智慧广场 排列问题（教案）-2023-2024学年五年级上册数学青岛版

五年级上册智慧广场 排列问题 教学设计 教学内容: 青岛版数学五年级上册第 113 页及智慧广场第 114 页习题。 教学目标 1. 结合具体情境，认识和了解简单的排列问题，掌握解决排列问题的策略 和方法，体会解决问题策略的多样性。 2.经历探索简单事物排列规律的过程，培养初步的观察、分析及推理能力， 能有序地、全面地思考问题。 3.通过活动，体会数学与生活的紧密联系，感受数学的价值，激发学生探究 数学问题的兴趣与欲望，养成与人合作的良好习惯。 教学重点：认识和了解简单的排列问题，掌握解决排列问题的策略和方法。 教学难点：培养初步的观察、分析及推理能力，能有序地、全面地思考问 题。 教具准备：多媒体课件，学习单。 教学过程 一、创设情景，提出问题 师：同学们，4 月 5 日清明节，学校计划组织开展“缅怀先烈永跟党走 ”主 题活动。带领优秀少校队员前往铁道游击队纪念碑开展清明节祭扫活动，在宣誓 环节中，如果选取两位学生代表排成一行发言，有几种排列方法呢？为了让大家 1 学科网（北京）股份有限公司 看的更清楚些，咱们找两个同学到前面来表演，好不好？你来，你来。你们来排， 大家仔细观察,排好了吗?还可以怎样排？大家看清楚了吗？有几种排法？（2 种） 谢谢你们俩个，请回。 瞧，又来了一位同学，现在是几个人了?如果选三位少先队员，能有几种不 同的排列方法？ 四个人呢？五个人呢？全体少先队员排成一行，又会有几种不同的排法呢？ 这就是今天我们要研究的排列问题。 【设计意图】前 言 义务教育新课标指出，要坚持德育为先，提升智育。因此导入环节，教师引 入了清明节学校组织祭扫活动，让学生追寻革命先烈的英雄足迹，继承革命烈士 的光荣传统，弘扬爱国主义精神的内容。接着将发言的学生代表有几种不同的排 法的生活问题，让学生通过观察，思考，转化成了数学中的排列问题，这一环节 体现了数学的转化思想。 知道吗同学们，很多人 排成一行，有多少种排法， 的确是很难的数学问题，我 们先来看看古人的智慧吧！ 请看屏幕谁来读？这是谁说 的话？什么意思，谁知道？ 说的真好，天下的难事，都 是从最容易处开始做起，天 下的大事，都是从细枝末节 处慢慢完成的，今天，咱们 碰到难事儿了，唉，我们先 不研究很多人排成一行，照相的问题，那，你认为该从几个人开始研究？ 【设计意图】新课标要求关注数学学科发展前沿与数学文化，继承和弘扬中 华优秀传统文化。因此在小学数学课堂上积极渗透中华传统文化，不仅利于发展 学生的核心素养，还有益于引导学生学会尊重，理解中华传统文化，丰富学生的 人文底蕴，让学生充满文化自信。此处引入老子《道德经》：天下难事必作于易， 2 学科网（北京）股份有限公司 天下大事必作于易。既实现了学科素养和传统文化的融合，也引导学生研究排列 问题的人数要从少到多，由易到难。 生 1 ：一个人。生 2:2 个人。 大家认为呢？都同意 2 个人，请看屏幕，两个人排成一行，刚才同学演过了， 有几种排法？ 算式怎样列？谁会？说说理由， 生：2 ，算式 2×1=2（板书） 二、小组合作，自主探究 师：现在是几个人？如果三个人排成一行，有几种排法呢？请在组内排一排， 摆一摆，列表，画图等方法并把思考的过程有规律的写在学习单上。 作品展示：刚才同学们在讨论的过程中，每个小组成员都很投入。老师选出 了速度比较快的四个小组的作品，下面，我们先来看看第一组的研究结果：虽然 他们的排法没有按照顺序，但是也找到了4 种排法。 3 学科网（北京）股份有限公司 有序的：这是第二个小组的作品，请二组组长说说你们是怎样排的呢？ 符号化：这是第三和第四小组的作品，这两个小组的做法有什么特点吗？ 说的真好，就像同学们说的那样，这种排法，是用不同的形状（字母、数字） 来代替三个同学的名字，既节省了时间，又简单明了，这就是我们数学的符号化 和简洁美； 【设计意图】新课标要求培养学生的核心素养：会用数学的思维思考现实世 界。同学在小组合作探究的过程中，通过小组成员的思考，以及小组成员间的团 结合作，用了不同的方式来表示三个同学的排队问题，在这个过程中最重要的就 是让学生体会按照一定的规律做到有序思考是解决排列问题最好的方法。建立数 学对象之间，数学与现实世界之间的逻辑关系。 对比：比较一下这几组的排法，你更喜欢哪一种？为什么呢？有序的。 想一想：怎样排，才能既快，又不重复，不遗漏呢？（学生回答）切换课件： 就像这位同学说的那样，先确定第一个人的位置,其他两人自由排列，数出 方法。这种排列方法数学上叫做：有序排列。 4 学科网（北京）股份有限公司 同学们， 我们再结合课件回顾一下三个人排成一行的方法。我们可以用 ABC 来表示三个同学的名字，先确定一个打头的，A 打头，还能再动吗？（不 能）注意，A 打头固定不能动了啊，后面还剩下几个人？（2 个人）剩下这两个 人排成一行，会有几种排法呢？BC 一种，互换位置，换成 CB 又多了一种；也 就是说 A 打头一共有两种排法。 也可以让 B 打头，现在是 B 固定位置不能动了吧，后面还是剩下两个同学， 几种排法呢？（2 种），也就是 BAC 一种，AC 交换位置，BCA 一种；又有两 种排法； 还可以让 C 打头，和前面一样，交换位置后，又得到两种排法。 同学们看，每一个打头的同学固定不动，后面都对应几种排法？（两种） 数一数一共是几个2？ 排列的结果，用乘法算式怎样表示？ 生：3×2。 在这个算式中，3 、2 分别表示什么呢？“3 ”表示 3 个同学都可以打头，排 在第一位一共有 3 种排法； “2 ”表示每个人打头，第一个位置固定不动，后面 都有两种排法。 【设计意图】新课标要求培养学生的核心素养，会用数学的语言来表达现实 世界，学生对算式2×3=6 的理解，从最初的表层，借助学具来形象的理解，经 历了由“杂乱、具体——有序、抽象 ”的思维过程，直到后面归纳为用算式来表 5 学科网（北京）股份有限公司 示排列问题的实质，是思维高度的一次飞跃。在小组活动过程中也培养了学生讲 道理有条理的思维品质，逐步形成理性精神。 三、算理点拨，释疑解难 其实我们也可以这样来看，老师用三个不同颜色的圆点来表示三个同学。三 个圆点就表示谁？（三个同学）同学们听的真仔细。三个同学就要站三个位置， 你认为先确定哪一个位置？你说：（第一个位置，）好，咱们就按顺序从第一个 位置开始排，对于这个位置来说，有几种排法？3 种，我们记下来，第一位排好 了以后，剩下几个同学？（2 个同学）两个同学请回，第一个位置确定了，该排 第几位了？（第二位了），第 2 位能有几种排法？（2 种）第一、第二位都确定 了，剩下一个同学再回去，最后第三位就只能有几种排法了？（一种）为什么？ （就剩下这一位同学了。）所以写成算式 3×2 也可以写成 3×2×1=6 老师再把 大家研究的结果记录下来：3×2×1=6（板书） 哎，上面这个算式 2 × 1 中，2 和 1 分别表示什么呢？（第一位 2 个人，2 种排法，第 2 位只剩下 1 个人） 同学们，这种方法是不是更好理解呢，这体现了数学的数形结合思想。 研究了2 个人，3 个人的情况，到几个人了？（4 个人）第四个人，我们用 D 表示，咱们先让 D 站在那别动，下面三个人排成一行，有几种排法来？（6 种） 第四个人来排，你想让他站在什么位置？D 打头，D 不能动了吧？后面需要排几 个人了？这三个人，有几种排法来着？ 找个同学来说，老师把你研究的结果记录下来： （4×6），这个 6 是几个人排法？6 可以写成 3×2×1。 我们不再往下研究了，回过头来看看，2 个人排成一行，算式是2×1，三个 人是…，四个人算式是…， 接着来，五个人呢？六个人呢？那，很多的人呢？ 很多人我们用n 来表示，算式中第一个数就是 n ，第二个数要比第一个数 少一，就是 n-1 后面依次往下乘，一直乘到 1。 【设计意图】依据新课标，学生通过经历用数学语言表达现实世界中的简单 数量关系，学生在小组合作， 自主探究的过程中，抽象出了2 个人，3 个人，4 个人排列的计算方法；体现了数学抽象的核心素养。再通过对以上几个计算方法 的观察与进一步推理，学生水到渠成的发现了这些算式的规律，体现了数学推理 6 学科网（北京）股份有限公司 的核心素养。学生跟随老师的节奏层层递进，阶乘的数学模型呼之欲出。 同学们，请看屏幕，它是由欧洲数学家基斯顿.卡曼于 1808 年提出的，阶 乘被广泛地应用于计算机科学领域，为人类做出了巨大的贡献！ 同学们这是咱们刚刚研究出来算式，这是谁研究的？（数学家研究的）请大 胆的说说自己的真实想法 同学们说的太好了，我提议我们把掌声送给在座的每一位小数学家们，老师 相信，只要我们喜欢数学，肯钻研，一定会有同学成为真正的数学家！ 【设计意图】新课标中关于数学语言主要表现包括模型意识或模型观念。让 学生通过对比发现自己的研究结果和数学家一样，建立了阶乘的数学模型，获得 学习数学成功的喜悦和自豪感，同时落实了新课标要求学数学要激发学习数学的 兴趣，发展实践能力和创新精神，形成和发展核心素养的要求。 其实，排列问题在我国很早就有研究，一起来了解一下。 7 学科网（北京）股份有限公司 【设计意图】新课标提出，教材编修要勇于打破固有教材模式，为教材使用 者提供广泛的素材资源和开放的使用空间。如教材中介绍数学文化、数学发展前 沿等。内容设计要反映数学在自然与社会中的应用，展现数学发展史中伟大数学 家，特别是中国古代与近现代著名数学家，以及他们的数学成果在人类文明发展 中的作用，增强学生的爱国情怀和民族自豪感。此处引入《易经》中八卦算的内 容，和前面引用老子的《道德经》，在课堂上积极渗透中华传统文化，不仅利于 发展学生的核心素养，还有益于引导学生学会尊重，理解中华传统文化，丰富学 生的人文底蕴，让学生充满文化自信。也实现了学科素养和传统文化的融合。 四、 自主练习， 同学们，在现实生活中还有很多这样的问题？大家敢接受挑战吗？ 练习 1 ：请看第一题，谁来读：这道练习题排的是什么（数字）？相当与刚 才我们研究过的几个人的排列问题啊？一共有几种排法很容易算出来，但题目是 8 学科网（北京）股份有限公司 让我们干什么？把每个三位数都要写下来，思考一下，怎样写才能不重复不遗漏 呢？谁来说？ 【设计意图】由排队问题向数学题转换，让学生按照有序的规律写出6 个三 位数） 如果将 2 换成 0 可以组成哪些不同的三位数？想一想，2 换成了 0 ，还是三 个不同的数字，排列的方法一样吗？（不一样）怎么不一样？（0 不能打头）最 高位不能为 0。 为什么换成 0 答案就是 4 个三位数而不是 6 个了呢？少的是哪两种排法？ 【设计意图】让学生在换成 0 的过程中感受 0 不能打头，就少了两种排法， 只有 3 、4 打头，分别有两种排法，一共有 4 个三位数） 练习 2 ：4 位同学排一行表演小合唱，丁同学担任领唱。为了让她靠近麦克 风，需要把她安排在左起第二个位置上，其余的同学任意排。想一想，有多少不 同的排法？ 小丁的位置在哪？那小丁还能动吗？小丁固定不能动了，剩下了几个人排 呢？（3 个人） 一共几种排法？（6 种） 练习 3 ：六年级一班在筹划运动会接力赛方案时，决定让短跑速度最快的王 明同学跑第四棒，其余三名同学李华、张强、丁力跑其他三棒。可以有多少种不 同的安排方法？ 这道题也是 4 名同学，能不能按刚才我们研究的 4 个人排成一行的方法来排 呢？为什么？（四个人有一个也固定不能动了，只能排三个人） 怎么刚才我们研究三个人排成一行，有 6 种排法，怎么上面两道四个人排列 的问题也还是 6 种排法？ 【设计意图】问题的抛出，引发学生的深度思考，从而使学生认识到：一个 人的位置固定不变时，4 个人的排列问题就是研究 3 个人的排列问题。 五、总结升华 同学们，今天这节课，你有哪些收获？ 9 学科网（北京）股份有限公司 总结：同学们，这节课我们由生活中照相排队的问题，通过观察，转化成了 数学中的排列问题；在小组合作，自主探究的过程中抽象出了三个人排列的计算 方法；并对结果进行了验证；再通过推理，发现了这些计算方法的规律，建立了 关于阶乘的数学模型，并用我们自己建立的数学模型解决了生活中的实际问题。 六、生活中的排列问题 同学们，在我们的日常生活中，像工艺品的设计，国旗上的图案等，很多领 域都有排列问题，有些线条的排列还会给我们带来视觉上的冲击，甚至在遥远的 外太空，星球的排列也蕴含着奇妙的规律，国庆阅兵式上，各方队的整齐排列， 向全世界展示了中国的强大，也让我们身为一名中国人，感到无比的骄傲和自豪！ 板书设计 排列问题 2 2×1 3 3×2×1 4 4×3×2×1 : : n × (n-1)× (n-2)×… ×3×2×1 有序排列 10 学科网（北京）股份有限公司 教学效果 教学内容: 青岛版数学五年级上册第 113 页及智慧广场第 114 页习题。 小组合作： 3 人照相的排列问题：小冬、小华、小平三个人排成一行照相，有多少种不 同的排法？评测效果分析： 【全班分成 10 个小组，8 组同学能正确发现规律，按有序的方法找出六种排 法。1 个小组没有按照顺序排，找出了 5 种排法，1 个小组没有完成，只找出了 4 种方法。小组合作效果好。】 自主练习： 1. 3 个数字的排列问题会吗？用 2、3、4 三张数字卡片，你能摆出多少个 不同的三位数？把 2 换成 0，能摆出多少个不同的三位？ 评测效果分析： 【测试结果显示 95％的同学能有规律找出，出错的同学没有注意到:0 在高位 就变成了两位数，也就是 0 在最高位没有意义，做题时没有深入的思考。练习时 更加仔细和细心，注意题目的要求，还要加强对不同类型题目的分析。】 2. 4 位同学排一行表演小合唱，丁同学担任领唱。为了让她靠近麦克风， 需要把她安排在左起第二个位置上，其余的同学任意排。想一想，有多少不同的 排法？ 3.六年级一班在筹划运动会接力赛方案时，决定让短跑速度最快的王明同 学跑第四棒，其余三名同学李华、张强、丁力跑其他三棒。可以有多少种不同的 安排方法？ 评测效果分析： 【测试结果显示只有 88％的同学正确，有不少同学看到四个同学排，就用 四个人排的方法来计算，得到排法为 24 种。需要强调，固定住一个同学，只能 排剩下的三个同学。其实本质还是三人排列的问题。】 11 学科网（北京）股份有限公司 教后反思 教学内容: 青岛版数学五年级上册第 113 页及智慧广场第 114 页习题。 有的课，越是看起来简单，就越能引发执教者的无限遐想和热切期，显然 《排列问题》正在此列。这节课教材上只为我们提供了一个情境图：三个同学照 相,排成一行有多少种排法的内容。而立足课标，立足学情，引领学生学习有价 值的数学内容“排列的规律和方法 ”是这节课一大难点。它是以“化繁为简 ”式 的不完全归纳推理为基础的。 这节课我首先以两位学生照相排成一行，有几种不同的排法的排列问题，找 学生到台前表演的方式，成功激活了学生头脑里已有的相关知识经验。接下来， 师生围绕着本节课的主题一一“排列问题中的规律和方法 ”层层深入地引导学生 进行观察、操作、分析、推理等数学活动，学生的思维渐渐触及了数学知识的本 质。这些前后相接、蕴含着浓郁数学味的活动打开了学生思索排列问题的新视角， 反过来又进一步丰富和深化了他们对简单排列问题的认识。 这节课从 1 个人排，2 个人，3 个人……很多很多人排成一行照相，有多少 种排法的问题，一条主线，层层递进。线索清晰，思维的深度感很强。在这节课 中，我还将一个内在思维层次贯穿在整个教学活动之中 : (一)初始经验层面的 列:2 人排列，2 人排列既可以直接说出答案，也为下面的探究打下了基础，即 2 × 1 是后面排列规律和方法生成的基础；(二)具体操作层面的排列：3 人排列。3 人排列既是有序排列方法生成的基础，又是策略多样化展现的平台。本环节先通 过学生利用学具卡片摆一摆的操作活动，来使学生体会解决问题策略的多样化， 然后通过实物展台，展示多种方法的比较，来使学生体会有序排列方法的价值， 并利用三个不同颜色的圆点来表示三个同学，引导学生运用列算式的方法来进行 数据抽象，表面上看来很简单，但其中隐含的数学信息量却是本节课最为丰富的 环节； (三)头脑抽象层面的排列：4 人排列。本环节是在学生具体操作活动经验基 础上提出的更高要求，让学生脱离具体的学具操作，让学生通过课件及老师的引 导，把第四个人固定在第一位不动，后面其他三个人排，学生不难得出有4×6 种，再引导 6 是由三个人排列几种排法得出的，可以用算式 3×2×1 来表示。目 的是让学生将有序思考与数学算式有机结合起来，逐步接近问题的本质四个人排 12 学科网（北京）股份有限公司 列的算式：4×3×2×1； (四)经验分析层面的推理一 5 人排列。本环节是在 4 人排列基础上又一次提 出的更高要求，让学生完全脱离表象层面的排列，而转入借助已有经验进行的数 据分析和推理，目的是引导学生逐步发现排列问题的规律和方法，即阶乘。让学 生真正经历了“化繁为简，由简入繁 ”的学习全过程。经历了这四个层面的数学 思考活动，整个过程体现了思维严谨和理性精神的数学品质。 13 学科网（北京）股份有限公司 附件 1： 学习单 附件 2：梳理图 14 学科网（北京）股份有限公司 附件 3：学生作品 附件 4：学习过程性照片 15 学科网（北京）股份有限公司 16 学科网（北京）股份有限公司 $$