专题02一次方程（组）和一次不等式（组）（考点串讲）-2023-2024学年六年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

六年级沪教版数学下册期末考点大串讲 串讲02 一次方程（组）和一次不等式（组） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 九大易错易混经典例题 7道期末真题对应考点练 12个考点分类训练 三大常考点：知识梳理 考点透视 知识梳理 考点透视 知识梳理 考点透视 知识梳理 D －1 4 题型剖析 B C C D 5x＝10 x＝2 A 2x＋56＝589－x C B ＜ x＜5 x＞－1 x＞－1 B C 1 D C A B 2 1 C C 4 2 D 易错易混 B D 5≤x＜6 12 2 D 1.（2023春•嘉定区期末）若m＞n,则下列不等式中一定成立的是( ____ ) A.m+3＜n+3 B.-3m＜-3n C.3m＜3n D.ma2＞na2 【解析】解：A．∵m＞n,∴m+3＞n+3，故本选项不符合题意； B．∵m＞n,∴-3m＜-3n,故本选项符合题意； C．∵m＞n,∴3m＞3n,故本选项不符合题意； D．当a=0时，ma2=na2，故本选项不符合题意； 故选：B． B 押题预测 38 2.（2023春•宝山区期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 ____ cm. 【解析】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高x cm,单独一个纸杯的高度为y cm, 由题意得 ，解得 ，则n个纸杯叠放在一起时的高度为：(n-1)x+y=n-1+7=(n+6)cm, 当n=50时，其高度为：50+6=56(cm)． 故答案为：56． 56 39 3.（2023春•嘉定区期末）解方程： - =1． 【解析】解：方程两边同乘以12得： 12× -12× =12， 则3(x+2)-2(2x-3)=12， 故3x+6-4x+6=12， 移项合并同类项得：-x=0， 解得：x=0． 40 4.（2023春•宝山区期末）解方程组： 【解析】解：①×4+②得：19x=19， 解得：x=1， 把x=1代入①得：y=-2， 则方程组的解为 ． 41 5.（2023春•嘉定区期末） 解不等式组 ，并写出它的所有整数解． 【解析】解： ， 解不等式①得，x≥3， 解不等式②得，x＜5， ∴不等式组的解集为3≤x＜5， ∴不等式组的整数解为3，4． 42 6.（2023春•长宁区期末）解方程组： ． 【解析】解：在方程组 中， ①+②可得3x-y=1④， ①+③可得4x=4，解得x=1， 把x=1代入④可得y=2， 把x=1、y=2代入①可得z=3， ∴原方程组的解为 ． 43 7.（2023春•黄浦区期末）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【解析】解：设共有x人，根据题意得： +2= ， 去分母得：2x+12=3x-27，解得：x=39， ∴ =15， 则共有39人，15辆车． 44 【考点分类训练】 考点1：一元一次方程及其解的概念 1．下列方程是一元一次方程的是(　　) A．x＝eq \f(1,x)　　　　　　 B．eq \f(x－1,4)＝eq \f(y－2,3) C．(x－1)(x－2)＝0 D．7x＋1＝3x－2 2．若(m－1)x|m|＋2＝0是一元一次方程，则m＝ . 3．已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，则m的值是 . 考点2：等式的性质 4．下列各方程变形符合等式性质2的是(　　) A．若－eq \f(1,3)x＝1，则x＝－eq \f(1,3) B．若－2x＝5，则x＝－eq \f(5,2) C．若－3x－2＝x＋1，则3x－x＝1－2 D．若2x－5＝7，则2x＝7＋5 5．若x＝y，下列式子：①x－eq \f(1,3)＝y－eq \f(1,3)；②eq \f(1,3)x＝eq \f(1,2)y；③－eq \f(3,4)x＝－eq \f(3,4)y；④ 3x－1＝3y－1.其中正确的有(　　) A．1个　　 B．2个 C．3个　　 D．4个 考点3：　一元一次方程的解法 6．解方程eq \f(3y－1,4)－1＝eq \f(5y＋7,6)，为了去分母应将方程两边同乘以 最适宜(　　) A．6 B．10 C．12 D．24 7．解方程eq \f(x＋3,4)－eq \f(1－2x,8)＝1，去分母正确的是(　　) A．2(x＋3)－(1－2x)＝1 B．2x＋3－1－2x＝8 C．2x＋6－1－2x＝8 D．2(x＋3)－(1－2x)＝8 8．将方程eq \f(9,2)x－3＝－eq \f(1,2)x＋7移项后得　eq \f(9,2)x＋eq \f(1,2)x＝7＋3　，合并同类项得 ，系数化为1得 . (3)eq \f(x－4,0.2)－2.5＝eq \f(x－3,0.05)； 解：x＝2.5； (4)eq \f(1,9){eq \f(1,7)[eq \f(1,5)(eq \f(x＋2,3)＋4)＋6]＋8}－1＝0. 解：x＝1. 9．解下列方程： (1)5x＋40－5＝12x－42； 解：x＝11； (2)3－[2(1－3x)－5]＝4(x－1)＋2； 解：x＝－4； 考点4：一元一次方程的应用 10．小华带x元去买甜点，若全买红豆汤圆刚好可买30杯，若全买豆奶刚好可买40杯．已知豆奶每杯比红豆汤圆便宜10元，依题意可列出下列哪一个方程式(　　) A．eq \f(x,30)＝eq \f(x,40)＋10 B．eq \f(x,40)＝eq \f(x,30)＋10 C．eq \f(x,40)＝eq \f(x＋10,30) D．eq \f(x＋10,40)＝eq \f(x,30) 11．七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数比到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为 . 12．商场“十一”期间搞促销，一次性购物不超过200元不优惠；超过200元，但不超过500元，按九折优惠；超过500元，超过部分按八折优惠，其中的500元仍按九折优惠，某人两次购物分别用了134元和446元．问： (1)此人两次购物，若物品不打折，值多少钱？ (2)此人两次购物共节省多少钱？ (3)若将两次购物的钱合起来，一次购买相同的商品，是否更节省？节省多少钱？ 解：(1)654元； (2)54元； (3)是，节省26.8元． 13．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140 t，该公司加工的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 t；如果进行精加工，每天可加工6 t，但这两种加工方式不能同时进行，受季节等条件的限制，公司必须在15天内将这些蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行精加工的蔬菜，在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案获利最多？为什么？ 解：方案三：理由：方案一：4500×140＝630000(元)；方案二：7500×6×15＋1000×50＝725000(元)；方案三：设精加工x t，则粗加工(140－x)t，根据题意，得eq \f(x,6)＋eq \f(140－x,16)＝15，解得x＝60,7500×60＋4500×80＝810000(元)，所以方案三获利最多． 考点5：不等式及不等式的性质 14．在式子－3＜0，x≥2，x＝a，x2－2x，x≠3，x＋1＞y中，是不等式的有(　　) A．2个　 B．3个　 C．4个　 D．5个 15．已知x＋3与y－5的和是负数，以下所列不等式正确的是(　　) A．(x＋3)＋(y－5)＞0 B．(x＋3)＋(y－5)＜0 C．(x＋3)－(y－5)＞0 D．(x＋3)＋(y－5)≤0 16．若a＞b，则比较大小：－a＋3 －b＋3. 17．根据不等式性质将下列不等式化成x＞a或x＜a的形式． (1)x－2＜3化为 ； (2)6x＞5x－1化为 ； (3)－4x＞4化为 . 考点6：解一元一次不等式 18．(长春中考)不等式3x－6≥0的解集在数轴上表示正确的是(　　) 19．(丽水中考)若关于x的一元一次方程x－m＋2＝0的解是负数，则m的取值范围是(　　) A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2 20．(湘西中考)对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab－a＋b－2.例如，2※5＝2×5－2＋5－2＝11.请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是 . 21．(江西中考)解不等式：x－1≥eq \f(x－2,2)＋3. 解：去分母得，2(x－1)≥x－2＋6， 去括号得，2x－2≥x－2＋6， 移项得，2x－x≥－2＋6＋2， 合并同类项得，x≥6. 考点7.一元一次不等式的应用 22．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧速度为0.5cm/s，人跑开的速度是4m/s，为使放炮的人在爆破时能安全跑到100m以外的安全区，导火索的长度x(cm)应满足的不等式是(　　) A．4×eq \f(x,0.5)≥100 B．4×eq \f(x,0.5)≤100 C．4×eq \f(x,0.5)＜100 D．4×eq \f(x,0.5)＞100 23．小明准备用22元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每本笔记本2元，他买了3本笔记本后，用剩余的钱来买笔，那么他最多可以买(　　) A．3支笔 B．4支笔 C．5支笔 D．6支笔 24．(娄底中考)“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台，已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨，购回的设备日处理能力不低于140吨． (1)请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案； (2)已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠．问：采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？ 解：(1)设该景区购买设计A型设备为x台，则B型设备购买(10－x)台，其中0≤x≤10，由题意，得12x＋15(10－x)≥140，解得x≤eq \f(10,3)，∵0≤x≤10，且x是整数，∴x＝3、2、1、0，∴B型相应的台数分别为7、8、9、10，共有4种方案：方案一：A型设备3台、B型设备7台；方案二：A型设备2台、B型设备8台；方案三：A型设备1台、B型设备9台；方案四：A型设备0台、B型设备10台；　 (2)方案二费用最少，理由如下：方案一购买费用：3×3＋4.4×7＝39.8(万元)＜40(万元)，∴费用为39.8(万元)；方案二购买费用：2×3＋4.4×8＝41.2(万元)＞40(万元)，∴费用为41.2×90%＝37.08(万元)；方案三购买费用：3×1＋4.4×9＝42.6(万元)＞40(万元)，∴费用为42.6×90%＝38.34(万元)；方案四购买费用：4.4×10＝44(万元)＞40(万元)，∴费用为44×90%＝39.6(万元)．∴方案二费用最少，即A型设备2台、B型设备8台时费用最少． 考点8.一元一次不等式组 25．(金华中考)若关于x的一元一次不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－1＞3x－2,x＜m))的解集是x＜5，则m的取值范围是(　　) A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5 26．(自贡中考)解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－5≤1 ①,\f(13－x,3)＜4x ②))，并在数轴上表示其解集． 解：解不等式①，得x≤2；解不等式②，得x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x≤2.将其表示在数轴上，如图所示 考点9：二元一次方程及其特定解 27．下列是二元一次方程的是(　　) A．3x－6＝x　　 B．3x＝2y C.eq \f(x－1,y)＝0 D．2x－3y＝xy 28．若xa－b＋2ya＋b－2＝3是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ， . 考点10：二元一次方程组及其解法 29．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3,x－z＝1)) B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3y＝6,xy＝5)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(y,3)＝4,4x＋3y＝2)) D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(y,3)＝\f(1,2),x＋2y＝3)) 30．在方程eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝5中，用关于x的式子表示y，正确的是(　　) A．x＝eq \f(2,3)y－10 B．x＝eq \f(2,3)y＋10 C．y＝eq \f(3,2)x－15 D．y＝eq \f(3,2)x＋15 31．已知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝2))是二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝m,nx－y＝1))的解，则m－n的值是 . 32．如果方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝7,5x－y＝9))的解是方程3x＋my＝8的一个解，则m＝ . 33．解下列方程组： (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝6 ①,2x＋3y＝1 ②))；　(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－0.3y－2＝\f(x＋1,5),\f(y－1,4)＝\f(4x＋9,20)－1)). 解：(1)①×2，得10x＋8y＝12 ③， ②×5，得10x＋15y＝5 ④， ④－③，得7y＝－7.解得y＝－1. 把y＝－1代入②，得 2x＋3×(－1)＝1.解得x＝2. ∴原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－1))； (2)原方程组可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1.5y＝7,4x－5y＝6))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝2)). 考点11.二元一次方程组的应用 34．(江西中考)中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y 两，依题意，可列出方程组为　 　. eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝10,2x＋5y＝8)) 35．胜利中学为表彰在教学上取得突出成绩的36名教师，准备组织这些优秀教师外出旅游．已知某旅游公司旅游线路的价格为：A种旅游线路3000元/人，B种旅游线路2000元/人，C种旅游线路1250元/人．若计划用50250元资金安排这次活动，并且要求有两种不同的旅游线路，你能设计出几种购票方案？说说你的理由． 解：∵2000×36＝72000＞50250，∴A和B不能同时为线路，故可行的线路有两种：①A和C；②B和C.①设参加线路A的有x人，线路C的有y人，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝36,3000x＋1250y＝50250))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝33)).即参加线路A的有3人，线路C的有33人；②设参加线路B的有m人，线路C的有n人，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋n＝36,2000m＋1250n＝50250))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝7,n＝29)).即参加线路B的有7人，线路C的有29人． 考点12：三元一次方程组 36．某少年活动中心备有足球、篮球、排球共100个，足球的个数比篮球与排球的个数之和多2个，篮球比排球少7个，求足球、篮球、排球的个数． 解：设少年活动中心有足球x个，篮球y个，排球z个．根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝100,x＝y＋z＋2,z－y＝7))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1()) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝51,y＝21,z＝28)).答：足球、篮球、排球分别有51个，21个，28个． ●对不等式的解与解集的意义理解不透． 例1.下列说法中正确的是(　　) A．x＝1是方程－2x＝2的解　　　　　 B．x＝－1是不等式－2x＞2的唯一解 C．x＝－2是不等式－2x＞2的解集 D．x＝－2，－3都是不等式－2x＞2的解且它的解有无数个 ●运用不等式的性质时忽略两边同乘的数(或式子)的符号． 例2.下列不等式的变形正确的是(　　) A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得－2a＜－2b C．由a＞b，得－a＞－b D．由a＞b，得a－2＜b－2 ●解一元一次不等式去分母时忽略分数线的作用． 例3.解不等式eq \f(x＋1,3)－eq \f(x－1,2)≥x－1，下列去分母正确的是(　　) A．2x＋1－3x－1≥x－1 B．2(x＋1)－3(x－1)≥x－1 C．2x＋1－3x－1≥6x－1 D．2(x＋1)－3(x－1)≥6(x－1) ●运用解集求原不等式组中字母的取值范围时易忽略等号． 例4.若关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－a≤0,3－2x＜0))有4个整数解，则a的取值(取值范围)是 . ●在不等式应用题中取最小或最大整数解出错． 例5.某次数学竞赛中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对 道题，成绩才能在60分以上． ●根据二元一次方程的定义，确定未知数的系数和次数中待定字母值的时候，易只关注未知数的次数是1，而忽略了系数不等于0的条件． 例6.若(m＋2)x|m|－1＋y2n＋m＝5是关于x、y的二元一次方程，则m＝ ， n＝　 　. ●判断二元一次方程组时，只关注组中每个方程，而忽略了组中共含有三个未知数． －eq \f(1,2) 例7.下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,y)＝5,－5x－7y＝1))　 B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xy＝2,y－x＝3))　　　　 C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－2y＝0,y＋2z＝7))　　 D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝4)) ●加减消元时，易漏乘某项系数而致错． 例8.解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9x＋3y＝9 ①,7x＋5y＝－1 ②)). 解：①－②得2x－2y＝10，即x－y＝5，亦即5x－5y＝25 ③，②＋③得12x＝24，∴x＝2.把x＝2代入③，得y＝－3.∴原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－3)). ●忽略集中消同一未知数导致不会解三元一次方程组． 例9.下面是小明解三元一次方程组的消元过程，当他解到第三步时，发现还是无法求出方程组的解，请帮小明分析解题的错因，并加以改正． 解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝27 ①,y＋z＝33 ②,x＋z＝30 ③)) [错解]第一步：①－②，得(消y)x－z＝－6 ④，第二步：②－③，得(消z)y－x＝3 ⑤，第三步：由④⑤组成方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－z＝－6,y－x＝3))，此方程组无法求解． 解：错解原因是消元的目的不明确，消元时，应始终对同一个未知数进行，否则就达不到消元的目的． 正解：②－③，得y－x＝3 ④，由①④组成方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝27,y－x＝3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝12,y＝15))，将x＝12代入③，得z＝18. ∴方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝12,y＝15,z＝18)). $$