暑假作业04 导数的综合应用（证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、极值点偏移）-【暑假分层作业】2024年高二数学暑假培优练（人教A版2019）

完成时间： 月 日 天气： 作业04 导数的综合应用 （证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、极值点偏移） 1. 恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 2. 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 3. 极值点偏移的含义 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系： 若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏. 如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏. 4. 极值点偏移问题的一般题设形式 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令，求证：. 一、单选题 1．对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D．1 3．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若关于的方程的不同实数根的个数为4，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．直线是曲线的切线 D．满足 7．已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ） A．时，恒成立 B．时，无极值点 C．若有3个零点，则的范围为 D．时，有唯一零点且 8．对于函数，给出下列命题，其中正确的有（      ） A．有三实数根，则 B．有一实数根，则 C．的递增区间为，，递减区间为 D．是极大值，是极小值 三、填空题 9．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 10．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 四、解答题 11．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 12．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的零点个数. 1．已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知 ，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，有两个不相等的正实数，使得． (1)求函数的单调区间； (2)证明：． 4．设函数. (1)若，求在处的切线方程 (2)若，，求的取值范围 (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 5．已知函数. (1)若在定义域内不单调，求a的取值范围； (2)证明：若，且，则. 1．关于函数，下列判断正确的是（    ） A．的极大值点是 B．函数在上有唯一零点 C．存在实数，使得成立 D．对任意两个正实数，若，则 2．已知函数，（）. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围. 3．已知函数. (1)求的极值. (2)已知，且. ①求的取值范围； ②证明:. 1．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 2．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 3．（2021·全国·高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 4．（2021·全国·高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 5．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 导数的综合应用 （证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、极值点偏移） 1. 恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 2. 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 3. 极值点偏移的含义 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系： 若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏. 如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏. 4. 极值点偏移问题的一般题设形式 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令，求证：. 一、单选题 1．对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数和的图象，利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】设函数，则直线恒过点， 如图，画出和的图象，两个函数图象都过点， 当直线与相切时，，即，    如图可知，若，成立，则. 故选：D 2．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先根据导数判断函数的单调性，然后利用函数单调性对已知不等式变形，再通过构造新函数进行求解即可. 【详解】由题可知，， 由于，故在上恒成立， 故在上单调递增， 因为， 所以，即恒成立， 令，， 则， 由可得，，由可得，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 即， 故 ，解得 故实数的最小值为. 故选：B 3．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值，由函数图象的交点个数得的范围. 【详解】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点， 函数的定义域为， , 令，解得 ， ,的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 单调递增 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故当时，有极小值， 令，解得， 当时，；当时，， 当无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0；当无限趋向于正无穷大时时，无限趋向于正无穷大， 由此作出函数的大致图象： 由图象得：当时，交点为0个； 当或时，交点为1个； 当时，交点为2个. 若函数的图象与的图象有两个交点， 则由图可知，实数的取值范围为. 故选：A. 4．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等价于，令，求导分析单调性，可得等价于，进而可得，令，只需，利用导数求解最值即可得出答案． 【详解】等价于， 令，则，所以是增函数， 所以等价于， 所以，所以， 令，则， 所以在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以，故 所以实数的取值范围为． 故选：B． 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 5．已知函数，若关于的方程的不同实数根的个数为4，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用导数判断函数的单调性，最值，以及函数的趋势，画出函数的图象，利用图象，解决函数图象的交点问题. 【详解】当时，，由此可知在单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时，， 在单调递增，在上单调递减，， 如图所示作出函数的大致图象，则有四个零点，则与的图象有四个交点， 因此，得， 故选：C 二、多选题 6．已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．直线是曲线的切线 D．满足 【答案】ABD 【分析】对求导，求出函数的极值点和极值，即可判断A，B；利用导函数求出导数值为时的的值，即可确定切线斜率为的切点坐标，即可确定过该点的切线方程，即判断C；根据解析式秋求解，从而得，即可判断D． 【详解】因为，则， 令，得，解得， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 且，， 图象如图所示： 故有两个极值点，三个零点，故A，B正确； 令，则，且， 故函数在处的切线斜率为，此时切线方程为， 即在处的切线方程为，故C错误； 又，则，所以，故D正确． 故选：ABD． 7．已知函数（为常数），则下列结论正确的有（ ） A．时，恒成立 B．时，无极值点 C．若有3个零点，则的范围为 D．时，有唯一零点且 【答案】BCD 【分析】对于AB：将和代入，判断函数单调性，利用单调性求极值最值即可求解；对于C：将问题转化为，构造函数，利用导数求单调性和极值，然后画图求解；对于D：利用零点存在定理求解. 【详解】对于A：当时，，则，令， 则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，， 所以在上单调递增，又，A错误； 对于B：当时，，，令， 则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，所以， 所以在上单调递增，无极值，B正确； 对于C：令，当时，显然， 则，记，则 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且，当和时，，函数图象如下： 所以若有3个零点，则的范围为，C正确； 对于D：当时，，则，令， 则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以所以在上单调递增， 又，， 由零点存在定理可得有唯一零点且，D正确； 故选：BCD. 8．对于函数，给出下列命题，其中正确的有（      ） A．有三实数根，则 B．有一实数根，则 C．的递增区间为，，递减区间为 D．是极大值，是极小值 【答案】ACD 【分析】求导后，根据导函数正负可求得单调性，结合极值定义可求得极大值和极小值，即可判断CD；结合图象判断AB. 【详解】由题意可知：定义域为，， 当时，；当时，； 可知的单调递增区间为，；单调递减区间为， 则的极大值为，极小值为，故CD正确； 且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于； 可得的图象如图所示： 结合图象可知：若有三实数根，则，故A正确； 若有一实数根，则，故B错误； 故选：ACD. 三、填空题 9．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将转化为，构造函数，利用导数判断的单调性从而得到，再构造函数，利用导数判断的单调性从而求出的最小值，即可求解. 【详解】关于的不等式恒成立， 即恒成立， 令，，则， ，在单调递增， ，即，， 令，，则， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， ，. 故答案为：. 10．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意可得即有两个不等的实数解，令，求出导数和单调区间、极值、最值，画出图象，通过图象即可得到结论. 【详解】函数恰有两个零点等价于即有两个不等的实数解， 令，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在处取极大值，极大值为，且极大值也为的最大值； 当时，，当时，， 画出的图象如下： 由图可得当时，与有两个交点，即方程有两个实数根，函数有两个零点； 故答案为： 四、解答题 11．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）要使恒成立，则需成立，借助导数，分、、讨论，得其单调性即可得解. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 曲线在处的切线方程为； （2）要使恒成立，则需成立， ， 当时，，所以在递增， 而，不合题意； 当时，恒成立，符合题意； 当时，令得， 则在递减，在递增， 所以，解得. 综上所述，. 12．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知条件及导数的求导法则，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）利用导数法求含参函数的单调性，进而求出函数的最值，结合函数的单调性、函数的最值关系和函数零点存在定理对a的范围进行分类讨论，即可求解函数零点个数. 【详解】（1）若，则. 又,切点为， 曲线在处的斜率， 故所求切线方程为即. （2）由题． 1°当时，在上单调递减，又. 故存在一个零点，此时零点个数为1. 2°当时，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故的最小值为. 当时，的最小值为0，此时有一个零点. 当时，的最小值大于0，此时没有零点． 当时，的最小值小于0，， 时，，此时有两个零点. 综上，当或时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，没有零点. 1．已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，由仅有一个整数解，得只有一个整数解，再结合图象即可得解. 【详解】， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，，当时，且， 作出的函数图象如图所示：    由仅有一个整数解， 得只有一个整数解， 设，由图象可知： 当时，在上恒成立，不符合题意， 当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1， 所以，即，解得． 故选：D． 2．已知 ，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】作出函数简图，根据方程有6个不同的实数解列出限制条件，进而可得答案. 【详解】当时，，. ，为增函数,，为减函数, 且. 其简图如下，    设，由图可知当时，方程有三个根， 因为方程恰好有6个不同的实数解， 所以在上有两个不等的实数根， 则，解得. 故选：CD 3．已知函数，有两个不相等的正实数，使得． (1)求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出得出的单调性； （2）不妨设,先分析出,再构造函数函数，,利用导数分别完成对左右的证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ，令，解得， 当时，；当时，, 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）,当时，且, 当时, , 结合(1)可知,函数有两个不相等的正实数,使得, 又, 不妨设,则必有, 要证: ,即证明, 由于， 因为函数在上单调递增,所以即证: . 又因为,所以即证：. 构造函数， 有， 易知 当且仅当时取等, 所以在上恒成立,即函数在上单调递减， 那么, 由，可得. 因为，所以， 所以. 设， 则. 当时，恒成立， 所以在上单调递减， 所以时，, 于是有时. 因为，所以，则. 又因为,所以， 故. 因为，所以， 所以，即. 综上所述，. 【点睛】方法点睛:利用导数证明或判定不等式问题: 1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值)，从而得出不等关系; 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系; 3．适当放缩构造法:根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系; 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 4．设函数. (1)若，求在处的切线方程 (2)若，，求的取值范围 (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，可得，结合导数的几何意义求切线方程； （2）分析可知原题意等价于，构建，利用导数求的单调性和最值，结合存在性问题分析求解； （3）由题意分析可知：在内单调递减，可得在内恒成立，参变分离结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）若，则， 可得， 即切点坐标为，斜率， 所以切线方程为，即. （2）若，且，可得， 原题意等价于， 构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 可得，所以的取值范围为. （3）因为，，整理得， 构建，可知在内单调递减， 则在内恒成立， 整理得在内恒成立， 对于可知：当时，取得最小值， 可得，所以的取值范围为. 5．已知函数. (1)若在定义域内不单调，求a的取值范围； (2)证明：若，且，则. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数判断单调性，分成和两种情况讨论即可求解； （2）求导得到单调区间，结合及得到，设，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明. 【详解】（1）的定义域为，. 若，则，所以在上单调递增； 若，则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在定义域内不单调时，a的取值范围为. （2）记，则， 因为是上的减函数，且，， 由正切函数的性质可知，当时，为增函数， 当时，为减函数，所以是的极大值点. 令，则，所以是上的增函数， 故，所以当时，， 令，则，由，得， 时，是减函数，时，是增函数， 所以，即， 所以， 下面证明，令，即证，即， 设，则，所以是上的增函数， 所以时，，成立，命题得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 1．关于函数，下列判断正确的是（    ） A．的极大值点是 B．函数在上有唯一零点 C．存在实数，使得成立 D．对任意两个正实数，若，则 【答案】BD 【分析】对于A，直接求导，由导数与单调性、极值的关系直接判断即可；对于B，求导得单调递减，结合零点存在定理即可求解；对于C，当趋近无穷大时，无限接近于，也无限趋近于，从而也趋近，由此即可判断；对于D，通过分析只需证明，进一步通过换元并构造函数即可得证. 【详解】因为，，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，所以选项A错误； 对于B，函数，则， 由于，即在上恒成立， 所以在上单调递减，又当时，， 当时，，所以函数在上有唯一零点， 即函数有且仅有一个零点，所以选项B正确； 对于C，由，可得当趋近无穷大时，无限接近于， 也无限趋近于，从而也趋近， 故不存在实数，使得成立，所以选项C错误； 对于D，由得， 要证，只要证， 即证，不妨取，故令， 则，则， 故在上单调递增，所以， 即成立，故成立，故选项D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是适当转换问题为证明在上恒成立，由此可顺利得解. 2．已知函数，（）. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间， 单调递减区间 (2) 【分析】（1）求导后构造函数，再求导分析单调性，得到，进而得到的单调性即可； （2）问题等价于有两解，构造函数，求导分析单调性，得到，再结合对数运算解得，之后构造函数，求导分析单调性和最值，验证即可. 【详解】（1）当，， ， 当，令， 则， 因为恒成立，所以在上为减函数， 因为， 所以当，，单调递增；，，单调递减. （2）根据条件有两个零点等价于有两解. 不妨令， 则（）， 当时，在定义域内恒成立， 因此在递减，最多一个零点，不符. 当时，由，解得；，解得； 所以，时，的单调减区间为，增区间为； 若有两个零点，则必有， 化简得，解得， 又因，， 即， 当时，恒成立，即在单调递减， 可得， 也即得在恒成立， 从而可得在，区间上各有一个零点， 综上所述，若有两个零点实数a的范围为. 【点睛】方法点睛：函数零点问题可理解为方程根的个数问题，求导分析单调性和极值可求解. 3．已知函数. (1)求的极值. (2)已知，且. ①求的取值范围； ②证明:. 【答案】(1)极小值0，极大值 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求出导数，判断单调性根据极值定义求解； （2）根据，，结合函数的单调性和极值求得的取值范围；利用单调性可知，令，则，求得，利用分析法将所要证明的问题转化为，构造函数利用导数证明即可. 【详解】（1）由题意， 则当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极小值，当时，取得极大值. （2）①因为当时，，且在和上单调递增，在上单调递减，且， 又，，所以的取值范围为. ②因为，，由（1）的单调性可知， 令，则，因为，所以， 即，解得， 所以，要证，即证. 令，则， 所以在上单调递增，所以，故成立. 1．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； （2），则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又， 由（1）得，即，所以， 当时，， 则存在，使得， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 由（1）得当时，，，所以， 此时 存在，使得， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题. 2．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 【答案】(1) (2)证明见的解析 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【详解】（1）[方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间上是增函数 故，即 所以的取值范围为 （2）[方法一]：构造函数 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为,故只需证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握 3．（2021·全国·高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【答案】（1）；（2）证明见详解 【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数； （2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证，， ，即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，故； 当时，，单增，故； 综上所述，在恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性. 4．（2021·全国·高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性. (2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论. 【详解】(1)的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， (2)[方法一]：等价转化 由得，即． 由，得． 由（1）不妨设，则，从而，得， ①令， 则， 当时，，在区间内为减函数，， 从而，所以， 由（1）得即．① 令，则， 当时，，在区间内为增函数，， 从而，所以． 又由，可得， 所以．② 由①②得． [方法二]【最优解】：变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 令，则有，不妨设． 由（1）知，先证． 要证： ． 令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． [方法三]：比值代换 证明同证法2．以下证明． 不妨设，则， 由得，， 要证，只需证，两边取对数得， 即， 即证． 记，则. 记，则， 所以，在区间内单调递减．，则， 所以在区间内单调递减． 由得，所以， 即． [方法四]：构造函数法 由已知得，令， 不妨设，所以． 由（Ⅰ）知，，只需证． 证明同证法2． 再证明．令． 令，则． 所以，在区间内单调递增． 因为，所以，即 又因为，所以， 即． 因为，所以，即． 综上，有结论得证． 【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能. 方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略. 方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可. 方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在. 5．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论； （3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论. 【详解】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； （2）要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. （3）设，， 则， 由（2）知：，则， 所以，故在上递减，故； 下证， 令且，则， 当时，递增，当时，递减， 所以，故在上恒成立， 则， 所以，，…，， 累加得：，而， 因为，所以， 则， 所以，故； 综上，，即. 【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究单调性证右侧不等关系，再构造且，导数研究其函数符号得恒成立，结合放缩、累加得到为关键. 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