC = ∠MKA = 90°,∴ △MHC∽ △MKA. ∴ MH MK = CH AK . ∴ 2 9a = 4a 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41— ∴ a2 = 1 6 . ∵ a>0,∴ a= 6 6 ,故④正确. 故选 C. 11. (3-2x)(3+2x) 　 【解析】原式=(3-2x)(3+2x) . 12. 1 2 　 【解析】∵ 总面积为 4× 3 = 12,其中阴影部分 的面积为 2× 1 2 ×2×1+ 1 2 ×4×2 = 6,∴ 落在该游戏 板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是 6 12 = 1 2 . 13. 1　 【解析】由数轴,得 0<m<1,∴ m-1<0. ∴ 原式 = -(m-1)+m=-m+1+m=1. 14. 4 043　 【解析】原式=x2-1+x2 -2x= 2x2 -2x-1. 当 x2 -x =2 022 时,原式= 2(x2 -x)-1 = 2×2 022-1 = 4 044-1 =4 043. 15. y=3. 6x-5. 2　 【解析】由题意,得总车费为 y= 14+2. 4 ×(10-3)+3. 6×(x-10)= 3. 6x-5. 2. 16. ①②③④　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 3,BC= 3 . ∴ AB= AC2+BC2 = 2 3 . ∴ cos∠ABC= BC AB = 3 2 3 = 1 2 . ∴ ∠ABC= 60°,∠BAC= 30°. ∵ Rt△ABC 沿 AB 翻折得到 Rt△ABD,∴ △ABC≌△ABD. ∴ ∠BAD = ∠BAC = 30°, ∠ABD = ∠ABC = 60°, ∠ADB= ∠C= 90°,AD=AC= 3,BD=BC= 3 . ∵ BE⊥ BC,∴ ∠EBC = 90°. ∵ ∠C = 90°,∴ ∠EBC+ ∠C = 180°. ∴ BE∥AC. ∴ ∠EBA = ∠BAC = 30°. ∴ ∠EBA = ∠EAB. ∴ AE = BE,故 ① 正确;∵ ∠ABD = 60°, ∠EBA= 30°,∴ ∠DBE= ∠ABD-∠EBA= 30°. ∴ ∠DBE= ∠BAC. 又∵ ∠BDE= ∠C= 90°, ∴ △BED∽△ABC,故②正确;由 ②,知BD AC =DE CB ,∴ BD·CB =AC· DE. 又由折叠可知,BD = BC,AD =AC,∴ BD2 = AD·DE,故③正 确;∵ BD2 = AD·DE,∴ ( 3) 2 = 3DE. ∴ DE= 1. 如图,过点 F 作 FG⊥DE 于点 G. ∵ tan∠ADF= 3 2 ,∴ FG DG = 3 2 . 设 FG = 3 t,则 DG = 2t. 又∵ △BED∽△ABC,∴ ∠BED = ∠ABC = 60°. ∴ tan∠BED= tan 60° =FG EG = 3 t EG = 3 . ∴ EG= t. ∴ DE=DG+EG,即 2t+t = 1. 解得 t = 1 3 . ∴ DG = 2 3 , AG = 3 - 2 3 = 7 3 , FG = 3 3 . ∴ AF = AG2 +FG2 = 2 13 3 ,故④正确. 综上所述,正确的有①②③④. 17.解:原式= 3 - 3 +1+4 = 5. 18.解: 5x-3<4x,① x 8 - 1 4 ≤ x+1 2 ,②{ 解不等式①,得 x<3. 解不等式②,得 x≥-2. ∴ 该不等式组的解集是-2≤x<3. 把该不等式组的解集在数轴上表示如下: 19.证明:在▱ABCD 中,AB = CD,∠A = ∠C,AB∥CD, ∴ ∠ABD= ∠CDB. ∵ BE 平分∠ABD,DF 平分∠CDB, ∴ ∠ABE= 1 2 ∠ABD,∠CDF= 1 2 ∠CDB. ∴ ∠ABE= ∠CDF. 在△ABE 和△CDF 中, ∠A= ∠C, AB=CD, ∠ABE= ∠CDF, { ∴ △ABE≌△CDF(ASA) . 20.解:(1)D 类型的人数为 20× 10% = 2,完整的条形 统计图如图所示. (2)由条形统计图可知,B 类型的植树人数最多, 即这 20 名学生每人植树量的众数为 4 棵,中位数 为第 10,11 个数据的平均数,而第 10,11 个数据均 落在 B 类型中,即中位数为 4 棵. 故答案为 4;4. (3)小宇错在第二步, x= 3 ×4+4×8+5×6+6×2 20 = 4. 3(棵) . ∴ 估计这 360 名学生共植树 360×4. 3=1 548(棵). 21.解:(1)在 Rt△ACD 中,∵ AC= 45 cm,CD= 60 cm, ∴ AD= 452 +602 = 75(cm) . 答:车架档 AD 的长是 75 cm. (2)如图,过点 E 作 EF ⊥AB,垂足为 F. ∵ AE = AC+CE = 45+ 20 = 65(cm), ∴ EF=AE·sin∠CAB = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —51— AE·sin 75°≈65×0. 966≈62. 79≈63(cm) . 答:车座点 E 到车架档 AB 的距离约是 63 cm. 22. (1)证明:如图,连接 OC. ∵ 直线 EP 与☉O 相切于点 C,∴ OC⊥PE. ∵ AE⊥EP,∴ OC∥AE. ∴ ∠OCA= ∠DAC. ∵ OA = OC,∴ ∠OAC = ∠OCA. ∴ ∠DAC = ∠OAC. ∴ AC 平分∠BAD. (2)解:如图,连接 CD. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB= 90°. 在 Rt△ABC 中,AC= AB2 -BC2 = 102 -62 = 8. ∵ ∠BAC= ∠DAC,∠ACB= ∠AEC= 90°, ∴ Rt△ABC∽Rt△ACE. ∴ AC AB =CE BC ,即 8 10 =CE 6 . ∴ CE= 4. 8. ∵ ∠DAC= ∠OAC,∴ CD=BC= 6. 在 Rt △DCE 中,DE = CD2 -CE2 = 62 -4. 82 = 3. 6. 23.解:(1)设酒精消毒液每件的进价是 x 元,测温枪 每件的进价是 y 元. 由题意,得 30x +40y= 7 560, 40x+30y= 5 880.{ 解得 x= 12, y= 180.{ 答:酒精消毒液每件的进价是 12 元,测温枪每件 的进价是 180 元. (2)设购进酒精消毒液 a 件,则购进测温枪(1 000- a)件,销售完这 1 000 件商品获得的利润为 w 元. 由题意,得 w= (20-12)a+(240-180)(1 000-a)= 60 000-52a. ∵ 酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的 4 倍, ∴ a≥4(1 000-a) . 解得 a≥800. ∵ 利润 w 是关于 a 的一次函数,同时-52<0, ∴ w 随着 a 的增大而减小. ∴ 当 a= 800 时,w 有最大值,此时 w = 60 000-52× 800 = 18 400. 答:该公司销售完这 1 000 件商品获得的最大利润 为 18 400 元. 24.解:(1)将点 C(1,n)代入 y= -2x+4,得 n= 2. 将点 C(1,2)代入 y= k x ,解得 k= 2. ∴ 反比例函数的表达式为 y= 2 x . (2)存在. 如图 1,过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E,过点 D 作 DF⊥ x 轴于点 F,则 S△COE =S△DOF . ∴ S△OCD =S△COE+S梯形CEFD-S△ODF =S梯形CEFD . 对于 y= -2x+4,令 y= 0,则-2x+4 = 0,解得 x= 2;令 x= 0,则 y= 4. ∴ 点 A(2,0),B(0,4) . 设点 D 的坐标为 a, 2 a( ) . ∵ S△OCD =S梯形CEFD = 1 2 S△AOB, ∴ 1 2 × 2+ 2 a( ) × | a-1 | = 1 2 × 1 2 ×2×4. 解得 a= 1± 2或 a= -1± 2 (负值舍去), ∴ 点 D 的坐标为(1+ 2,2 2-2)或(-1+ 2,2 2+2). 图 1 　 图 2 (3)∵ 点 A(2,0),B(0,4),C(1,2), ∴ C 是线段 AB 的中点,OA= 2,OB= 4. ∴ AB= OA2 +OB2 = 22 +42 = 2 5 . ∴ BC= 5 . 如图 2,延长 BM 交 AN 的延长线于点 H,连接 CH. ∵ ∠ABM= ∠BAN,∴ BH=AH. ∴ CH⊥AB. ∵ BM⊥OB,OA⊥OB,∴ BM∥OA. ∴ ∠HBC= ∠BAO. ∵ ∠HCB= ∠BOA= 90°,∴ △HBC∽△BAO. ∴ BH ∶ AB=BC ∶ AO. ∴ BH ∶ 2 5 = 5 ∶ 2. ∴ BH= 5. ∴ 点 H(5,4) . 设直线 AN 的表达式为 y=mx+b(m≠0) . 把点 A(2,0),H(5,4)代入,得 2m+b= 0, 5m+b= 4.{ 解得 m= 4 3 , b= - 8 3 . ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 AN 的表达式为 y= 4 3 x- 8 3 . 联立,得 y= 4 3 x- 8 3 , y= 2 x . ì î í ï ï ï ï 解得 x= 2+ 10 2 , y= 2 10 -4 3 . ì î í ï ï ï ï ∴ 点 N 的坐标为 2+ 10 2 , 2 10 -4 3( ) . 25.解:(1)∵ AB=AC,M 是边 BC 的中点, ∴ AM⊥BC,∠BAM= ∠CAM= 1 2 ∠BAC= 60°. 由题意,得∠EAF= ∠BAC= 120°. ∴ ∠BAM= ∠CAF. ∴ ∠CAM= ∠CAF= 60°. ∵ AE=AF,∴ AC⊥EF,EN=FN. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —61— ∵ ∠C= ∠B= 30°,∴ CE= 2MN,∠FEC= 60°. ∴ BE= 2MN. ∴ MN BE = 1 2 ,直线 BE 与 MN 相交所成 的锐角,即∠FEC 的度数为 60°. 故答案为 1 2 ;60. (2)上述两个结论成立. 证明:如图 1,连接 AM,AN. 图 1 ∵ AB=AC,M 是边 BC 的中点,∴ AM⊥CM. ∵ ∠BAC= 120°,∴ ∠B= ∠C= 30°. ∴ ∠BAM= 60°. ∴ AB= 2AM. 同法可证 AE= 2AN,∠EAN= 60°. ∴ ∠BAM= ∠EAN. ∴ ∠BAE= ∠MAN. ∵ AB AM = AE AN = 2,∴ △BAE∽△MAN. ∴ ∠B= ∠AMN= 30°,BE MN = AB AM = 2. ∴ MN BE = 1 2 ,∠NMC= 90°-∠AMN= 60°. ∴ 直线 BE 与 MN 相交所成的锐角,即∠NMC 的度 数为 60°. (3) 如图 2,连接 AM,AN,过点 P 作 PH⊥BC 于 点 H. 图 2 ∵ ∠BAC= 60°,AB=AC= 6, ∴ △ABC 是等边三角形. ∵ ∠EAF= 60°,AE=AF, ∴ △AEF 是等边三角形. ∵ M 和 N 分别是边 BC,EF 的中点, ∴ BM=CM,EN=FN. ∴ AM⊥BC,AN⊥EF. ∴ AM AB =AN AE = 3 2 . ∵ ∠BAM= ∠EAN= 30°,∴ ∠BAE= ∠MAN. ∴ △BAE∽△MAN. ∴ MN BE =AM AB = 3 2 ,∠AMN= ∠ABE= 60°. ∵ ∠AMC= 90°,∴ ∠NMC= 30°. ∵ AB= 6,BE CE = 1 2 ,∴ BE= 2,CE= 4. ∴ MN= 3 . ∵ BM=CM= 1 2 BC= 3,∴ EM= 1. ∵ MN∥CP,∴ MN CP =EM EC ,∠PCH= ∠NMC= 30°. ∴ 3 CP = 1 4 . ∴ CP= 4 3 . ∴ PH= 1 2 CP= 2 3 . ∴ 点 P 到 BC 的距离为 2 3 . 当点 E 在点 B 的左侧时,如图 3,同法可得点 P 到 BC 的距离为 2 3 . 综上所述,点 P 到 BC 的距离为 2 3 . 故答案为 2 3 . 图 3 26.解:(1)由题意,得 a+b+4 = 0, -b 2a = 5 2 .{ 解得 a= 1,b= -5.{ ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 -5x+4. ① (2)四边形 OCPQ 是平行四边形. 理由如下: 对于 y= x2 -5x+4,令 y = x2 -5x+4 = 0,解得 x = 1 或 4;令 x= 0,则 y= 4. 故点 B 的坐标为(4,0),点 C 的坐标为(0,4) . 设直线 BC 的表达式为 y= kx+t,则 t = 4, 4k+t= 0.{ 解得 k= -1, t= 4.{ ∴ 直线 BC 的表达式为 y= -x+4. 设点 P 的坐标为(x,-x+4),则点 Q 的坐标为(x, x2 -5x+4), 则 PQ= -x+4-(x2 -5x+4)= -x2 +4x= -(x-2) 2 +4. ∵ -1<0,∴ PQ 有最大值,当 x = 2 时,PQ 的最大值 为 4,此时点 Q 的坐标为(2,-2) . ∵ PQ= 4 =CO,PQ∥y 轴, ∴ 四边形 OCPQ 是平行四边形. (3)存在. ∵ D 是 OC 的中点,∴ 点 D(0,2) . 由点 D,Q 的坐标,可得直线 DQ 的表达式为 y = -2x+2. 过点 Q 作 HQ⊥x 轴于点 H,则 HQ∥y 轴. 故∠AQH= ∠ODA. ∵ ∠DQE= 2∠ODQ, ∴ ∠AQH= ∠EQH. ∴ 直线 AQ 和直线 EQ 关于直线 HQ 对称. ∴ 设直线 EQ 的表达式为 y= 2x+r. 将点 Q(2,-2)代入上式,得 r= -6. ∴ 直线 EQ 的表达式为 y= 2x-6. ② 联立①②并解得 x = 5, y= 4.{ (不合题意的值已舍去) ∴ 点 E 的坐标为(5,4) . 设点 F 的坐标为(0,m) . 由点 B,E 的坐标,得 BE2 = (5-4) 2 +(4-0) 2 = 17. 同理可得,当 BF=BE 时,即 16+m2 =17,解得 m=±1. 当 EF=BE 时,即 25+(m-4) 2 = 17,方程无解; 当 BF= EF 时,即 16 +m2 = 25 + (m- 4) 2 ,解得 m 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —71— = 25 8 . 故点 F 的坐标为(0,1)或(0,-1)或 0, 25 8( ) . 6 2023 年济阳区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B C A D D C A C 1. A　 【解析】-2 023 的绝对值是 2 023. 故选 A. 2. B　 【解析】从正面看该组合体,一共有三列,从左到 右正方体的个数分别是 2,2,1,下面共 3 个. 故选 B. 3. B　 【解析】1 500 000 000 = 1. 5×109 . 故选 B. 4. C　 【解析】∵ ∠2+∠AED= 180°,∠2 = 50°, ∴ ∠AED = 130°. ∵ EC 平 分 ∠AED, ∴ ∠AEC = 1 2 ∠AED= 65°. ∵ AB∥CD,∴ ∠1 = ∠AED= 65°. 故选 C. 5. A　 【解析】A 既是轴对称图形,又是中心对称图形, 符合题意;B 是轴对称图形,但不是中心对称图形, 不符合题意;C 不是轴对称图形,也不是中心对称图 形,不符合题意;D 不是轴对称图形,也不是中心对 称图形,不符合题意. 故选 A. 6. D　 【解析】原式= x 2 (x+2)(x-2) ·x -2 x = x x+2 . 故选 D. 7. D　 【解析】标有“善”“美”“济”“阳”图案的四张卡 片分别用 a,b,c,d 表示,画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,这两张卡片正面的图案 恰好可以组成“济阳”的结果有 2 种,则这两张卡片 正面的图案恰好可以组成“济阳”的概率是 2 12 = 1 6 . 故选 D. 8. C　 【解析】当 x= 2 时,y= k 2 . ∵ 1<y<2,∴ 1< k 2 <2. 解得 2<k<4. 所以 k= 3. 故选 C. 9. A　 【解析】如图,连接 OC,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F. ∵ C 是直径 AB 为 4 的半圆的中点,∴ ∠BOC = 90°,∠ABC= 45°. ∴ △BOC 是等腰直角三角形. ∵ 分别以点 B 和 C 为 圆心,以大于 1 2 BC 的长 为半径作弧,且 OB=OC, ∴ OD 垂直平分 BC. ∴ CE = BE. ∵ ∠BOC = 90°,EF⊥AB,∴ EF∥OC. ∴ BF OF = BE CE = 1. ∴ BF = OF. ∴ EF 是△BOC 的中位 线. ∴ EF= 1 2 OC= 1. ∴ S△ABE = 1 2 AB·EF = 1 2 ×4×1 = 2. ∵ S△BOC = 1 2 OB·OC= 1 2 ×2×2 = 2, ∴ S△ABE =S△BOC . ∴ S阴影 =S半圆AB -S△ABE -S弓形BC =S半圆AB - S扇形BOC = 1 2 S半圆AB = 1 2 × 1 2 π×(4÷2) 2 = π. 故选 A. 10. C　 【解析】∵ 变换后图象的表达式为 y =a(x+1)2 - a2,∴ 该抛物线的顶点坐标为(-1,-a2) . ∴ 原函数 图象的表达式为 y=a(x-1) 2 -a2 . ∴ - b 2a = 1,即 b = -2a. 将 x= 0 代入 y = ax2 +bx+c,得 y = c. 将 x = 0 代 入 y=a(x-1) 2 -a2,得 y = a-a2 . ∴ c = a-a2 . ∴ (m- 2)a+b+c=(m-2)a-2a+a-a2≥0. 整理,得(m-2)a≥ a2 +a. ∵ a>0,∴ m-2≥a+1,即 m≥a+3. ∴ m 的最 小整数值为 4. 故选 C. 11. (x-3) 2 　 【解析】利用完全平方公式可得原式=(x-3)2. 12. 4　 【解析】设方程的另一个根为 t. 根据根与系数 的关系,得-2t= - 8. 解得 t = 4,即方程的另一个根 为 4. 13. 5 18 　 【解析】∵ 总面积为 9 个小正方形的面积,其 中阴影部分的面积为 5 2 个小正方形的面积,∴ 飞 镖击中阴影部分的概率是 5 2 9 = 5 18 . 14. - 1 2 　 【解析】∵ (k,-1)是“差积等数对”,∴ k-(-1) = k×(-1) . 解得 k= - 1 2 . 15. 26 　 【解析】如图,过点 B 作 BF⊥AD 于点 F. 设 砌墙所用砖块的厚度为 x cm,则 BE = 2x cm,AD = 3x cm. ∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠ACD + ∠ECB = 90°. ∵ ∠ECB+∠CBE= 90°,∴ ∠ACD= ∠CBE. 在△ACD 和△CBE 中, ∠ADC= ∠CEB, ∠ACD= ∠CBE, AC=CB, { ∴ △ACD≌△CBE(AAS) . ∴ AD =CE = 3x cm,CD = BE= 2x cm. ∴ DE = CD+CE = 5x cm,AF = AD-BE = x cm. ∴ BF=DE = 5x cm. 在 Rt△AFB 中,AF2 +BF2 =AB2,∴ x2 +25x2 = 262 . 解得 x = 26 或 x = - 26 (舍去) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81—