暑假作业04 平面向量的概念及其线性运算-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（人教A版2019必修第二册）

完成时间： 月 日 天气： 作业04 平面向量的概念及其线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 4.向量的坐标运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，，终点坐标始点坐标 （2） 向量的加减法 ，， （3） 向量的数乘运算 ，则： （4） 向量的模 ，则的模 （5） 相反向量 已知，则；已知 （6） 单位向量 一、单选题 1．下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等 2．如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 3．在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 4．设，，，为平面四个不同点，它们满足，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 5．设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 6．已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（    ） A．2 B．－2 C．11 D．－11 8．已知点，，向量，∥，则（    ） A．时与方向相同 B．时，与方向相同 C．时与方向相反 D．时，与方向相反 三、填空题 9．已知向量，若，则 . 10．已知，是不共线的向量，且，，，若、、三点共线，则 . 四、解答题 11．如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 12．已知，，，设. (1)求满足的实数，的值； (2)若线段靠近点的三等分点为，求点的坐标. 1．已知向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 2．已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 3．已知向量，，，，若，则的最小值为 . 4．已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 5．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 1．如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则（    ） A． B． C． D． 2．若为的垂心，，则＝ ， ． 3．设向量,其中.若,则的最小值为 . 1．（上海·高考真题）在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（安徽·高考真题）已知向量,且,则的值分别为(　　) A．－2，1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1，2 3．（广东·高考真题）已知平面向量，，且，则等于（    ） A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8） 4．（全国·高考真题）设向量，不平行，向量与平行，则实数 ． 5．（山东·高考真题）已知向量与且则一定共线的三点是（   ） A．A，C，D三点 B．A，B，C三点 C．A，B，D三点 D．B，C，D三点 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 平面向量的概念及其线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 4.向量的坐标运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，，终点坐标始点坐标 （2） 向量的加减法 ，， （3） 向量的数乘运算 ，则： （4） 向量的模 ，则的模 （5） 相反向量 已知，则；已知 （6） 单位向量 一、单选题 1．下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等 【答案】D 【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可. 【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误； 对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误； 对于C：向量不可以比较大小，故C错误； 对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确. 故选：D 2．如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 3．在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【答案】D 【分析】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解. 【详解】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D 4．设，，，为平面四个不同点，它们满足，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算法则得到，即可判断. 【详解】因为， 所以，即， 所以，所以，所以，，三点共线. 故选：A 5．设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可. 【详解】对于非零向量， 由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立， 所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件， 故选：C. 二、多选题 6．已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果. 【详解】设点的坐标为， 由于平行四边形的四个顶点为， 所以可能有以下三种情形： 当时，即，解得，即的坐标为； 当时，即，解得，即的坐标为； 当，即，解得，即的坐标为； 故选：ABC. 7．向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（    ） A．2 B．－2 C．11 D．－11 【答案】BC 【分析】 由已知求出的坐标，根据向量共线的坐标运算，列出方程求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得， ． 因为A，B，C三点共线，所以， 所以，整理得， 解得k＝－2或11． 故选：BC． 8．已知点，，向量，∥，则（    ） A．时与方向相同 B．时，与方向相同 C．时与方向相反 D．时，与方向相反 【答案】BD 【分析】根据向量平行的坐标表示求出，再回代验证方向相同或相反. 【详解】，，可得， 又，， 可得，解得， 当时，与方向相反，当时，与方向相同. 故选：BD 三、填空题 9．已知向量，若，则 . 【答案】 【分析】利用向量平行的坐标表示可得答案. 【详解】因为，， 所以，解得. 故答案为：2. 10．已知，是不共线的向量，且，，，若、、三点共线，则 . 【答案】 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】由，可得, 由于,,三点共线，则, 故，解得， 故答案为： 四、解答题 11．如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 【答案】(1)23； (2)存在，4； (3)9. 【分析】（1）利用正六边形的特征，结合平面向量模的意义即可得出结论. （2）利用正六边形的特征，结合互为相反向量的意义即可得出结论. （3）利用正六边形的特征，结合共线向量的意义即可得出结论. 【详解】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有23个. （2）存在，由正六边形的性质知，， 所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个. （3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上， 所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个. 12．已知，，，设. (1)求满足的实数，的值； (2)若线段靠近点的三等分点为，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算与表示，求得，结合，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，得到，设，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）因为，且， 所以， 所以， 因为，可得，解得. （2）因为线段的三等分点为（点靠近点） 所以， 设即 所以，，解得:， 即点的坐标为， 1．已知向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】A 【分析】先求出，再根据可判断A；利用向量共线定理，设，利用向量相等列方程组求解即可判断B；同样，设，求判断C；求出，令，求解来判断D． 【详解】对于A，， 又，所以，则与共线， 又与有公共点B，所以A、B、D三点共线，A正确； 对于B，令，即，所以，不存在， 所以与不共线，即A，B，C三点不共线，B错误； 对于C，令，即，所以，不存在， 所以与不共线，即B，C，D三点不共线，C错误； 对于D，， 令，即，所以，不存在， 所以与不共线，即A，C，D三点不共线，D错误. 故选：A． 2．已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】C 【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可. 【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：C． 3．已知向量，，，，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用向量共线的坐标表示可得，配凑变形并借助“1”的妙用计算作答. 【详解】因向量，，由，得，，即，，， 因此， 当且仅当，即时取“=”， 所以当时，取最小值. 故答案为： 4．已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 5．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定，判断与的角平分线所在向量的关系推出选项． 【详解】 ,分别表示向量、方向上的单位向量， 的方向与的角平分线对应的方向相同， 又，， 在向量上移动， 点P的轨迹一定通过的内心 故选：B. 1．如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助向量的线性运算法则计算即可得. 【详解】令线段中点为，则有， ，， 则 ， 则. 故选：D. 2．若为的垂心，，则＝ ， ． 【答案】 / 【分析】依题意可得，设为的中点，为的中点，则，即可得到三角形面积之比，从而得到，，设，，表示出、，根据求出，即可得解. 【详解】因为，所以， 设为的中点，为的中点，则，， 所以， 所以为的中位线，且，所以为的中点，所以， 又，，所以，所以， 所以， 同理可得， 所以，， 又为的垂心，， 设，，则，， 所以，即，所以，则 所以，所以， 故答案为：； 3．设向量,其中.若,则的最小值为 . 【答案】 【解析】根据向量关系建立等式，求出，即可求得的最小值. 【详解】由题：向量,其中， 若,即 ， 所以 即，解得：， ， 当时，取得最小值. 故答案为： 【点睛】此题考查根据向量的线性关系求解参数的范围，熟练掌握基本运算，涉及转化与化归思想. 1．（上海·高考真题）在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据平面向量的线性运算依次判断选项即可. 【详解】如图，在平行四边形中，且， A：，故A正确； B：，故B正确； C：由，得，故C错误； D：，故D正确. 故选：C 2．（安徽·高考真题）已知向量,且,则的值分别为(　　) A．－2，1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1，2 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算列出关于的方程组求解即可. 【详解】因为,所以. 所以解得. 故选：D． 3．（广东·高考真题）已知平面向量，，且，则等于（    ） A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8） 【答案】D 【分析】由，求得，再利用向量的坐标运算求解. 【详解】解：因为，，且， 所以m=-4，， 所以=（-4，-8）， 故选：D 4．（全国·高考真题）设向量，不平行，向量与平行，则实数 ． 【答案】 【详解】因为向量与平行，所以，则所以． 考点：向量共线． 5．（山东·高考真题）已知向量与且则一定共线的三点是（   ） A．A，C，D三点 B．A，B，C三点 C．A，B，D三点 D．B，C，D三点 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及共线定理即可求解. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以,所以A，C，D三点不共线，故A错误； 对于B，因为， 所以,所以A，B，C三点不共线，故B错误； 对于C，因为 所以， 所以，又是与的公共点， 所以A，B，D三点共线，故C正确； 对于D，因为， 所以,所以B，C，D三点不共线，故D错误. 故选：C. 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