精品解析：广州市增城区东江外语实验学校2023-2024学年八年级下学期第三次月考数学试题

2023—2024学年第二学期第三次限时训练 八年级数学试卷 时长120分钟 分值:120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（　 　） A. B. C. D. 3. 下列运算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 以下各组数为三角形的三边长，其中能够构成直角三角形的是（　　） A. ，， B. 7，24，25 C. 8，13，17 D. 10，15，20 5. 已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于的不等式的解集为 A. B. C. D. 6. 在下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若三点 都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在菱形ABCD中，AC是对角线，，连接DE．，，则DE的长为（ ） A. B. C. 或 D. 9. 如图，四边形的顶点坐标分别为，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 10. 若，则______，______． 11. 如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是____． 12. 将函数的图象平移，使它经过点，则平移后的函数表达式是____． 13. 如图，矩形中，，，对角线垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则的面积为______． 14. 如图，正方形ABCD是出四个全等的角三角形围成的，若，,则EF的长为________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是 ___（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 16 计算： 17. 如图，在中，是其对角线的中点，过点，求证：． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上 （1）请求边AB、AC、BC的长． （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 19. 如图在△ABC中，∠ABC=90°． （1）用直尺和圆规作AC的垂直平分线交AB于D、交AC于E点（不要求写作法，保留作 图痕迹）； （2）若（1）中AB=4，BC=3，求AD的长． 20. 先化简，再求值：其中，． 21. 如图，中，，是斜边的中点，若，，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形ADCE面积＝_____． 22. 某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． （1）求每台型电脑和型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的3倍，预期进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式： ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，已知正方形是线段上一个动点（不与重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作，交于点． （1）证明：； （2）猜想的形状并说明理由； （3）取中点，连接．若，正方形边长为4cm，则________cm． 24. 平面直角坐标系中，直线l1:与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2:与x轴交于点C，与直线l1交于点P． （1）当k=1时，求点P的坐标； （2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值； （3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期第三次限时训练 八年级数学试卷 时长120分钟 分值:120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数必须为非负数．从而求出x的取值范围. 【详解】根据题意，得 ， 解得，； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件． 2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误； B、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误； C、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误； D、，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确． 故选：D． 3. 下列运算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项计算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键． 4. 以下各组数为三角形的三边长，其中能够构成直角三角形的是（　　） A. ，， B. 7，24，25 C. 8，13，17 D. 10，15，20 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、（32）2+（42）2≠（52）2，不能组成直角三角形，故此选项错误； B、72+242=252，能组成直角三角形，故此选项正确； C、82+132≠172，不能组成直角三角形，故此选项错误； D、102+152≠202，不能组成直角三角形，故此选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 5. 已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于的不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限， ∴b＞0，a＜0， 把（2，0）代入解析式y=ax+b得：0=2a+b， 解得：2a=-b =-2， ∵a（x-1）-b＞0， ∴a（x-1）＞b， ∵a＜0， ∴x-1＜， ∴x＜-1， 故选A． 6. 在下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定条件判断即可； 【详解】根据分析可得当，时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形能证明； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，准确判断是解题的关键． 7. 若三点 都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，根据，可得随的增大而减小，从而可得答案． 【详解】解：∵三点 都在函数的图象上， 而， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴， 故选：A． 8. 在菱形ABCD中，AC是对角线，，连接DE．，，则DE的长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BD交AC于K．在Rt△AKD中，利用勾股定理求出DK，再求出EK，在Rt△DKE中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接BD交AC于K． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AK=CK=8， 在Rt△AKD中，DK= ， ∵CD=CE， ∴EK=CE-CK=10-8=2， 在Rt△DKE中，DE=． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型． 9. 如图，四边形的顶点坐标分别为，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知点可求四边形ABCD分成面积；求出CD的直线解析式为y=-x+3，设过B的直线l为y=kx+b，并求出两条直线的交点，直线l与x轴的交点坐标，根据面积有，即可求k． 【详解】解：由， ∴， ∴四边形分成面积， 可求的直线解析式为， 设过的直线为， 将点代入解析式得， ∴直线与该直线的交点为， 直线与轴的交点为， ∴， ∴或， ∴， ∴直线解析式为； 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 10. 若，则______，______． 【答案】 ①. 4 ②. 5 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，根据（）即可求解． 【详解】解：由题意 ， 解得： ， ∴． 故答案为：4； 5． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键． 11. 如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求得正方形对角线长为，结合数轴即可求解． 【详解】∵正方形ODBC中，OC=1， ∴BC=OC=1，∠BCO=90°． ∵在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB=． ∴OA=OB=． ∵点A在数轴上原点的左边， ∴点A表示的数是． 【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，数形结合是解题的关键． 12. 将函数的图象平移，使它经过点，则平移后的函数表达式是____． 【答案】y＝3x﹣2 【解析】 【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案． 【详解】解：新直线是由一次函数y＝3x+1的图象平移得到的， ∴新直线的k＝3，可设新直线的解析式为：y＝3x+b． ∵经过点（1，1），则1×3+b＝1， 解得b＝﹣2， ∴平移后图象函数的解析式为y＝3x﹣2； 故答案为y＝3x﹣2． 【点睛】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化． 13. 如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算，再利用三角形面积公式解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， CD=AB=2，AD=BC=4， ∵EO是AC的垂直平分线， ∴AE=CE， 设CE=x，则ED=AD-AE=4-x， 在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2， 即x2=22+（4-x）2， 解得：x=， 即CE的长为， DE=， 所以△DCE的面积= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质；熟练掌握勾股定理，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键． 14. 如图，正方形ABCD是出四个全等的角三角形围成的，若，,则EF的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到BH=AE=5,得到EH=BE-BH=7,根据勾股定理计算即可. 【详解】, 同理，HF=7, 故答案为. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是 ___（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①根据直角三角形斜边中线定理可判定；②由题意易得，然后可得，则根据等腰三角形的性质可求解；③当时，CM的值最小，然后根据等腰直角三角形的性质可求解；④由题意易得点P的运动轨迹为平行于AB的线段，进而根据三角形中位线可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝3∠B， ∴，即， ∴， ∵点D是AB中点，AB＝20cm， ∴，故①正确； ∴， ∴，故②错误； 当时，CM的值最小， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故③正确； 取AC的中点E，连接PE，并延长EP，交BC于点F，如图所示： ∵点P始终是线段CM的中点， ∴， ∴， ∴点F为BC的中点， ∵点M从点A出发，沿线段AB运动到点B， ∴点P在线段EF上运动， ∴， 即点P运动路径的长度10cm，故④正确； ∴正确的结论是①③④； 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理、三角形中位线及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边中线定理、三角形中位线及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法和除法法则计算，然后化为最简二次根式，再合并即可． 【详解】解： = = =． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 17. 如图，在中，是其对角线的中点，过点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形性质得出，则，然后利用ASA证明，则有，利用即可证明结论． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， , ． 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质是解题的关键． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上 （1）请求边AB、AC、BC的长． （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）AB＝，AC＝2，BC=5（2）△ABC是直角三角形，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理的逆定理得出即可． 【详解】（1）由勾股定理得：AB＝＝，AC＝，BC＝ （2）∵AB＝，AC＝2，BC＝5， ∴AB2＋AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， 即△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 19. 如图在△ABC中，∠ABC=90°． （1）用直尺和圆规作AC的垂直平分线交AB于D、交AC于E点（不要求写作法，保留作 图痕迹）； （2）若（1）中AB=4，BC=3，求AD的长． 【答案】（1）图形见解析（2） 【解析】 【分析】（1）分别以A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，在AC两侧有两个交点，过这两点作直线与AB交于点D，与AC交于点E； （2）连接DC，由DE是AC的垂直平分线，可得DC=AD，在Rt△BCD中，利用勾股定理即可得. 【详解】（1）如图所示，DE即为所求； （2）连接DC， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DC=AD， ∵∠B=90°， ∴在Rt△BCD中，CD2 =BD2+BC2， 设AD=x，则x2=32+(4－x)2，解得x=， 即AD的长为. 【点睛】本题考查的是基本作图及勾股定理的应用，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 20. 先化简，再求值：其中，． 【答案】ab，-1 【解析】 【分析】先把所给代数式化简，然后把，代入计算即可． 【详解】解：原式= = =ab， 当，时， 原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 21. 如图，中，，是斜边的中点，若，，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得四边形是平行四边形，得出，且，进而证明四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，即可得结论； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长，根据菱形的性质得出的长，利用菱形面积公式即可得答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，且． ∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，是斜边的中点， ， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形是菱形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴菱形的面积， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 22. 某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． （1）求每台型电脑和型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的3倍，预期进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式： ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）100元，150元 （2）①②购进A型电脑25台，B型电脑75台时，利润最大，最大为13750元 【解析】 【分析】(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑销售利润为b元，列出方程组计算即可． (2) 设型电脑台，则购买型电脑台， ①． ②根据题意，得，，得到，结合一次函数的增减性解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，一次函数性质的应用，正确列式并准确解答时解题的关键． 【小问1详解】 设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑销售利润为b元， 依题意得：， 解得：， 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑销售利润为150元． 小问2详解】 解：设型电脑台，则购买型电脑台， ①根据题意，得． ②根据题意，得，， 故， 根据题意，得， 故y所x的增大而减小， 故当时，，y有最大值，且最大值为13750， 答：购进A型电脑25台，B型电脑75台时，利润最大，最大为13750元． 23. 如图，已知正方形是线段上的一个动点（不与重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作，交于点． （1）证明：； （2）猜想的形状并说明理由； （3）取中点，连接．若，正方形边长为4cm，则________cm． 【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形．理由见解析 （3）7 【解析】 【分析】（1）只要证明△DAH≌△DCH，即可解决问题； （2）只要证明∠CFG＝∠FCG，即可解决问题； （3）利用等腰三角形性质，中位线，勾股定理即可解决问题； 【小问1详解】 解：证明：四边形是正方形， ． 在和中， ，． 【小问2详解】 是等腰三角形． 理由：由（1）可知，． ，，． ，， ， 是等腰三角形． 【小问3详解】 解：根据题意可知，点在线段上，连接，如图． ，，， ，， 为的中点．为的中点， 为的中位线，． 在中，， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24. 平面直角坐标系中，直线l1:与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2:与x轴交于点C，与直线l1交于点P． （1）当k=1时，求点P的坐标； （2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值； （3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标． 【答案】（1）P（，）；（2）；（3）（，） 【解析】 【详解】（1把k=1代入l2解析式，当k=1时，直线l2为y=x+2．与l1组成方程组 ， 解这个方程组得：， ∴P（，）； （2）当y=0时，kx+2k=0 ，∵k≠0，∴x=-2, ∴C（-2，0），OC=2，当y=0时，-x+3=0，∴x=6， ∴A（6，0），OA=6 ， 过点P作PG⊥DF于点G， 在△PDG和△ADE中， ∴△PDG≌△ADE， 得DE=DG=DF， ∴PD=PF， ∴∠PFD=∠PDF ∵∠PFD+∠PCA=90°,∠PDF+∠PAC=90° ∴∠PCA=∠PAC， ∴PC=PA                                 过点P作PH⊥CA于点H， ∴CH=CA=4， ∴OH=2， 当x=2时,y=−×2+3=2代入y=kx+2k,得k=； （3）在Rt△PMC和Rt△PQR中， ∴Rt△PMC≌Rt△PQR， ∴CM=RQ， ∴NR=NC， 设NR=NC=a,则R(−a−2,a)， 代入y=−x+3， 得− (−a−2)+3=a，解得a=8， 设P(m,n),则 解得 ∴P（，） 考点：1．一次函数与二元一次方程组综合题；2．三角形全等的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $