第10讲 函数的单调性和最值-【暑假预科讲义】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第10讲 函数的单调性和最值 【人教A版2019】 ·模块一 函数的单调性 ·模块二 函数的最值 ·模块三 课后作业 模块一 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 . 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 . (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【考点1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1.1】（23-24高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 【例1.2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【变式1.1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【变式1.2】（2023高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 【考点2 利用函数的单调性求参数】 【例2.1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设命题“函数为递减函数”，命题“”，则P是Q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.1】（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点3 利用函数的单调性比较大小】 【例3.1】（23-24高一上·福建福州·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二下·黑龙江·开学考试），，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2024高一·全国·专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【考点4 利用函数的单调性解不等式】 【例4.1】（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 模块二 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)x∈1，都有f(x)≤M； (2)x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)x∈1，都有f(x)≥m； (2)x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【考点1 求函数的最值】 【例1.1】（23-24高一上·广东江门·期中）函数，的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【例1.2】（23-24高一上·北京·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1.1】（23-24高一上·湖北·期中）已知函数，，则函数（  ） A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值 C．既有最小值又有最大值 D．既无最小值，又无最大值 【变式1.2】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【考点2 利用函数的单调性求值域】 【例2.1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一上·江西·期中）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【考点3 根据函数的最值求参数】 【例3.1】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知，若函数有最小值为4，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【例3.2】（23-24高一上·河南郑州·期中）若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【变式3.1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 【变式3.2】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）定义一种运算，设（为常数，且，则使函数的最大值为4的的值可以是（    ） A．或4 B．6 C．4或6 D． 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若，则函数的最小值是（    ） A． B． C．4 D．5 3．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知函数（），在区间上单调递增，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 8．（2024高一上·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·新疆·阶段练习）（多选题）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设函数，则（   ） A．当时，函数有最小值为 B．当时，函数是增函数 C．当时，函数有最小值为 D．存在正实数，使得函数在上单调递增 三、填空题 11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 12．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 四、解答题 13．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 14．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，， (1)求的值； (2)证明：用定义证明函数在上是增函数； 15．（23-24高一上·重庆·期末）已知定义在上的函数满足，且对任意． (1)证明：在上单调递减； (2)解不等式． 16．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 函数的单调性和最值 【人教A版2019】 ·模块一 函数的单调性 ·模块二 函数的最值 ·模块三 课后作业 模块一 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 . 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 . (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【考点1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1.1】（23-24高一上·天津和平·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 【解题思路】由对勾函数的单调性求解即可. 【解答过程】函数为对勾函数， 由对勾函数的性质知，函数的单调递减区间为：，. 不能选C，因为不满足减函数的定义. 故选：D. 【例1.2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【解题思路】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【解答过程】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【解题思路】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【解答过程】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 【变式1.2】（2023高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 【解题思路】对题中条件进行变化，构造新函数，根据增、减函数的定义即可. 【解答过程】不妨令， ， 令，， 又，∴是增函数． 故选:A. 【考点2 利用函数的单调性求参数】 【例2.1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二次函数的单调性判断. 【解答过程】因为函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， ，解得，所以的取值范围是. 故选：A. 【例2.2】（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设命题“函数为递减函数”，命题“”，则P是Q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】求出为真时，的取值范围，与命题中的取值范围比较，即可得出答案. 【解答过程】由为真，即函数为递减函数， 则应有，所以. 又所表示的范围大于不等式所表示的范围， 所以，P是Q的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围. 【解答过程】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【变式2.2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D. 【考点3 利用函数的单调性比较大小】 【例3.1】（23-24高一上·福建福州·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据单调性判断． 【解答过程】是增函数， 时，，；时，，；，因此，；时，，， 故选：C． 【例3.2】（23-24高二下·黑龙江·开学考试），，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数,易得单调递增，即可得到结果. 【解答过程】因函数在上单调递增， 故，即,,即 故选:A. 【变式3.1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据得到，，然后根据单调性比较大小即可. 【解答过程】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 【变式3.2】（2024高一·全国·专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造，根据复合函数单调性得在上是减函数，利用单调性可得答案. 【解答过程】设， 为上为增函数，在上为减函数， 根据复合函数单调性得在上是减函数， 若， 则． 故选：C． 【考点4 利用函数的单调性解不等式】 【例4.1】（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案. 【解答过程】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得， 解得，即， 故选：D. 【例4.2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据定义域以及单调性列出关于的不等式组，由此求解出解集. 【解答过程】函数是定义在上的增函数， 有，解得， 不等式的解集为， 故选：A． 【变式4.1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】因为，所以由， 因为是定义在上的增函数， 所以有， 故选：A. 【变式4.2】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，得到，令，推得在上单调递减，把不等式转化为，结合，得到，即可求解. 【解答过程】由题意知：， 可得， 且，即， 令，不妨设，可得，则， 即，所以在上单调递减， 则不等式，且，转化为， 因为，所以，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 模块二 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)x∈1，都有f(x)≤M； (2)x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)x∈1，都有f(x)≥m； (2)x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【考点1 求函数的最值】 【例1.1】（23-24高一上·广东江门·期中）函数，的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】先分离常数，再利用函数单调性求解最值即可. 【解答过程】， 而的图象由函数图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到， 所以在上单调递增， 所以当时，函数，有最大值为. 故选：B. 【例1.2】（23-24高一上·北京·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据函数的单调性求解． 【解答过程】由已知时是减函数，，此时， 时，是增函数，且， 所以， 故选：A． 【变式1.1】（23-24高一上·湖北·期中）已知函数，，则函数（  ） A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值 C．既有最小值又有最大值 D．既无最小值，又无最大值 【解题思路】画出函数图像，根据图像得到答案. 【解答过程】函数的图像时是由向右平移1个单位形成， 画出函数图像，如图所示：    根据图像知，函数在上既无最小值，又无最大值. 故选：D. 【变式1.2】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据的单调区间，分、、和讨论即可. 【解答过程】因为在单调递减，在单调递增， 若，即 时，则在上单调递减， 所以，此时的最小值为1． 若，即 ，则在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即 ，则在上单调递减， 在上单调递增，所以，此时的最小值为． 综上，的最小值为． 故选：D. 【考点2 利用函数的单调性求值域】 【例2.1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二次函数单调性分析求解. 【解答过程】因为函数开口向上，对称轴为， 则在内单调递增， 且当时，则， 可知函数的最小值为3，所以值域为，即值域为. 故选：D. 【例2.2】（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将函数分离常数，再利用函数的单调性求解. 【解答过程】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，；当时，； 所以函数的值域为. 故选：D. 【变式2.1】（23-24高一上·江西·期中）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分离常数法，结合函数的单调性求解即可． 【解答过程】， 当时，单调递增，， 当时，单调递增，， 故函数，的值域是． 故选：C． 【变式2.2】（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用换元法求得的解析式，进而结合二次函数的性质求解即可. 【解答过程】设，则， ， ，， 函数在上单调递减， 当时，， 函数的值域为. 故选：C. 【考点3 根据函数的最值求参数】 【例3.1】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知，若函数有最小值为4，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】根据题意，分，与讨论，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】当时，在单调递增，无最小值； 当时，因为在单调递增，在单调递增，则在单调递增，无最小值； 当时，，当且仅当时，即时，等号成立，所以，则，符合要求. 故选：B. 【例3.2】（23-24高一上·河南郑州·期中）若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【解题思路】本题考查二次函数在给定区间最值问题，将系数与0比较分类讨论函数在区间的单调性即可求解. 【解答过程】当时，，为常值函数，显然不合题意，舍去； 当时，为开口向上，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格增，所以，所以; 当时，为开口向下，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格减，所以，所以; 故选：C. 【变式3.1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】求得函数的对称轴，对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】由函数，对称轴的方程为， 当时，则时，函数取得最大值，不满足题意； 当时，可函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 解得或（舍去）. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）定义一种运算，设（为常数，且，则使函数的最大值为4的的值可以是（    ） A．或4 B．6 C．4或6 D． 【解题思路】 根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为，确定的取值即可． 【解答过程】在上的最大值为， 所以由，解得或， 所以时，， 所以要使函数最大值为4，则根据定义可知， 当时，即时，，此时解得，符合题意； 当时，即时，，此时解得，符合题意； 故或. 故选：A. 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】用函数单调性定义可判断得结果. 【解答过程】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 2．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若，则函数的最小值是（    ） A． B． C．4 D．5 【解题思路】先对已知函数变形，令，则，然后判断在上的单调性，从而可求出其最小值. 【解答过程】，令，则， 设，，任取，且， 则 ， 因为，且，所以，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增，所以. 故选：D. 3．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数解析式，作出函数图象，可得答案. 【解答过程】解析：，作出图象， 可以得到函数的单调递减区间是． 故选：B. 4．（23-24高一上·北京·期中）函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数单调性求出值域. 【解答过程】， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的值域为. 故选：D. 5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数的最小值是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【解答过程】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 当时，开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，解得； 当，即时，，则在上单调递增， 所以在处取得最小值，，解得； 当时，开口向下，则在上必存在比小的值，不满足题意； 当时，，易得，不满足题意； 综上，. 故选：A. 6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知函数（），在区间上单调递增，则实数b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用定义法得到时，函数单调递减，时，单调递增，从而得到. 【解答过程】任取，， 故 . 当时，，，故， 故，， 故函数单调递减； 当时，，，故， 故， 函数单调递增； 又在区间上单调递增，所以. 故选：A. 7．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【解题思路】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果. 【解答过程】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 8．（2024高一上·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用已知的函数性质，把比较函数值的大小转化到同一个单调区间上的函数值比较大小的问题来解决. 【解答过程】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一上·新疆·阶段练习）（多选题）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，函数在上为增函数，A满足条件； 对于B选项，函数在上为减函数，在上为增函数，B不满足条件； 对于C选项，函数在上为增函数，C满足条件； 对于D选项，当时，，则函数在上为减函数，D不满足条件. 故选：AC. 10．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设函数，则（   ） A．当时，函数有最小值为 B．当时，函数是增函数 C．当时，函数有最小值为 D．存在正实数，使得函数在上单调递增 【解题思路】选项A，举特殊情况时，在区间上单调递增，此时函数没有最小值； 选项B，函数在处不连续，函数不是增函数； 选项C，利用基本不等式求出最小值即可； 选项D，对的取值分类讨论，其中时，利用复合函数和对勾函数寻找正实数判断单调性即可. 【解答过程】函数的定义域是， 对于选项A，当时，在区间上函数和都单调递增， 故在区间上单调递增， 此时函数没有最小值，选项A错误； 对于选项B，定义域是，函数在处不连续，函数不是增函数，选项B错误； 对于选项C，，则（时等号成立），函数有最小值为，选项C成立； 对于选项D，当时，在区间上单调递增，此时存在正实数，使得函数在上单调递增； 当时，设， ， 由得：，，， 所以，成立， 在区间上单调递增，此时存在正实数，使得函数在上单调递增；选项D正确； 故选：CD. 三、填空题 11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】将函数写成分段函数，即可得到函数的单调区间，依题意可得，解得即可. 【解答过程】因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【解题思路】由函数的单调性，将抽象不等式化成一元二次不等式，结合二次函数的图象即得. 【解答过程】因是定义在R上的增函数，故由可得 ，即，解得. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数. (1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增； (2)若，试比较，的大小. 【解题思路】（1）先对函数解析式化简变形，再根据函数单调性的定义即可证明. （2）先根据判断的范围；再比较和的大小关系；最后根据函数的单调性即可得出答案. 【解答过程】（1）证明：由题目条件得：， 任取， 则. 因为， 所以，， 则，即. 故在上单调递增. （2）解：因为， 所以. 又因为，当且仅当时，等号成立，而. 所以. 因为在上单调递增， 所以. 14．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，， (1)求的值； (2)证明：用定义证明函数在上是增函数； 【解题思路】 （1）结合题中条件，令即可求值； （2）结合题中条件利用函数单调性的定义即可证明. 【解答过程】（1）在等式中， 令，可得，解得； （2）因为，则， 任取，则， 由时，，可得， 则，即， 因此，函数在上是增函数． 15．（23-24高一上·重庆·期末）已知定义在上的函数满足，且对任意． (1)证明：在上单调递减； (2)解不等式． 【解题思路】 （1）利用单调性的定义证明即可； （2）首先求出，则得到，根据（1）中的结论即可得到不等式，解出即可. 【解答过程】（1）任取，且． 因为，即，令， 则． 因为，所以． 由题意， 所以． 故在上单调递减． （2），令，得． 因为， 所以． 由（1）得，， 解得． 16．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 【解题思路】（1）代入已知点坐标求得参数值得函数解析式； （2）根据单调性定义证明； （3）结合单调性得最小值从而可求解． 【解答过程】（1）由题意知函数的图像经过点， 故，解得， 故； （2）函数在上单调递减； 证明：设，且， 则 ， 因为，故， 即，故函数在上单调递减. （3）由（2）知在是减函数， 因此，解得或， 又，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$