21.1 一元二次方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第21章 一元二次方程 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 21.1 一元二次方程 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 等式，没有未知数 2.下列式子哪些是方程？ 2+5=7 x+3 2x+6=12 2x+3y=18 3x-5＜36 代数式，不是等式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 1.什么是方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程。 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程。 思考：什么叫一元二次方程呢？ 含有一个未知数，且未知数的次数 是1的整式方程叫做一元一次方程. BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 解：设竹竿的长为x尺,则门的宽度为 尺, 长为 尺, 依题意得方程： 化简得 从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． (x－4)2＋ (x－2)2＝ x2 4尺 2尺 x x－4 x－2 数学化 (x－2) (x－4) x2-12x+20=0 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长. 设正方形的边长为x，可列出方程 x x x 3 x2+3x=4 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3000 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100 cm 50cm 3600 cm2 x 解：设切去的正方形的边长为 x cm， 则盒底的长为 (100 − 2x) cm， 化简，得 3000 500 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 以下三个方程有什么共同点？ (1) 方程的两边都是整式； (2) 都只含一个未知数； (3) 未知数的最高次数都是 2. x2-12x+20=0 x2+3x=4 500 BY YUSHEN BY YUSHEN 一元二次方程 新知探究 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做 一元二次方程. ax2 + bx + c = 0 (a≠0). ax2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项. 一元二次方程的一般形式是 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 一元二次方程的一般形式： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？ 等号的左、右分别是什么？ (2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？ (3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？ 总结一元二次方程的特殊形式： 当c=0时， 当b=0时， 当b=0,c=0时， BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 判断下列方程是一元二次方程吗? (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) √ √ √ √ √ × × × × × BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方　　程 一般形式 二次项 系　数 一次项 系　数 常数项 3x2=5x-1 (x+2)(x -1)=6 4-7x2=0 3x2－5x＋1＝0 x2 ＋ x－8＝0 3 1 3 －5 1 1 1 －8 －7 0 4 －7x2 ＋4＝0 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值. 解： 是一元二次方程， BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 常数项是 . 一次项系数是 ， 已知关于x的方程(m-2)x2+mx-1=0 ⑴当m取什么值时，这个方程是一元一次方程？ ⑵当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？这时 它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？ 解： ⑴当m-2=0，即m=2时，这个方程是一元一次方程. ⑵当m-2≠0, 即m≠2时，这个方程是一元二次方程， 它的二次项系数是 , m-2 m -1 ⑶若关于x的方程(m-2)x2+mx-1=0的一个根是 2， 你能求出m的值吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 一元二次方程的根 典例精析 例3 下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2， 0． 解：将x=-4代入原方程， 不是 将x=-3代入原方程， 是 将x=-2代入原方程， 是 将x=0代入原方程， 不是 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 已知关于x的一元二次方程 的一个根是x=0，则a的值为_________ 解：把x=0代入原方程得， -1 例5 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0） (1)满足a+b+c=0 时，有根x=_________. (2)满足a-b+c=0 时，有根x=_________. (3)满足c=0 时，有根x=_________. 1 -1 0 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根， 求 2a2 + 4a + 2022 的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m, 宽为(x＋2) m，依题意得方程： (x＋5) (x＋2) ＝54 即 x2 ＋ 7x－44 ＝0 2 5 x x X＋5 X＋2 54m2 审→设→找→列 BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 一元二次方程 概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件 根(解) 使方程左右两边相等的未知数的值 建立一元二次方程模型 审→设→找→列 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 2. (1) 已知方程 5x² + mx − 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的值为 ； (2) 若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2－4 = 0 有一个根为 0，求 m 的值. 解：将 x = 0 代入方程得 m2 − 4 = 0， 解得 m = ±2. ∵ m + 2 ≠ 0， ∴ m ≠ −2. 综上可知 m = 2. _____ BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3. 已知方程x2+bx+a=0有一根为-a，（a≠0） 则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A.ab B. C. a+b D.a-b 解：因为方程x2+bx+a=0有一根为-a， D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）3x(x+2)=4(x-1)+7 （2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1) 解：（1）原方程整理得：3x2+2x-3=0，所以是一元二次方程； 二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-3. （2）原方程整理得：9x+10=0， 因此它不是一元二次方程. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、常数项： 方程 一般形式 二次项系数 常数项 3x2=5x-1   (x+2)(x-1)=6 3x2-5x+1 =0 x2+x-8 =0 3 1  1  -8  BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6.若关于x的方程 是一元二次方程，求m的取值范围. 解：原方程整理得 因其是一元二次方程，所以m-2≠0， 即m≠2. BY YUSHEN BY YUSHEN $$