第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 【人教A版2019】 ·模块一 直线与圆的位置关系 ·模块二 圆与圆的位置关系 ·模块三 课后作业 模块一 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 2．圆的切线及切线方程 (1)自一点引圆的切线的条数： ①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； ②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； ③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. (2)求过圆上的一点的圆的切线方程： ①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. ②重要结论： a.经过圆上一点P的切线方程为. b.经过圆上一点P的切线方程为. c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 3．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 4．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 5．直线与圆的方程的应用 (1)解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据； ②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程； ③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解； ④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则 建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则： ①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可 以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上. 【考点1 直线与圆的位置关系及判定】 【例1.1】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【例1.2】（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1.1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）若直线与圆相切，则的值是（    ） A． B． C．0 D．或0 【变式1.2】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【考点2 圆的切线问题及切线方程的求解】 【例2.1】（23-24高二上·河北承德·阶段练习）过点引圆的切线，其方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【例2.2】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二上·北京东城·期中）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【考点3 圆的弦长问题】 【例3.1】（23-24高二上·广东·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．5 D．10 【例3.2】（23-24高二上·吉林·阶段练习）已知直线与圆：交于，两点，则（    ） A．2 B． C． D．4 【变式3.1】（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，圆内有一点，AB为过点的弦，若弦AB被点平分时，则直线AB的方程是（    ）    A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）圆与直线交于A，B两点，则最小值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【考点4 直线与部分圆的相交问题】 【例4.1】（23-24高二上·河南许昌·阶段练习）直线与曲线有两个交点，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二上·江苏·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点5 直线与圆有关的最值问题】 【例5.1】（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知圆： (1)若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程； (2)从圆外一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，且，求的最小值 【例5.2】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆C：，过直线上任意一点P，作圆的两条切线，切点分别为A，B两点，点Q是圆C上的任意一点. (1)求点Q到直线的距离的最大值； (2)求｜AB｜的最小值. 【变式5.1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【变式5.2】（23-24高二上·海南儋州·期中）直线，圆. (1)求出定点的坐标.当直线被圆截得的弦最短时，求此时的方程； (2)设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程. 模块二 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 2．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 3．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 4．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意,以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【考点1 圆与圆的位置关系及判定】 【例1.1】（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【例1.2】（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1.1】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．内含 D．外切 【变式1.2】（2024高二上·江苏·专题练习）圆，的位置关系为（　 ） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 【考点2 由圆与圆的位置关系确定参数】 【例2.1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知两圆和相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二上·四川达州·阶段练习）已知圆与圆相内切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二上·全国·期末）若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二上·天津·阶段练习）若圆与圆外切，则（    ） A．9 B．11 C．1 D．21 【考点3 与两圆相切有关问题】 【例3.1】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）两圆与的公切线有（    ）条（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【例3.2】（2024高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【考点4 两圆的公共弦问题】 【例4.1】（23-24高二上·四川成都·期中）圆与圆的公共弦的长为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二上·浙江台州·期中）圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高二上·海南海口·期中）圆：与圆：相交于A，B两点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高二上·福建莆田·期中）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线方程为 B．公共弦AB的长为 C．线段AB中垂线方程为 D． 【考点5 直线与圆、圆与圆的位置关系的应用】 【例5.1】（23-24高二上·广东潮州·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（参考数据2.45，结果精确到0.1m）． 【例5.2】（23-24高二上·重庆云阳·阶段练习）如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为. (1)求外籍船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ 【变式5.1】（23-24高二上·安徽阜阳·期中）某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为1米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： (1)在西辅道上与建筑物底面中心距离2米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度. 【变式5.2】（23-24高二上·河北·期中）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．    (1)求该圆弧所在圆的方程； (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 2．（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 5．（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知圆：与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆相切 B．直线与圆相离 C．直线与圆相交且所截弦长最短为 D．直线与圆相交且所截弦长最短为4 7．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆有四条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 10．（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 三、填空题 11．（2024高二上·全国·专题练习）圆与圆相外切，则m的值是 ． 12．（23-24高二下·上海·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则实数b的取值范围是 . 四、解答题 13．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知圆O：，直线l：． (1)若直线l与圆O相切，求k的值； (2)若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB为直角时，求k的值． 14．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆． (1)直线过点且与圆相切，求直线的方程； (2)圆与圆交于两点，求公共弦长． 15．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点分别作直线，交圆于四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 16．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆的方程是， (1)若点为圆上一点，过点M作圆的切线，求该切线方程. (2)若点为圆外一点，过点M作圆的两条切线，切点分别为A、B， ①求直线AB的方程. ②若为直线上的一个动点，试讨论直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 【人教A版2019】 ·模块一 直线与圆的位置关系 ·模块二 圆与圆的位置关系 ·模块三 课后作业 模块一 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 2．圆的切线及切线方程 (1)自一点引圆的切线的条数： ①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； ②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； ③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. (2)求过圆上的一点的圆的切线方程： ①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. ②重要结论： a.经过圆上一点P的切线方程为. b.经过圆上一点P的切线方程为. c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 3．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 4．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 5．直线与圆的方程的应用 (1)解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据； ②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程； ③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解； ④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则 建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则： ①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可 以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上. 【考点1 直线与圆的位置关系及判定】 【例1.1】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【解题思路】求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论. 【解答过程】圆，即， 其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆的位置关系为相切. 故选：C. 【例1.2】（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【解题思路】根据圆心到直线的距离判断即可. 【解答过程】圆：的圆心，半径， 故圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交， 故选：A. 【变式1.1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）若直线与圆相切，则的值是（    ） A． B． C．0 D．或0 【解题思路】根据题意，结合圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，即可求解. 【解答过程】因为直线与圆相切， 可得圆心到直线的距离等于圆的半径，即，解得. 故选：C. 【变式1.2】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【解题思路】根据点在圆外可得，即可利用点到直线的距离公式求解. 【解答过程】点在圆外,故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交， 故选：C. 【考点2 圆的切线问题及切线方程的求解】 【例2.1】（23-24高二上·河北承德·阶段练习）过点引圆的切线，其方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】求出圆心和半径，考虑切线的斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线距离等于半径，得到方程，求出答案. 【解答过程】根据题意，圆，即， 其圆心为，半径；过点引圆的切线， 若切线的斜率不存在，切线的方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设其斜率为，则有，即， 则有，解得，此时切线的方程为，即． 综上：切线的方程为和． 故选：C． 【例2.2】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果. 【解答过程】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以． 故选：B． 【变式2.1】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 【解题思路】先求得圆的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得的值. 【解答过程】因为圆， 所以圆的圆心为，半径为， 因为与圆相切，切点为B， 所以，则， 因为， 所以. 故选：B. 【变式2.2】（23-24高二上·北京东城·期中）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【解题思路】最小值满足四边形的面积最小，可转化为动点到点的距离最小值，即可求解． 【解答过程】圆， ，即圆心为，半径为2， 如图所示，    连接，，四边形的面积为， 要使最小， 则只需四边形的面积最小，即只需的面积最小， ，只需最小， ， 所以只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离， 此时，， 则此时四边形的面积为2，即的最小值为4． 故选：D． 【考点3 圆的弦长问题】 【例3.1】（23-24高二上·广东·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C．5 D．10 【解题思路】判断出圆心在直线上即可求解. 【解答过程】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为. 故选:B． 【例3.2】（23-24高二上·吉林·阶段练习）已知直线与圆：交于，两点，则（    ） A．2 B． C． D．4 【解题思路】利用半弦长、半径、弦心距的关系，即可得到弦长. 【解答过程】由题意得圆：， 则圆心到直线的距离为， 所以. 故选：B. 【变式3.1】（23-24高二上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，圆内有一点，AB为过点的弦，若弦AB被点平分时，则直线AB的方程是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】由题意，，则，点斜式求直线AB的方程，化为一般式即可. 【解答过程】圆，圆心坐标，， 弦AB被点平分时，，则， 直线AB过点，方程为，即. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）圆与直线交于A，B两点，则最小值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【解题思路】根据圆的一般方程求出圆的圆心和半径，再求出直线过定点，利用弦长公式和几何关系求最值. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 直线化为，令，所以， 所以直线过定点， 设圆心为，直线过定点为，根据几何关系可知，圆心到直线距离的最大值为，所以弦长最小值为. 故选：D. 【考点4 直线与部分圆的相交问题】 【例4.1】（23-24高二上·河南许昌·阶段练习）直线与曲线有两个交点，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可知曲线表示一个半圆，然后利用数形结合即可. 【解答过程】由曲线得，表示以原点为圆心，半径为1的半圆， 当直线与半圆相切时，，则， 此时直线为； 当直线过点时，，此时直线为， 要使直线与曲线有两个交点，则取值范围为. 故选：C. 【例4.2】（23-24高二上·江苏·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出直线所过的定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【解答过程】直线恒过定点， 将转化为， 曲线表示以为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为， 当时，与曲线有两个不同的交点， 故选：A. 【变式4.1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由直线过定点以及曲线形状，由直线和圆的位置关系利用点到直线距离公式可得. 【解答过程】易知直线过定点， 曲线可化为，曲线表示的是圆心在坐标原点，半径为1的上半圆，如下图所示： 当直线与半圆相切时可得，解得， 结合图象可得， 若直线和曲线有两个不同的交点，由图可得， 即实数的取值范围是. 故选：B. 【变式4.2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解. 【解答过程】根据题意画出图形，如图所示:      由题意可得，曲线的图象为以为圆心，2为半径的半圆，直线恒过， 由图当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得； 当直线过点时，直线的斜率， 则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的取值范围为. 故选:C. 【考点5 直线与圆有关的最值问题】 【例5.1】（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知圆： (1)若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程； (2)从圆外一点向圆引切线，为切点，为坐标原点，且，求的最小值 【解题思路】（1）分切线过原点或切线的斜率为两种情况说明，利用点到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）先利用切线长公式及得到的关系，再代入消去求最值即可. 【解答过程】（1）圆的方程为：，圆心为，半径为， 当圆的切线在轴和轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为， 当切线过原点时，设切线方程为， 则，解得， 当切线斜率为时，设切线方程为， 则，解得或 故所求切线的方程为或或； （2）由圆的切线长公式可得， 又，得， 整理得，即， 此时， 当且仅当，即时，的最小值. 【例5.2】（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆C：，过直线上任意一点P，作圆的两条切线，切点分别为A，B两点，点Q是圆C上的任意一点. (1)求点Q到直线的距离的最大值； (2)求｜AB｜的最小值. 【解题思路】（1）根据圆心到直线的距离即可求解， （2）根据勾股定理，结合锐角三角函数可得，即可求解的最小值求解. 【解答过程】（1）圆C：的圆心和半径分别为, 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点Q到直线的距离的最大值为 （2）, 故当最小时，此时最小， 又（1）知的最小值为，故. 【变式5.1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【解题思路】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求； （2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算； （3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算. 【解答过程】（1）由题意，因为， 所以， 整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆. 所以点到的距离为， 所以的最小值为，最大值为. （2）设，则 ， 由题意与有交点， 所以， 解得， 所以的最大值为，最小值为0. （3）设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值， 所以，解得或， 所以的最大值为，最小值为. 【变式5.2】（23-24高二上·海南儋州·期中）直线，圆. (1)求出定点的坐标.当直线被圆截得的弦最短时，求此时的方程； (2)设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程. 【解题思路】（1）将直线化为，令即可求解；当与垂直时，直线被圆截得的弦最短，根据即可求解； （2）方法1：当时，有最大值，此时面积有最大值；方法2：根据垂径定理与点到直线的距离公式将面积转化为关于点到直线的距离的方程，利用二次函数的最值问题即可求解. 【解答过程】（1）由题意知可化为， 故，解得，即直线恒过定点， 因为， 所以圆的圆心为，半径， 如图所示： ， 当直线被圆截得的弦长最短时，与垂直，， ，即； （2）方法1， ，且为钝角， 当时有最大值，即面积有最大值， 此时，与垂直，，， ，即； 方法2， 设圆心到直线的距离为，则， ， 当时有最大值， 由，，解得， ， . 模块二 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 2．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 3．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 4．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有: ,注意检验是否满足题意,以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【考点1 圆与圆的位置关系及判定】 【例1.1】（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【解题思路】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系. 【解答过程】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 【例1.2】（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【解题思路】根据圆心距与半径的关系判断. 【解答过程】由题意，圆，则圆心，半径， 圆，则圆心,半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切. 故选：B. 【变式1.1】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．内含 D．外切 【解题思路】首先得到两圆的圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可判断. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 圆即，则圆心为，半径， 所以，则， 所以两圆相交. 故选：A. 【变式1.2】（2024高二上·江苏·专题练习）圆，的位置关系为（　 ） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 【解题思路】将圆的方程化为标准方程，结合圆心距以及两半径之间的关系即可得解. 【解答过程】两圆的标准方程分别为，． 圆心分别为，半径分别为1，3．圆心距，所以两圆内切． 故选：C． 【考点2 由圆与圆的位置关系确定参数】 【例2.1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知两圆和相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆与圆的位置关系求参数范围. 【解答过程】由圆，设圆心且半径， 由圆，设圆心且半径，由， 所以时，两圆相交，则， 故选：C. 【例2.2】（23-24高二上·四川达州·阶段练习）已知圆与圆相内切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解. 【解答过程】圆的圆心及半径为：， 圆可化为：， 则其圆心及半径为：，在圆的外面， 因为圆与圆相内切，所以，即，解得. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高二上·全国·期末）若圆与圆有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得到两圆位置关系，从而得到不等式，解出即可. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为. 因为两圆有公共点，所以两圆相切或相交，则有， 即，解得，又，所以. 故选：C. 【变式2.2】（23-24高二上·天津·阶段练习）若圆与圆外切，则（    ） A．9 B．11 C．1 D．21 【解题思路】先求出两圆圆心和半径，再根据两圆外切可得两圆圆心距等于半径之和，进而列出方程求解即可. 【解答过程】由圆，圆心，半径， 由圆，即， 则圆心，半径，，所以， 因为两圆外切，所以，即，解得. 故选：A. 【考点3 与两圆相切有关问题】 【例3.1】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）两圆与的公切线有（    ）条（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【解题思路】先判断出两圆外切，从而得到公切线条数. 【解答过程】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 则圆心距，故两圆外切， 故公切线有3条. 故选：C. 【例3.2】（2024高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【解答过程】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点到直线的距离公式逐项验证即可. 【解答过程】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 【变式3.2】（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【解题思路】根据两圆圆心距离等于半径和即可得两圆外切判断AB，根据直线与两圆都相切判断C，根据圆心到直线距离等于半径判断D. 【解答过程】由条件可得：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离； 圆心为到直线的距离， 所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确； 对于选项D，圆心到直线的距离， 所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.    故选：C. 【考点4 两圆的公共弦问题】 【例4.1】（23-24高二上·四川成都·期中）圆与圆的公共弦的长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出圆的公共弦所在直线，利用圆中半径、半弦长、圆心距之间的关系求弦长. 【解答过程】两圆方程作差可得：， 即两圆公共弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到公共弦所在直线距离， 故弦长为. 故选：B. 【例4.2】（23-24高二上·浙江台州·期中）圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将两圆方程作差即可得相交弦方程. 【解答过程】由，即，半径为， 由，即，半径为， 所以，即两圆相交， 将两圆方程作差得，整理得， 所以公共弦所在直线方程为. 故选：B. 【变式4.1】（23-24高二上·海南海口·期中）圆：与圆：相交于A，B两点，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】判断两圆相交，求出公共弦所在直线方程，再利用圆的弦长公式计算得解. 【解答过程】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径， 显然，即圆与圆相交， 把圆与圆的方程相减得直线的方程，即， 点到直线的距离，因此. 故选：C. 【变式4.2】（23-24高二上·福建莆田·期中）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线方程为 B．公共弦AB的长为 C．线段AB中垂线方程为 D． 【解题思路】A选项，根据两圆的方程求公共弦所在直线的方程；B选项，利用勾股定理求弦长；C选项，根据圆的性质得到线段中垂线过圆心，然后求直线方程；D选项，利用余弦定理得到，即可得到. 【解答过程】 联立两圆的方程得到，即，所以公共弦所在的直线方程为，故A错； 由：得，半径，则到直线的距离，所以，故B错； 由直线的方程得线段中垂线的斜率为-2，根据圆的性质得线段中垂线过圆心，所以中垂线方程为：，即，故C错； 圆的方程可整理为，所以， 在三角形中，根据余弦定理得，所以，故D正确. 故选：D. 【考点5 直线与圆、圆与圆的位置关系的应用】 【例5.1】（23-24高二上·广东潮州·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（参考数据2.45，结果精确到0.1m）． 【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【解答过程】 以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为．                       设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得．                             故圆拱所在的圆的方程是．                          将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.4m． 【例5.2】（23-24高二上·重庆云阳·阶段练习）如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为. (1)求外籍船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ 【解题思路】（1）首先以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，再利用截距式求解直线方程即可； （2）利用直线与圆的位置关系和弦长公式即可得到答案. 【解答过程】（1）以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，如图所示: 则 ， 则直线，即， 外籍船航行路径所在的直线方程为: ; （2）点到直线的距离， 所以外籍轮船能被海监船监测到； 检测路线的长度， 则检测时间， 所以外籍轮船被监测到的持续时间为小时. 【变式5.1】（23-24高二上·安徽阜阳·期中）某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为1米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： (1)在西辅道上与建筑物底面中心距离2米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ (2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度. 【解题思路】（1）建立坐标系，利用直线和圆的位置关系可以判断； （2）根据直线和圆相切求出切线，利用切线和观景直道所在直线的交点可得范围. 【解答过程】（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，， 因为，则， 依题意得，游客所在位置为，即， 则直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内. （2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住， 所以设直线过点且和圆相切， ①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以或， 即或， 观景直道所在直线方程为， 设两条直线与的交点为， 由，解得， 由，解得， 所以， 即观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为4.375米. 【变式5.2】（23-24高二上·河北·期中）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．    (1)求该圆弧所在圆的方程； (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 【解题思路】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【解答过程】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上， 设该圆的半径为r米，则，解得， 故该圆弧所在圆的方程为． （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则， 解得． 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车． 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车． 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车． 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【解题思路】判出直线恒过定点，再判定点与圆位置关系可得直线和圆位置关系. 【解答过程】由，所以直线恒过定点， 因为，所以点在圆的内部， 所以直线与圆相交. 故选：B. 2．（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【解题思路】分别考虑上两点和与的位置关系，即可推知两圆的位置关系. 【解答过程】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交. 故选：A. 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长． 【解答过程】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交， 圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离： ，圆的半径， 公共弦长． 故选：B． 4．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程，可得直线过圆心,从而可求解. 【解答过程】圆的标准方程为,直线过圆心, 所以直线被圆所截得的弦长等于直径长度4. 故选:B． 5．（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两圆公共弦方程特征进行求解即可. 【解答过程】两个圆的方程相减，得， 故选：C. 6．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知圆：与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆相切 B．直线与圆相离 C．直线与圆相交且所截弦长最短为 D．直线与圆相交且所截弦长最短为4 【解题思路】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案. 【解答过程】由题意，圆的圆心，半径， 直线变形得，得直线过定点， ∵，所以点在圆内，∴直线与圆必相交，故A，B错； 由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值， 此时弦长为，故C对，D错. 故选：C. 7．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知圆：，过点可作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先将圆的方程化为标准式，即可得到，求出的大范围，再由点在圆外，得到点到圆心的距离大于半径，从而求出参数的取值范围. 【解答过程】圆：，即， 则圆心为，半径，且，则， 又过点可作两条直线与圆相切，所以点在圆外， 所以，解得或， 综上可得实数的取值范围是. 故选：D. 8．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆与圆有四条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两圆有四条公切线得两圆外离，由两圆的位置关系可得答案. 【解答过程】因为两圆有四条公切线，所以两圆外离， 因为圆的圆心为，半径为4， 圆，可得， 圆的圆心为，半径为， 所以，解得. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 【解题思路】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程． 【解答过程】由， 则，得，即恒过定点， 由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确； 令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误； 点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则， 所以，可得，故直线为，故D正确． 故选：ACD． 10．（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【解题思路】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【解答过程】     圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．（2024高二上·全国·专题练习）圆与圆相外切，则m的值是 2或 ． 【解题思路】利用建立方程来求出的值． 【解答过程】因为圆与圆， 所以，， 由题意知，， 所以，解得或. 故答案为：2或. 12．（23-24高二下·上海·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则实数b的取值范围是 . 【解题思路】作出简图，结合图象可求答案. 【解答过程】因为，所以，； 其图象是以为圆心，2为半径的下半个圆弧， 当直线与圆弧相切时，恰有一个公共点，此时由可求，（舍去）； 当直线过图中点时，由可得， 当直线过图中点时，由可得， 所以直线截距位于和3之间时也符合题意， 综上可得实数b的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知圆O：，直线l：． (1)若直线l与圆O相切，求k的值； (2)若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB为直角时，求k的值． 【解题思路】（1）利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求待定系数的值. （2）借助“几何法”，把问题转化成为圆心到直线的距离问题求解. 【解答过程】（1）∵圆O：，直线l：．直线l与圆O相切， ∴圆心O到直线l的距离等于半径， 即， 解得． （2）根据题意，圆O的方程为，其半径， 直线l与圆O交于不同的两点A，B，∠AOB＝， 则点O到l的距离d＝r＝1， 则有＝1，解可得k＝±． 14．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆． (1)直线过点且与圆相切，求直线的方程； (2)圆与圆交于两点，求公共弦长． 【解题思路】（1）根据直线斜率是否存在分类讨论，再结合点到直线距离及直线与圆相切列出关系式求解即可得出答案. （2）先联立方程组求出公共弦所在直线方程；再根据点到直线距离求出圆心到直线的距离；最后根据弦长公式即可得出答案. 【解答过程】（1）由圆可得：圆心坐标为，半径为 1°若直线斜率不存在，则直线方程为，此时点到直线的距离为，故直线与圆相切，符合题意； 2°若直线斜率存在，设直线方程为，即. 由直线与圆相切可得：，解得． 此时直线的方程为：， 综上直线的方程为：或． （2）联立，得：直线方程为． 圆心到直线距离为， 故公共弦长． 15．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点分别作直线，交圆于四点，且，求四边形面积的最大值与最小值． 【解题思路】（1）计算出弦长后，圆心，借助公共弦的性质及题目所给条件计算即可得； （2）设点到的距离为，到的距离为，借助垂径定理及面积公式表示出四边形面积后，借助二次函数的性质计算即可得. 【解答过程】（1）由，可得其圆心为，半径， 点到的距离为， 故， 圆的圆心在直线上，设圆心， 由题意得，所以，解得，即， 到的距离， 所以的半径， 所以圆的方程：； （2）假设点到的距离为，到的距离为， 则， 因为，所以， 所以， 所以，所以四边形面积的最大值14，最小值． 16．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆的方程是， (1)若点为圆上一点，过点M作圆的切线，求该切线方程. (2)若点为圆外一点，过点M作圆的两条切线，切点分别为A、B， ①求直线AB的方程. ②若为直线上的一个动点，试讨论直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由 【解题思路】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合圆的切线性质求解即得. （2）①设出切点坐标，利用（1）的结论推导即得；②利用①的结论，结合直线的方程即可求解. 【解答过程】（1）圆的圆心，由点在圆上，得， 设过点M的圆的切线上任意点，当与不重合时，，有， 当与重合时，也成立，而， 因此，整理得， 所以所求切线的方程为. （2）①设切点，由（1）知切线的方程分别为，， 于是，显然点的坐标满足方程， 所以直线的方程为. ②由①知，直线的方程为，而点在直线上， 即，则直线：，即， 由，解得，因此直线过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$