专题03 线段与角的画法（考点串讲）-2023-2024学年六年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

六年级沪教版数学下册期末考点大串讲 串讲03 线段与角的画法 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 4大易错易混分分析 4道期末真题对应考点练 二类重难点题型典例剖析 四大常考点：知识梳理+考点分类训练 考点透视 线段与角的画法 B B B B 4 cm或10 cm 18 D D C 24′ 98.505° 37 8 42 121°42′32″ 10°或70° 期末重难点突破 题型剖析 1.（2023春•长宁区期末）下列各图中，射线OA表示北偏西30°方向的是( ____ ) A.__ B.___ C.___ D.___ C 【解析】解：A、射线OA表示北偏东30°方向，故A不符合题意； B、射线OA表示东偏北30°方向，故B不符合题意； C、射线OA表示北偏西30°方向，故C符合题意； D、射线OA表示西偏北30°方向，故D不符合题意． 故选：C． 押题预测 30 2.（2023春•杨浦区期末）如图，已知点C在线段AB上，AC=2BC，且AB=2BD，若AB=15厘米，求CD的长． 【解析】解：因为AC=2BC，AB=15， 所以AC= =10． 因为AB=2BD，AB=15， 所以BD=AD= = ． 所以CD=AC-AD= ． 31 3.（2023春•长宁区期末）如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数． 【解析】解：设这个角的度数为x°， 2(180-x)-(90-x)=4x. 解得x=54． 所以这个角的度数是54°． 32 4.（2023春•普陀区期末）定义：如果两个角的度数的和是45°，那么这两个角叫做互为半余角．其中一个角称为另一个角的半余角．例如：∠α=20°，∠β=25°，因为∠α+∠β=45°，所以∠α和∠β互为半余角． (1)如果∠α=26°32′，∠β是∠α的半余角，那么∠β的度数是 ________ ． (2)如图，已知∠AOB=90°，射线OC在∠AOB的内部，满足0°＜∠BOC＜45°，OP是∠AOC的平分线． ①在∠BOP的内部画射线OQ，使∠POQ=45°．并写出图中∠POC的半余角： _______________ ． ②∠COM是∠BOC的半余角，当∠COM是∠POM的 时，求∠BOC的度数． 18°28′ ∠QOC或∠QOB 33 ______ 【解析】解：(1)∵∠α=26°32′，∠β是∠α的半余角， ∴∠β=45°-∠α=18°28′，故答案为：18°28′； 34 (2)①作∠BOC的平分线OQ，此时∠POQ=45°， ∵OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC， ∴∠AOP=∠POC= ∠AOC，∠BOQ=∠COQ= ∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC=90°， ∴∠POQ=∠POC+∠QOC = (∠AOC+∠BOC) = ×90° =45°， ∴∠POC+∠QOC=45°，∠POC+∠QOB=45°， ∴∠POC的半余角为∠QOC或∠QOB， 故答案为：∠QOC或∠QOB； 35 ②设∠BOC 度数为 x,则∠COM 度数为 45°-x,∠POC= (90°-∠BOC)=(45- )°， 如图1，∠POM=∠POC-∠COM =45- -(45-x) = ，由题意得， ， 解得x= ； 如图2， 由题意得， ， 解得x=30， 所以，∠BOC 度数为( )°或 30°． 36 考点1直线、射线、线段的性质 1．如图，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线(　　) A．A→C→D→B B．A→C→F→B C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B 2．如果你想将一根细木条固定在墙上，至少需要几个钉子(　　) A．一个 B．两个 C．三个 D．无数个 考点2线段的有关计算 3．线段AB＝6 cm，点P在线段AB上，且到A、B两点的距离相等．则PA的长为(　　) A．2 cm　　　　　　　　 B．3 cm C．4 cm D．不能确定 4．点P在线段EF上，四个等式①PE＝PF；②PE＝eq \f(1,2)EF；③eq \f(1,2)EF＝2PE；④2PE＝EF中能表示点P是EF中点的有(　　) A．4个　　 B．3个 C．2个　　 D．1个 5．(易错题)己知线段AB＝7 cm，在直线AB上画线段BC＝3 cm，则线段AC＝ . 6．如图，点C、D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点．若ED＝9，则线段AB的长度为 . 7．如图，B、C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是AD的中点，CD＝6.求线段MC的长． 解：设AB＝2x，则BC＝4x，CD＝3x，所以AD＝2x＋4x＋3x＝9x，因为CD＝6，即3x＝6，所以x＝2，所以AD＝9x＝18，又因为M是AD的中点，所以MD＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×18＝9，所以MC＝MD－CD＝9－6＝3. 8．如图，C为线段AD上的一点，B点为CD的中点，且AD＝12 cm，BD＝3 cm.求： (1)图中共有多少条线段？分别是？ (2)如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，则该线段上共有 条线段． (3)动点P、Q同时从A、C出发，分别以每秒2 cm，1 cm 速度都向D的方向运动，多长时间会相遇？ 解：(1)图中共有6条线段：AC，BC，BD，AB，CD AD； (2)eq \f(mm－1,2)； (3)因为点B为CD的中点，所以CD＝2BD．因为BD＝3 cm，所以CD＝6 cm.因为AC＝AD－CD且AD＝12 cm，CD＝6 cm，所以AC＝6 cm.设经过t秒P、Q两点相遇，则2t－t＝6，t＝6.所以经过6秒P、Q两点会相遇． 考点3角的有关计算 9．如图，以下等式正确的有(　　) ①∠AOC＋∠COD＝∠AOD；②∠BOD－∠COD＝∠BOC；③∠AOC－∠BOC＋∠BOD＝∠AOD；④∠AOD－∠AOC＋∠BOC＝∠BOD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，∠AOB＝30°，OD平分∠BOC，∠COD＝47°，那么∠AOC等于(　　) A．65° B．77° C．114° D．124° 11．如图，将一幅三角尺按不同的位置摆放，摆放方式中的∠α与∠β互余的是(　　) 12．0.4°＝ ,98°30′18″＝ ,37.145°＝ ° ′ ″. 解：原式＝36°17′30″＋72°132′＝108°149′30″＝110°29′30″. 13．(通辽中考)如图，点O在直线AB上，∠AOC＝58°17′28″则∠BOC的度数是 . 14．已知∠AOB＝30°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC∶∠AOB＝4∶3，则∠BOC的度数是 . 15．计算： (1)180°－21°17′×5； 解：原式＝180°－105°85′＝180°－106°25′＝73°35′； (2)72°35′÷2＋18°33′×4. 16．如图，点O为直线AB上一点，将直角三角板OCD的直角顶点放在点O处．已知∠AOC的度数比∠BOD的度数的3倍多10度． (1)求∠BOD的度数； (2)若OE、OF分别平分∠BOD、∠BOC，求∠EOF的度数(写出必要的推理过程)． 解：(1)设∠BOD＝x°，因为∠AOC的度数比∠BOD的度数的3倍多10度，且∠COD＝90°，所以x＋(3x＋10)＋90＝180，解得x＝20，所以∠BOD＝20°； (2)因为OE、OF分别平分∠BOD、∠BOC，所以∠BOE＝eq \f(1,2)∠BOD，∠BOF＝eq \f(1,2)∠BOC＝eq \f(1,2)(∠BOD＋∠COD)，所以∠EOF＝∠BOF－∠BOE＝eq \f(1,2)∠COD＝45°. 17．把一副三角板的直角顶点O重叠在一起． (1)如图①，当OB平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？ (2)如图②，当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？ (3)当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD，则∠BOC多少度？ 解：(1)当OB平分∠COD时，有∠BOC＝∠BOD＝45°，于是∠AOC＝90°－45°＝45°，所以∠AOD＋∠BOC＝∠AOC＋∠COD＋∠BOC＝45°＋90°＋45°＝180°； (2)当OB不平分∠COD时，有∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝90°，∠COD＝∠BOD＋∠BOC＝90°，于是∠AOD＋∠BOC＝∠AOC＋∠BOC＋∠BOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠COD，所以∠AOD＋∠BOC＝90°＋90°＝180°； (3)由上得∠AOD＋∠BOC＝180°，有∠AOD＝180°－∠BOC,180°－∠BOC＝4(90°－∠BOC)，所以∠BOC＝60°. 考点4综合应用 18．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA∶OB＝2∶1. (1)A、B对应的数分别为 、 ； (2)点A、B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距1个单位长度？ (3)点A、B以(2)中的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得4AP＋3OB－mOP为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 解：(1)－10　5； (2)设x秒后A、B相距1个单位长度，当点A在点B的左侧时，4x＋3x＝15－1，解得x＝2，当点A在点B的右侧时，4x＋3x＝15＋1，解得x＝eq \f(16,7)，答：2或eq \f(16,7)秒后A、B相距1个单位长度； (3)设t秒后4AP＋3OB－mOP为定值，由题意得，4AP＋3OB－mOP＝4×[7t－(4t－10)]＋3(5＋3t)－7mt＝(21－7m)t＋55，所以当m＝3时，4AP＋3OB－mOP为定值55. 类型一：线段的计算 1．如图，已知线段AB＝80cm，M为AB的中点，P在MB上，N为PB的中点，且NB＝14cm，求MP的长． 解：∵AP＝AB－PB＝80－28＝52(cm)，AM＝eq \f(1,2)AB＝40(cm)，∴MP＝AP－AM＝12(cm)，即MP的长为12cm. 解：由已知得：AC＝AB＋BC＝AB＋2AB＝3AB．所以AB＝eq \f(1,3)AC.因为D是AC的中点，所以AD＝eq \f(1,2)AC.设AC＝xcm，因为AD－AB＝BD，所以eq \f(1,2)x－eq \f(1,3)x＝2.解得x＝12.所以AC的长度是12cm. 2．如图，延长线段AB到C，使BC＝2AB，取AC的中点D，已知BD＝2cm，求AC的长． 3.如图所示，线段AD＝6 cm，线段AC＝BD＝4 cm，E、F分别是线段AB、CD的中点，求线段EF的长． 【分析】　由线段AD、BD、AC的长可求出AB、CD的长，再由E、F分别为AB、CD中点．可求得AE、FD的长，从而可求出EF的长． 【解答】　因为AD＝6 cm，AC＝BD＝4 cm，所以AB＝CD＝6－4＝2(cm)．因为E、F分别为AB、CD的中点，所以AE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×2＝1(cm)，FD＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,2)×2＝1(cm)．所以EF＝AD－AE－FD＝6－1－1＝4(cm)． 4．如图，已知P是线段AB上一点，AP＝eq \f(2,3)AB，C、D两点从A、P同时出发，分别以每秒2 cm，每秒1 cm的速度沿AB方向运动，当点D到达终点B时，点C也停止运动，设AB＝a(cm)，点C、D的运动时间为t(s)． (1)用含a和t的代数式表示线段CP的长度； (2)当t＝5时，CD＝eq \f(1,2)AB，求线段AB的长； (3)当CB－AC＝PC时，求eq \f(PD,AB)的值． 解：(1)因为AB＝a，AP＝eq \f(2,3)AB，所以AP＝eq \f(2,3)a，因为AC＝2t，所以CP＝AP－AC＝eq \f(2,3)a－2t； (2)因为CD＝eq \f(1,2)AB，所以eq \f(2,3)a－2t＋t＝eq \f(1,2)a，当t＝5时，解得a＝30，所以AB＝30(cm)； (3)因为CB－AC＝PC，所以AC＝PB，因为AP＝eq \f(2,3)AB，所以PB＝eq \f(1,3)AB，所以AC＝PC＝PB＝2t，所以AB＝6t，因为PD＝t，所以eq \f(PD,AB)＝eq \f(1,6). 类型二：角的计算 5．如图，点O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，若∠AOD＝14°，求∠DOE、∠BOE的度数． 解：∵OD是∠AOC的平分线，∠AOD＝14°，∴∠AOC＝2∠AOD＝2×14°＝28°.∵∠AOB＝180°，OE是∠COB的平分线，∴∠BOE＝eq \f(1,2)∠BOC＝eq \f(1,2)×(180°－∠AOC)＝76°，∠DOE＝eq \f(1,2)∠BOC＋eq \f(1,2)∠AOC＝76°＋14°＝90°.∴∠DOE＝90°，∠BOE＝76°. 6．如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线OE、OC、OD、OF，且OE平分∠AOC，OF平分∠DOB． (1)若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，求∠EOF的度数； (2)若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数． 解：(1)∵OE平分∠AOC，OF平分∠DOB，∴∠EOC＝eq \f(1,2)∠AOC，∠DOF＝eq \f(1,2)∠DOB．∵∠AOB＝160°，∠COD＝40°，∴∠EOC＋∠DOF＝eq \f(1,2)(∠AOC＋∠DOB)＝eq \f(1,2)(∠AOB－∠COD)＝60°.∴∠EOF＝∠EOC＋∠DOF＋∠COD＝60°＋40°＝100°；　 (2)由(1)可知，∠EOC＋∠DOF＝eq \f(1,2)(∠AOB－∠COD)＝eq \f(1,2)(α－β)．∴∠EOF＝∠EOC＋∠DOF＋∠COD＝eq \f(1,2)(α－β)＋β＝eq \f(1,2)(α＋β)． 7.如图①，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线． (1)当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时(如图②)，则∠MON的大小为 ； (2)如图③，在(1)的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝10°时，求∠MON的大小，写出解答过程； (3)在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON＝ °. 【解答】　解：(1)37.5°； (2)因为∠DOC＝30°，∠BOC＝10°，所以∠BOD＝40°，因为ON平分∠BOD，所以∠DON＝eq \f(1,2)×40°＝20°.因为∠AOB＝45°，所以∠AOC＝10°＋45°＝55°，因为OM平分∠AOC，所以∠AOM＝eq \f(1,2)×55°＝27.5°，所以∠MON＝∠AOD－∠DON－∠AOM＝30°＋45°＋10°－20°－27.5°＝37.5°； (3)37.5°. 【分析】　图①设∠BOC＝α，分别计算出∠BON和∠MOB，即可求出∠MON的大小．图②中α＝0，∠MON等于∠BOD与∠AOC的度数和的一半．图③思路与图①相同． 【易错分析】 1．几何图形中的字母表示要注意大小写与顺序性． 2．点与直线的位置关系，射线与角的位置关系存在多种，解题要思考全面不漏解． 3．角度换算中，不是10进制而是60进制． 4．互余的两个角只存在数量关系，不存在位置关系． $$