暑假作业03 三角函数的伸缩平移变换-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（人教A版2019必修第一册）

完成时间： 月 日 天气： 作业03 三角函数的伸缩平移变换 1. 三角函数的伸缩平移变换 （1） 伸缩变换（，是伸缩量） 振幅，决定函数的值域，值域为； 若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比 决定函数的周期， 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2） 平移变换（，是平移量） 平移法则：左右，上下 2. 三角函数图象的变换 一、单选题 1．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 2．要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度： D．问右平移个单位长度 3．为了得到的图象，只需将（     ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 4．将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若在函数的图象上，则（    ） A．，的最小值为 B．，的最小值为 C．，的最小值为 D．，的最小值为 5．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若把函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于原点对称，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数在上有2个零点 8．已知函数，将的图像上所有点向右平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，且为偶函数且它最小正周期为，则下列说法正确的是（     ） A．函数图像关于点中心对称 B．函数在区间上单调递增 C．不等式的解集为 D．方程在上有2个解 三、填空题 9．将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则 . 10．记函数的最小正周期为，且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的值可以是 （写出符合条件的一个具体数值即可）． 四、解答题 11．已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，若，求函数在上的取值范围. 12．已知函数. (1)已知，求的值域及单调区间； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将其图象向上平移个单位得到函数的图象，求不等式的解集. 1．已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称，则的最小值为 . 2．将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（），将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则函数的单调递增区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，若在上的最小值为-1，则的最大值是 . 5．（多选）函数的图象向左平移个单位长度后与原图象关于轴对称，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的一个周期是 C．是偶函数 D．在上单调递减 1．将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为 . 2．已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在内恰有2个最值点，则实数的取值范围为 ． 3．已知函数，把函数的图像先向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像. (1)求的单调递增区间及对称轴方程； (2)当时，若方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值. 1．（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 2．（2022·全国·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．（2021·全国·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 三角函数的伸缩平移变换 1. 三角函数的伸缩平移变换 （1） 伸缩变换（，是伸缩量） 振幅，决定函数的值域，值域为； 若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比 决定函数的周期， 若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比 （2） 平移变换（，是平移量） 平移法则：左右，上下 2. 三角函数图象的变换 一、单选题 1．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象平移法则可求解析式. 【详解】由题意得． 故选：B. 2．要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度： D．问右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的平移变换即可求解. 【详解】， 故将的图象向右平移个单位长度， 得到的图象，故D正确； 经检验，ABC错误. 故选：D 3．为了得到的图象，只需将（     ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【分析】根据三角函数图象变换和诱导公式，即可得出结果. 【详解】因为， 所以将的图象向左平移个单位，可得的图象. 故选：D 4．将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若在函数的图象上，则（    ） A．，的最小值为 B．，的最小值为 C．，的最小值为 D．，的最小值为 【答案】A 【分析】由题意利用的图象变换规律及诱导公式，可得，且，即可得的最小值. 【详解】由题意得， 由点向左平移个单位长度得到点， 可得，代入 可得， 则或， 即 或，. 又 ,所以的最小值为. 故选：A. 5．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的图象，求得，得到，再由点在图象上，求得，得到，结合三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得， 则，所以，则， 因为点在图象上，所以， 则，即， 又因为，则，所以， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到. 故选：D． 二、多选题 6．已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据周期性可得，根据图象变换可知，结合奇函数性质分析求解. 【详解】由题意知，函数的最小正周期为，则，得， 所以， 将函数的图象向左平移个单位长度， 可得的图象， 因为为奇函数，则，，即，， 当时，，符合题意；当时，符合题意. 故选：AC. 7．已知函数，若把函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于原点对称，则（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数在上有2个零点 【答案】BCD 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到函数的解析式，再由正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为的图像关于原点对称， 则，解得，又， 则时，，所以，故A错误； 因为，所以的图像关于点对称，故B正确； 当时，则，且函数在单调递减，故C正确； 令，即，解得，又， 则，共两个零点，故D正确； 故选：BCD 8．已知函数，将的图像上所有点向右平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，且为偶函数且它最小正周期为，则下列说法正确的是（     ） A．函数图像关于点中心对称 B．函数在区间上单调递增 C．不等式的解集为 D．方程在上有2个解 【答案】BCD 【分析】根据图像变换求出函数的解析式，结合周期公式及正弦型函数的奇偶性的性质可求，利用三角函数的对称，单调性判断AB，结合余弦函数性质解不等式判断C，结合三角恒等变换解方程判断D. 【详解】根据题意可得，， 又因为最小正周期为，则，且，则， 即， 又因为为偶函数，则， 解得，且， 所以当时，，所以， 则， 对于A，当时，， 所以点不是的对称中心，故A错误； 对于B，令， 解得， 所以是的子集， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为，即， 所以，， 解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为，， 所以，可化为， 所以， 所以，所以， 又， 所以或， 所以方程在上有2个解，D正确， 故选：BCD 三、填空题 9．将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数图象变换法则求解即可. 【详解】将图象上所有的点都向左平移个单位长度后，得到函数的图象， 再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得. 故答案为：. 10．记函数的最小正周期为，且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的值可以是 （写出符合条件的一个具体数值即可）． 【答案】1（满足即可，答案不唯一） 【分析】根据周期公式结合可得，再根据函数图象平移性质，结合余弦函数的对称性质求解即可. 【详解】由题意，则， 因为，故，则. 又的图象向右平移个单位得到， 所得图象关于轴对称，故，则， 即. 故的值可以是1（满足即可，答案不唯一）. 故答案为：1（满足即可，答案不唯一） 四、解答题 11．已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，若，求函数在上的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为；； (2). 【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式计算可得，由求出最小正周期，利用整体代换法即可求出单调区间； （2）根据三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期为； 令，则， 所以的单调增区间为. （2）的图象向左平移个单位长度得到， 再向上平移1个单位长度得到， 所以.令， 因为， 又因为，所以. 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即函数在上的取值范围是. 12．已知函数. (1)已知，求的值域及单调区间； (2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将其图象向上平移个单位得到函数的图象，求不等式的解集. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为 (2) 【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简函数，然后由正弦函数的值域及单调区间求解即可； （2）利用函数图象变换的规则，求得函数的解析式，进而利用一元二次不等式及正弦函数不等式求解即可. 【详解】（1） ， 由，则，所以， 所以，即的值域为， 令，解得，即的单调递增区间为， 令，解得，即的单调递减区间为， 所以在上的单调递增区间为，单调递减区间为， 值域为； （2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 得到，再将其图象向上平移个单位得到， 则， 故不等式即， 化为，化为， 即， 解得或（舍去），所以， 所以， 所以等式的解集为. 1．已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意写出平移后解析式且关于轴对称，则，，从而可求解. 【详解】由题意得将向左平移个单位后 得，且关于轴对称， 所以，，得，， 又因为，所以当时，有最小值. 故答案为：. 2．将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，得出平移图像后的函数解析式，结合函数的奇偶性可得，又根据，即可求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后函数解析式为： ，即， 又因为曲线关于原点对称，所以，， 解得，，因为，所以当时，取得最小值， 的最小值是. 故选：C 3．已知函数（），将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则函数的单调递增区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用三角函数的图象的平移变换可得，结合正弦函数的对称性可知，再根据三角函数的单调性即可求解. 【详解】由题知， ∵的图象关于原点对称， ∴，，解得，， ∵，当时，， ∴． 由，，得，， ∴函数的单调递增区间为，. 故选:D． 4．已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，若在上的最小值为-1，则的最大值是 . 【答案】 【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的性质列式求解即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后， 图象所对应解析式为：， 因为图象关于轴对称，所以，， 可得，，又，所以，即， 要使在上的最小值为，则在上的最小值为， 当时，，又， 所以，解得，即的最大值是. 故答案为： 5．（多选）函数的图象向左平移个单位长度后与原图象关于轴对称，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的一个周期是 C．是偶函数 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据三角函数图象平移变换结合平移后图象性质可得，即可得，由此将代入可判断A；根据周期性定义可判断B；求出的表达式结合偶函数定义判断C；结合x的范围，确定，结合余弦函数单调性，判断D. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象， 由题意可得，即， 故，故，由于，故, 故， 对于A，，A正确； 对于B，， 即的一个周期是，B正确； 对于C，， 不妨取，此时，此时函数不是偶函数， 即不是偶函数，C错误； 对于D，当时，，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，D正确， 故选：ABD 1．将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解. 【详解】由题意得， 当时，有，此时， 令，则， 因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 由图可知，，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解. 2．已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在内恰有2个最值点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数零点的最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个最值点可限定出，即可解得实数的取值范围. 【详解】由可得或； 根据正弦函数图象性质可知，解得； 将函数的图象向左平移个单位后可得为偶函数， 则，又可得； 因此； 当时，可知， 若函数在内恰有2个最值点，可知， 解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得，再由平移后的函数为偶函数求得，得出函数的解析式后问题便迎刃而解. 3．已知函数，把函数的图像先向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像. (1)求的单调递增区间及对称轴方程； (2)当时，若方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值. 【答案】(1)单调递增区间为，，对称轴方程为，. (2)答案见解析 【分析】（1）先利用两角和的余弦公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数的图象和性质求解即可； （2）根据平移得到的解析式，由的取值范围求出的单调区间和值域，进而得到函数图象，根据图象求解即可. 【详解】（1）由题意可得 ， 令，，解得，， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为，，对称轴方程为，. （2）根据题意及（1）中结论可得， 当时，， 令得，令得， 所以当时，单调递增，当时，单调递减，时，单调递增， 且，，，， 大致图像如图所示， 方程恰好有两个不同的根， 所以的取值范围为， 又因为的对称轴为和， 所以当时，当时. 1．（2020·江苏·高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】/ 【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】 当时 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．（2022·全国·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象． 故选：D.          4．（2021·全国·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 5．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 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