第19讲 特殊角与相似特殊角与三角函数12345及拼接-冲刺2024年中考数学二轮复习重难点专题突破（全国通用）

第19讲 特殊角与相似特殊角与三角函数12345及拼接（3个微专题（原卷版） 专题一 直线型基本结构——特殊角与相似 【典例1】（2023•营口）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则　 　． 【典例2】（2023•蔡甸区模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，l1与l2的距离是1，l2与l3的距离是2，A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，若△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是 　 　． 【典例3】（2020•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝　 　． 专题二 直线型基本结构（2）——特殊角与三角函数 【典例1】（2022•中山市三模）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究tan∠ACD的值为 　 　． 【典例2】（2024•东莞市一模）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，将长方形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则AE的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 专题三 直线型基本结构（3）——角的拼接与三角函数 【典例1】（2023•长春模拟）问题：如果α，β都为锐角，且tanα，tanβ，求α+β的度数． 解决：如图①，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD＝α，∠CBE＝β，连接AC，易证△ABC是等腰直角三角形，因此可求得α+β＝∠ABC＝　 　． 拓展：参考以上方法，解决下列问题：如果α，β都为锐角，当tanα＝4，tanβ时， （1）在图②的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON＝α﹣β； （2）求出α﹣β＝　 　°． 【典例2】（2021秋•宁阳县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则EC的长为 　 　． 【典例3】（2023•越城区模拟）如图，矩形ABCD，，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，连结AE，CF，过D作DG⊥AE，垂足为G，交CF于P，连结BP，若BP＝BC，则tan∠BAE的值是（　　） A． B． C． D． 【典例4】（2023秋•惠济区月考）如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝5，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（　　） A． B．2 C． D．3 【典例5】（2023秋•新吴区期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF＝2，则DF＝　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 特殊角与相似特殊角与三角函数12345及拼接（3个微专题（解析版） 专题一 直线型基本结构——特殊角与相似 【典例1】（2023•营口）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则　　． 【思路引领】连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，由旋转的性质可得AC＝CD，∠ACD＝60°，得到△ACD为等边三角形，由等边三角形三线合一可知AG＝CG，再设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，易得DG，△ABE∽△GDE，由相似三角形的性质可得，即AEGE，由AE+GE＝AG＝a可求出GE，AE，利用勾股定理求出DE，以此即可求解． 【解答】解：如图，连接AD，过点D作DG⊥AC于点G， ∵将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD， ∴AC＝CD，∠ACD＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∵DG⊥AC， ∴AG＝CG， 设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a， 在Rt△ADG中，DG， ∵∠BAE＝∠DGE＝90°，∠AEB＝∠GED， ∴△ABE∽△GDE， ∴，即， ∴AEGE， ∵AE+GE＝AG＝a， ∴GE+GE＝a， 解得：GE， ∴AE， 在Rt△DGE中，DE， ∴． 【总结提升】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题． 【典例2】（2023•蔡甸区模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，l1与l2的距离是1，l2与l3的距离是2，A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，若△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是 　　． 【思路引领】如图，过点A作AE⊥l2于E，过点B作BG⊥AC于G，过点C作CF⊥l2于F，根据等边三角形及直角三角形的性质，设AD＝x，则AC＝3x，于是可得DG，BG的长，根据三角形相似根据其相似比可求出DF，DE的长，再根据勾股定理即可解答． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥l2于E，过点B作BG⊥AC于G，过点C作CF⊥l2于F， ∵AE∥CF， ∴△ADE∽△CDF， ∴， 设AD＝x，则AC＝3x， 于是DGx﹣x，BG•3xx， ∵∠BDG＝∠CDF，∠BGD＝∠CFD＝90°， ∴Rt△BDG∽Rt△CDF， ∴，即， ∴DF， ∴DE， ∵AD2＝AE2+DE2＝1， ∴△ABC的面积•AC•BG•3x•xx2． 故答案为：． 【总结提升】本题考查了勾股定理，此题比较复杂，结合了平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，是一道具有一定综合性的好题． 【典例3】（2020•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝　　． 【思路引领】过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，过点A作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，则四边形CHQB为矩形，证明△AKM≌△MQN（AAS），得出KM＝NQ，MQ＝AK＝8，证明△ACE∽△AHN，可求出CE的长． 【解答】解：过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形， 过点A作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N， 过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q， 则四边形CHQB为矩形， ∵∠BFE＝45°，AM∥BD， ∴∠BFE＝∠MAN＝45°， ∴△AMN为等腰直角三角形， ∴AM＝MN， ∵∠AMK+∠NMQ＝∠AMK+∠MAK＝90°， ∴∠NMQ＝∠MAK， 又∵∠AKM＝∠MQN＝90°， ∴△AKM≌△MQN（AAS）， ∴KM＝NQ，MQ＝AK＝8， ∵D为AC的中点，AC＝6， ∴AD＝DC＝BM＝3， ∴MK＝NQ＝3， ∴BQ＝CH＝5， ∴HN＝HQ﹣NQ＝8﹣3＝5， ∵CE∥HN， ∴△ACE∽△AHN， ∴， 即， ∴CE， 故答案为：． 【总结提升】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 专题二 直线型基本结构（2）——特殊角与三角函数 【典例1】（2022•中山市三模）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究tan∠ACD的值为 　1　． 【思路引领】过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，利用平角定义可求出∠ABH＝45°，从而可得△AHB是等腰直角三角形，然后设AH＝BH＝a，则ABAHa，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，再在Rt△DBC中，利用锐角三角函数的定义求出DBC的长，从而求出CH的长，从而在Rt△CAH中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠CAH的值，最后证明AH∥DC，从而利用平行线的性质可得∠ACD＝∠CAH，即可解答． 【解答】解：过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H， ∵∠ABD＝90°，∠DBC＝45°， ∴∠ABH＝180°﹣∠ABD﹣∠DBC＝45°， ∵∠AHB＝90°， ∴△AHB是等腰直角三角形， ∴设AH＝BH＝a，则ABAHa， 在Rt△ABD中，∠DAB＝60°， ∴DBABa， 在Rt△DBC中，∠DBC＝45°， ∴BC＝BD•cos45°a•a， ∴CH＝BH+BC＝aa， 在Rt△CAH中，tan∠CAH1， ∵∠AHB＝∠BCD＝90°， ∴∠AHB+∠BCD＝180°， ∴AH∥DC， ∴∠ACD＝∠CAH， ∴tan∠ACD＝tan∠CAH1， 故答案为：1． 【总结提升】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【典例2】（2024•东莞市一模）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，将长方形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则AE的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【思路引领】由折叠的性质可得AE＝A′E＝CD，∠A＝∠EA'B＝90°，由“AAS“可证△A′BC≌△DCE，可得BC＝EC＝10，由勾股定理可求DE的长，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，AD∥BC， ∴∠DEC＝∠ECB，将长方形ABCD沿BE折叠， ∴AE＝A′E＝CD，∠A＝∠EA'B＝90°， ∴∠BA'C＝∠D＝90°，且∠DEC＝∠BCA'，AB＝CD， ∴△A′BC≌△DCE（AAS）， ∴BC＝EC＝10， ∴ED6， ∴AE＝AD﹣DE＝10﹣6＝4， 故选：D． 【总结提升】本题考查翻折变换，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 专题三 直线型基本结构（3）——角的拼接与三角函数 【典例1】（2023•长春模拟）问题：如果α，β都为锐角，且tanα，tanβ，求α+β的度数． 解决：如图①，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD＝α，∠CBE＝β，连接AC，易证△ABC是等腰直角三角形，因此可求得α+β＝∠ABC＝　45°　． 拓展：参考以上方法，解决下列问题：如果α，β都为锐角，当tanα＝4，tanβ时， （1）在图②的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON＝α﹣β； （2）求出α﹣β＝　45　°． 【思路引领】（1）观察图象①可知：△ABC是等腰直角三角形，由此即可解决问题． （2）模仿例题，构造等腰直角三角形即可解决问题． 【解答】解：（1）观察图象①可知：△ABC是等腰直角三角形． ∴α+β＝∠ABC＝45°， 故答案为45°． （2）如图②中，∠ABE＝α，∠DBC＝β． ∴α﹣β＝∠ABD， ∵△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∴α﹣β＝45°． 故答案为45． 【总结提升】本题考查锐角三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【典例2】（2021秋•宁阳县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则EC的长为 　10　． 【思路引领】先利用勾股定理求出A′C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出EC． 【解答】解：由折叠知，A′E＝AE，A′B＝AB＝6，∠BA′E＝90°， ∴∠BA'C＝90°， 在Rt△A′CB中，， 设AE＝x，则A′E＝x， ∴DE＝10﹣x，EC＝A′C+A′E＝8+x， 在Rt△CDE中，根据勾股定理得，（10﹣x）2+36＝（8+x）2， ∴x＝2， ∴EC＝A′C+A′E＝8+2＝10， 故答案为：10． 【总结提升】此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，充分利用勾股定理求出线段AE是解本题的关键． 【典例3】（2023•越城区模拟）如图，矩形ABCD，，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，连结AE，CF，过D作DG⊥AE，垂足为G，交CF于P，连结BP，若BP＝BC，则tan∠BAE的值是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】作BH⊥CF于点H，交AE于点I，可证明△BCH≌△DAG，得CH＝AG，由等腰三角形的性质得PH＝CH，再证明四边形GPHI是矩形，则IG＝PH＝CH＝AG，由∠DGA＝∠AIB＝90°，∠ADG＝∠BAI＝90°﹣∠DAE，得sin∠ADG＝sin∠BAI，IG＝AG•BIBI，所以AI＝2AGBI，则tan∠BAE，于是得到问题的答案． 【解答】解：作BH⊥CF于点H，交AE于点I， ∵DG⊥AE于点G， ∴∠BHC＝∠DGA＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CB＝AD，CB∥AD， ∵BE＝DF， ∴CB﹣BE＝AD﹣DF， ∴CE＝AF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴∠BCH＝∠DAG， ∴△BCH≌△DAG（AAS）， ∴CH＝AG， ∵BP＝BC，BH⊥CP， ∴PH＝CH， ∵AE∥CF， ∴∠GIH＝∠BHC＝90°， ∵∠IGP＝∠IHP＝90°， ∴四边形GPHI是矩形， ∴IG＝PH＝CH＝AG， ∵∠DGA＝∠AIB＝90°，∠ADG＝∠BAI＝90°﹣∠DAE， ∴sin∠ADG＝sin∠BAI， ∴IG＝AG•BIBI， ∴AI＝2AG＝2BIBI， ∴tan∠BAE， 故选：D． 【总结提升】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【典例4】（2023秋•惠济区月考）如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝5，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（　　） A． B．2 C． D．3 【思路引领】由折叠的性质可得BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，由“AAS”可证△CPH≌△CPN，可得NP＝PH，CH＝CN＝4，通过证明四边形BCNM是正方形，可得MN＝BM＝4，在Rt△EPM中，利用勾股定理可求NP的长，由锐角三角函数可求解． 【解答】解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于N， ∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处， ∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°， 在△CPH和△CPN中， ， ∴△CPH≌△CPN（AAS）， ∴NP＝PH，CH＝CN＝4， ∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD， ∴四边形BCNM是矩形， 又∵CN＝CB＝4， ∴四边形BCNM是正方形， ∴MN＝BM＝4， ∴EM＝2， ∵EP2＝EM2+PM2， ∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2， ∴NP， ∵tan∠DCF， ∴， ∴DF， 故选：A． 【总结提升】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【典例5】（2023秋•新吴区期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF＝2，则DF＝　6　． 【思路引领】作辅助线，构建全等三角形，证明△AMD≌△DFC，则DM＝FC＝2，由折叠和正方形的边长相等得：AE＝AD，根据等腰三角形三线合一得：DM＝EM＝2，∠EAM＝∠MAD，设∠MAD＝α，则∠EAM＝α，∠BAP＝∠PAE＝45°﹣α，可得∠PAM＝45°，则△PAH是等腰直角三角形，证明△PGE∽△AMD，列比例式得：GE＝1，AM＝2PG，设PG＝x，则AM＝2x，根据AH＝PH，得2x﹣1＝2+x，求得x的值，即可解决问题； 【解答】解：过A作AM⊥DF于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠ADF+∠FDC＝90°， ∵∠ADF+∠MAD＝90°， ∴∠FDC＝∠MAD， ∵∠AMD＝∠DFC＝90°， ∴△AMD≌△DFC， ∴DM＝FC＝2， 由折叠得：AB＝AE，BP＝PE， ∵AB＝AD， ∴AE＝AD， ∴DM＝EM＝2，∠EAM＝∠MAD， ∵P是BC的中点， ∴PCBCAD＝PE， 设∠MAD＝α，则∠EAM＝α，∠BAP＝∠PAE＝45°﹣α， ∴∠APE＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α， ∵∠EAM＝∠DAM，∠BAP＝∠PAE， ∴∠PAE+∠EAM∠BAD＝45°， 过P作PH⊥AM于H，过E作EG⊥PH于G， ∴△PAH是等腰直角三角形， ∴∠APH＝45°， ∴∠HPE＝α＝∠MAD， ∵∠PGE＝∠AMD＝90°， ∴△PGE∽△AMD， ∴， ∴， ∴GE＝1，AM＝2PG， 设PG＝x，则AM＝2x， ∴AH＝2x﹣1， ∵AH＝PH， ∴2x﹣1＝2+x， x＝3， ∴PG＝3，AM＝6， ∵△DAM≌△CDF， ∴DF＝AM＝6． 【总结提升】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定等知识，有难度，证明∠PAM＝45°是关键，设未知数，并确定其等量关系列方程解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$