暑假作业06 平面向量基本定理及爪子定理、等和线（系数和）的应用-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（人教A版2019必修第二册）

完成时间： 月 日 天气： 作业06 平面向量基本定理 及爪子定理、等和线（系数和）的应用 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．　 2.形如条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 3.等和线（系数和） 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以 于是 综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一、单选题 1．设D为ABC所在平面内一点，则（　） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 4．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 二、多选题 6．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在中，，AD与BC交于点M．过M点的直线与两边OA、OB分别交于点E，F，设，则（    ）    A． B． C．可能的取值为 D．的最小值为 8．如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题 9．在中，为BC上一点，是AD的中点，若，，则 . 10．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是 1．在中，过中线的中点作一条直线分别交于两点，若，，则的最小值为 . 2．在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 4．已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，. (1)分别用来表示和 (2)求的最小值 5．如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 1．已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 2．在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 3．（北京·高考真题）在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝ ，y＝ . 4．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则 A． B． C． D． 5．（江苏·高考真题）设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 平面向量基本定理 及爪子定理、等和线（系数和）的应用 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．　 2.形如条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 3.等和线（系数和） 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以 于是 综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一、单选题 1．设D为ABC所在平面内一点，则（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量等式判断点在线段的延长线上，结合图形，将用和线性表示即得. 【详解】 如图，由可知，点在线段的延长线上,由图可得， =. 故选:A． 2．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题可知，点在上， ， 又， ，解得. 故选：C． 3．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 4．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 则，化简得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：涉及几何图形中的向量运算，根据图形特征建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标是解题的关键. 5．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得. 【详解】由点是的重心，，， 故， 由、、三点共线，故， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 二、多选题 6．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于B，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于C，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于D，若存在实数使得，则，无解，所以与不共线，可以作为平面的基底， 故选：ABC 7．如图所示，在中，，AD与BC交于点M．过M点的直线与两边OA、OB分别交于点E，F，设，则（    ）    A． B． C．可能的取值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理及推论计算判断ABC；利用数量积的定义计算判断D. 【详解】对于A，由AD与BC交于点M，得，而，令， 则，即有，而， 于是，由共线，得，解得， 因此，A正确； 对于B，由，，得， 而共线，于是，即，B正确； 对于C，依题意，，则， 当且仅当，即时取等号，而，因此不能取，C错误； 对于D，，显然， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 8．如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题 【详解】由， 由向量加法的三角形法则得 ， 又F为AE的中点，则，故A正确； ，故B正确； ，故D正确； ，故C错误. 故选：ABD 三、填空题 9．在中，为BC上一点，是AD的中点，若，，则 . 【答案】 【分析】利用向量线性运算得，再由中点的向量表示列式求得，从而得解. 【详解】因为， 所以 ， 因为是AD的中点，所以，所以，， 解得，所以. 故答案为：. 10．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意，设，然后分与讨论，结合三点共线定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 故答案为： 1．在中，过中线的中点作一条直线分别交于两点，若，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由向量的线性运算可得，则，再由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为是中线，所以， 又因为是的中点，所以 因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，取到最小值， 故答案为：. 2．在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用，，三点共线，求得，再利用基本不等式求得最值. 【详解】由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：， 故， 由题意，，，三点共线， 故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为； 故选：C 3．如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 【答案】/ 【分析】将用表示，然后利用三点共线列方程求解即可. 【详解】由得， 因为， 则， 因为三点共线， 所以，解得. 故答案为：. 4．已知，如图，在中，点满足在线段BC上且，点是AD与MN的交点，. (1)分别用来表示和 (2)求的最小值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）平面向量基本定理的运用，根据已知条件，结合向量的线性运算即可求解. （2）根据已知条件，结合三点共线性质和基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以. （2）由（1）， 因为，， 所以， 因为三点共线， 所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 5．如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知可得，进而可得，判断A；设，利用，，共线可求，进而可判断B；根据，利用三角形面积比可判断D；根据向量的线性运算可判断C． 【详解】对于A：根据， 故，故A正确； 对于B：设，则 ，又， ，，三点共线，， 且，，故，故B错误； 对于D：由于，故， ，故D正确； 对于C， ， ， ，故C正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解. 1．已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】延长交于D，将取值问题转换为的比值问题，根据图形将比值展开，根据内心的几何性质求解即可. 【详解】设内切圆半径为r，延长交于D，则，即， 由三点共线，得， ， ，. 当，即，亦即时等号成立，故. 故答案为：. 2．在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量基本定理结合三角形垂心的性质、平面向量三点共线的充要条件计算即可. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 设， 则， ， 所以， 在直角三角形中，. 故选：B 【点睛】思路点睛：由三角形为等腰三角形，及垂心的性质，结合平面向量基本定理、三点共线的线性关系确定一腰上垂足的位置解三角形即可. 3．如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. (1)若，求和的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解. (2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线， 所以. （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结，则为的中位线， ，    故选：A 2．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 3．（北京·高考真题）在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝ ，y＝ . 【答案】 【详解】特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.    考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题. 4．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面几何知识求解 【详解】如图，可知 =，选B. 【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用， 5．（江苏·高考真题）设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是 【答案】 【详解】依题意，， ∴，∴，，故. 【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$