第11讲 圆的方程-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第11讲 圆的方程 【人教A版2019】 ·模块一 圆的方程 ·模块二 二元二次方程与圆的方程 ·模块三 点与圆的位置关系 ·模块四 轨迹方程 ·模块五 与圆有关的对称问题 ·模块六 课后作业 模块一 圆的方程 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【考点1 求圆的标准方程】 【例1.1】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）圆心为，半径为2的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·陕西·期中）过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）过点，半径最小的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【考点2 求圆的一般方程】 【例2.1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）直线与轴，轴分别交于点，以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高三上·北京顺义·期中）已知圆的圆心坐标为，且点在圆上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二上·河北保定·期中）过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 模块二 二元二次方程与圆的方程 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是 【考点1 二元二次方程表示圆的条件】 【例1.1】（23-24高二上·北京顺义·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·河北·期中）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知方程表示圆的方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二上·浙江舟山·阶段练习）若 ，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点2 圆过定点问题】 【例2.1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【例2.2】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【变式2.2】（23-24高二下·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 模块三 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【考点1 点与圆的位置关系】 【例1.1】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）若点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023高二上·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【变式1.1】（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【变式1.2】（2024高二上·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   模块四 轨迹方程 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2.求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【考点1 圆有关的轨迹问题】 【例1.1】（2024高二上·江苏·专题练习）已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，另一个端点是，求线段中点的轨迹方程． 【例1.2】（2024高二·全国·专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 【变式1.1】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 【变式1.2】（2024高三·全国·专题练习）已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程. 模块五 与圆有关的对称问题 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【考点1 与圆有关的对称问题】 【例1.1】（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式1.1】（23-24高二·全国·课后作业）如果圆（）关于直线对称，则有（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 模块六 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·全国·课后作业）圆关于直线对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）下列方程能表示圆的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一·全国·课后作业）圆的圆心和半径长分别为（　　） A．，16 B．，4 C．，4 D．，16 8．（23-24高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 二、多选题 9．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．点在圆内 C．圆的半径为5 D．点在圆内 10．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆，且圆的半径为1时， B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示圆且圆的半径为 D．当时，方程表示圆心为的圆 三、填空题 11．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： . 12．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ． 四、解答题 13．（2024高二上·全国·专题练习）下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. (1). (2). (3). 14．（2024高二上·全国·专题练习）已知点不在圆C：的内部，求实数的取值范围. 15．（23-24高二上·江西抚州·阶段练习）已知的三个顶点为，，. (1)求过点A且平行于的直线方程； (2)求的外接圆的标准方程. 16．（23-24高一上·甘肃天水·期末）已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上 (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 圆的方程 【人教A版2019】 ·模块一 圆的方程 ·模块二 二元二次方程与圆的方程 ·模块三 点与圆的位置关系 ·模块四 轨迹方程 ·模块五 与圆有关的对称问题 ·模块六 课后作业 模块一 圆的方程 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【考点1 求圆的标准方程】 【例1.1】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）圆心为，半径为2的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用圆的标准方程进行判断即可. 【解答过程】因为圆的圆心为，半径为2， 所以圆的方程为. 故选：A. 【例1.2】（23-24高二上·陕西·期中）过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出过四点，，，中的三点的所有圆的方程可得答案. 【解答过程】设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，； 设过点，，的圆的方程为， 所以，解得， 即方程为，或， 故选：D. 【变式1.1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）过点，半径最小的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】半径最小的圆即以为直径的圆. 【解答过程】过点，半径最小的圆,即以为直径， 则圆心为中点，半径为， 则圆方程为：. 故选：A. 【变式1.2】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得. 【解答过程】设该圆方程为， 则圆心为，有， 将点，代入， 有，化简得， 两式相减得，即有，则， ， 故该圆方程为. 故选：B. 【考点2 求圆的一般方程】 【例2.1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）直线与轴，轴分别交于点，以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线方程求出A，B点的坐标，法一：利用圆的直径式方程直接求得；法二：求出AB中点即为圆心，AB长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可. 【解答过程】由题： 法一：根据圆的直径式方程可以得到： 以线段AB为直径的圆的方程为，即， 故选：B. 法二：AB中点为(2,1)， 故以线段AB为直径的圆的圆心为(2,1)，半径为， 所以圆的方程为，展开化简得：， 故选：B. 【例2.2】（23-24高三上·北京顺义·期中）已知圆的圆心坐标为，且点在圆上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由圆心坐标可以设出圆的标准方程，再将点C代入可求出圆的半径，最后整理成圆的一般式方程即可. 【解答过程】因为圆的圆心坐标为，所以设圆的方程为：， 由点在圆上，则，得， 则圆的方程为：，即， 故选：A. 【变式2.1】（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【解答过程】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A. 【变式2.2】（23-24高二上·河北保定·期中）过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程 【解答过程】因为圆，即， 所以圆心为，又直线的斜率为，所以所求直线的斜率为， ∴所求直线的方程为，即. 故选：C. 模块二 二元二次方程与圆的方程 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是 【考点1 二元二次方程表示圆的条件】 【例1.1】（23-24高二上·北京顺义·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解. 【解答过程】因为方程表示一个圆，所以， 解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 【例1.2】（23-24高二上·河北·期中）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解. 【解答过程】因为方程表示一个圆，所以，解得． 故选：B. 【变式1.1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知方程表示圆的方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由求解. 【解答过程】解：因为方程表示圆的方程， 所以，解得， 故选：A. 【变式1.2】（23-24高二上·浙江舟山·阶段练习）若 ，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】由圆的一般方程表示圆的条件计算即可. 【解答过程】由题意可知：， 解之得， 又，所以. 故选：C. 【考点2 圆过定点问题】 【例2.1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【解题思路】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【解答过程】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 【例2.2】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【解答过程】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【变式2.1】（23-24高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 或 ． 【解题思路】 由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【解答过程】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【变式2.2】（23-24高二下·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 、 . 【解题思路】将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标. 【解答过程】由由得，故，解得或. 故填：、. 模块三 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【考点1 点与圆的位置关系】 【例1.1】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）若点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据方程表示圆的方程以及点在圆外分别列出关于的不等式，由此求解出的取值范围. 【解答过程】因为方程表示圆， 所以，即， 又因为点在圆的外部， 所以，即， 所以， 故选：C. 【例1.2】（2023高二上·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【解题思路】由点到圆心的距离和圆的半径比较大小即可得解. 【解答过程】∵， ∴点P在圆外. 故选：C． 【变式1.1】（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 【解题思路】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【解答过程】， 在圆外， 故选：A. 【变式1.2】（2024高二上·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   【解题思路】由点在圆内得，求得a的取值范围. 【解答过程】点在圆的内部， 所以，化简得，解得， 故选:A. 模块四 轨迹方程 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2.求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【考点1 圆有关的轨迹问题】 【例1.1】（2024高二上·江苏·专题练习）已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，另一个端点是，求线段中点的轨迹方程． 【解题思路】根据中点坐标公式，结合点点距离公式即可求解. 【解答过程】设，又，为线段的中点，∴． 由于,所以， 即可， 由于三点不共线，所以且，所以且， ∴中点的轨迹方程为且. 【例1.2】（2024高二·全国·专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 【解题思路】由三角形的角平分线的性质，得到，设点，根据向量的坐标表示，得到，代入圆的方程，即可求解. 【解答过程】由三角形的角平分线的性质，可得，所以， 设点，则， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为. 【变式1.1】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 【解题思路】（1）求出点的坐标，进而求出直线的斜率，再结合垂直关系求出直线的方程. （2）由圆的性质可得线段的中垂线过原点，再借助圆的定义求出轨迹方程即得. 【解答过程】（1）设点，由，得，直线的斜率，而， 所以直线的方程为，即. （2）由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心， 又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即， 显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外）， 所以点的轨迹方程是. 【变式1.2】（2024高三·全国·专题练习）已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程. 【解题思路】（1）由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－2，2y)，进行求解即可； （2）得到 OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，进行求解即可. 【解答过程】（1）设线段AP的中点为M(x，y). 由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－2，2y). ∵ A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，∴ 圆O的方程为x2＋y2＝4.又点P在圆O上，∴ (2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. （2）设线段PQ的中点为N(x，y). 在Rt△PBQ中，PN＝BN，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴ OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，∴ x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－x－y－1＝0. ∴ 线段PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 模块五 与圆有关的对称问题 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【考点1 与圆有关的对称问题】 【例1.1】（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.根据已知求出对称点的坐标，即可得出答案. 【解答过程】将圆的方程化为标准方程可得，， 所以，圆心，半径. 设， 由已知可得，，解得， 所以，圆的圆心为，半径， 所以，圆的方程为. 故选：D. 【例1.2】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【解题思路】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可. 【解答过程】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高二·全国·课后作业）如果圆（）关于直线对称，则有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知圆心在直线上，求出圆心坐标代入即可求解. 【解答过程】由可得圆心坐标为， 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 即，可得， 故选：B. 【变式1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设所求圆的圆心，根据点关于直线的对称得到关于的方程，解出即可. 【解答过程】将圆化成标准形式得， 所以已知圆的圆心为，半径， 因为圆与圆关于直线对称， 所以圆的圆心与点关于直线对称，半径也为1， 设可得，解得， 所以，圆的方程是， 故选：B. 模块六 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据圆的标准方程得解. 【解答过程】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为， 故选：C. 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【解答过程】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）圆关于直线对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 把圆的一般方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，由对称求出对称圆的圆心，可得标准方程. 【解答过程】由圆，得， 则圆心坐标为，半径为1， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 圆关于直线对称的圆的标准方程为． 故选：B． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）下列方程能表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 由一般二元二次方程表示成圆的充要条件逐一判断每个选项即可得解. 【解答过程】对于A，，方程表示的图形是一个点； 对于B，，，方程不表示圆； 对于C，，，当时，方程不表示圆； 对于D，，，方程表示圆； 综上，以上方程能表示圆的是D选项中的方程． 故选：D． 5．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设出圆的标准方程，利用待定系数法计算即可. 【解答过程】因为圆C的圆心在x轴上，故设圆的标准方程, 又经过，两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程. 故选：A. 6．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【解答过程】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 7．（2024高一·全国·课后作业）圆的圆心和半径长分别为（　　） A．，16 B．，4 C．，4 D．，16 【解题思路】 将圆的一般方程转化为标准方程，进而可得圆心和半径. 【解答过程】 由得， 故圆心为，半径长为4. 故选：C. 8．（23-24高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【解答过程】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心为 B．点在圆内 C．圆的半径为5 D．点在圆内 【解题思路】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答. 【解答过程】圆的圆心为，半径为5，AC正确； 由，得点在圆内，B正确； 由，得点在圆外，D错误. 故选：ABC. 10．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆，且圆的半径为1时， B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示圆且圆的半径为 D．当时，方程表示圆心为的圆 【解题思路】若方程表示圆，把一般方程化为标准方程，根据方程成立的条件，验证各选项. 【解答过程】由题意，方程，可化为， 若方程表示圆，则圆的圆心坐标为，半径， 中，当时，可得，所以正确； 中，当时，此时半径为，所以错误； 中，当时，表示的圆的半径为，所以正确； 中，当时，此时半径大于0，表示圆心为的圆，所以正确； 故选：ACD． 三、填空题 11．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： . 【解题思路】 根据给定条件，求出圆心坐标即可得解. 【解答过程】依题意，设圆心为，则，解得， 所以所求圆的标准方程是. 故答案为：. 12．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ． 【解题思路】设出点，结合距离公式计算即可得. 【解答过程】设，由题意可得， 化简可得，即. 故答案为：. 四、解答题 13．（2024高二上·全国·专题练习）下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. (1). (2). (3). 【解题思路】根据二元二次方程表示圆的条件即可判断. 【解答过程】（1）由方程可知：，, 所以方程表示圆，又, 所以圆心为，圆的半径为. （2）由方程可知：，, 所以方程表示点，又， 所以方程表示的点的坐标是. （3）原方程可化为 由方程可知：，， 所以该方程无实数解，方程不表示任何图形. 14．（2024高二上·全国·专题练习）已知点不在圆C：的内部，求实数的取值范围. 【解题思路】根据点不在圆的内部列不等式，然后解不等式即可. 【解答过程】由题意，得点在圆上或圆的外部， ∴， ∴，∴， 又， ∴的取值范围是. 15．（23-24高二上·江西抚州·阶段练习）已知的三个顶点为，，. (1)求过点A且平行于的直线方程； (2)求的外接圆的标准方程. 【解题思路】（1）利用平行线之间的斜率关系，结合点斜式即可求出该直线方程； （2）利用待定系数法计算标准方程即可. 【解答过程】（1）设所求直线的斜率为，则， 易知，即， 则过点A且平行于的直线方程为：； （2）设过三点的圆的标准方程为：， 将，，三点代入得， 解方程得. 即的外接圆的标准方程为. 16．（23-24高一上·甘肃天水·期末）已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上 (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【解题思路】（1）由和的坐标，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出线段垂直平分线的斜率，再由和的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段垂直平分线的方程，与直线联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）设出和的坐标，由中点坐标公式把的坐标用的坐标表示，然后代入圆即可得到答案． 【解答过程】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为所以圆的半径， 则圆C的方程为：； （2）设，线段的中点为，，为中点， 所以，则，①； 因为端点在圆上运动，所以， 把①代入得：， 所以线段的中点M的轨迹方程是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$