第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合-【暑假预科讲义】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合 【人教A版2019】 ·模块一 函数的奇偶性 ·模块二 函数的图象 ·模块三 课后作业 模块一 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【考点1 函数奇偶性的判断】 【例1.1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）下列函数中的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高三上·安徽·阶段练习）函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一上·云南·期末）若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2.1】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2.1】（23-24高二下·河南焦作·阶段练习）函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一上·浙江·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 由函数奇偶性求参数】 【例3.1】（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）若为偶函数，则（    ） A．0 B．5 C．7 D．9 【例3.2】（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．0 【变式3.1】（23-24高一上·湖北·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式3.2】（23-24高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【考点4 函数奇偶性的应用】 【例4.1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一上·北京·期中）已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高一上·广东深圳·期末）定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 模块二 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【考点1 函数图象的识别、判断】 【例1.1】（2024·福建福州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高三下·全国·阶段练习）函数部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高一上·山西·期中）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1.2】（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【考点2 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 【例2.1】（2024·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【例2.2】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【变式2.1】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 【变式2.2】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求的值； (2)证明为奇函数； (3)猜想函数的单调性并求的解集. 【考点3 函数性质的综合】 【例3.1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【例3.2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 【变式3.1】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【变式3.2】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数对任意的x，，都有，且当时，，． (1)判断函数的奇偶性，并证明当时，； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)设实数，求关于x的不等式的解集． 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D． 3．（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在上是减函数的为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·安徽·期末）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A．4 B．2 C． D． 6．（23-24高一上·宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 8．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．是周期为4的周期函数 10．（23-24高一上·新疆·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且也是偶函数，则（   ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于直线对称 三、填空题 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是奇函数，当时，，则 . 12．（23-24高一上·广东广州·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 . 四、解答题 13．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； 14．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. 现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示： (1)请补全函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调递增区间； (3)求出函数在上的解析式． 15．（23-24高一上·云南临沧·期末）已知是定义在R上的奇函数，且时有． (1)写出函数的单调区间（不要证明）； (2)求函数的解析式； (3)解不等式． 16．（23-24高一上·四川乐山·阶段练习）已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又． (1)求证为奇函数； (2)求证：为上的减函数； (3)解关于的不等式：．（其中） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合 【人教A版2019】 ·模块一 函数的奇偶性 ·模块二 函数的图象 ·模块三 课后作业 模块一 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【考点1 函数奇偶性的判断】 【例1.1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）下列函数中的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，即可求解. 【解答过程】对于A中，函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，不符合题意； 对于B中，函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数，符合题意； 对于B中，函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，不符合题意； 对于B中，函数，所以函数为非奇非偶函数函数，不符合题意. 故选：B. 【例1.2】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本初等函数的奇偶性和单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，设，该函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数，且当时，，即函数在上是增函数，A不满足要求； 对于B选项，函数为奇函数，且该函数在上为增函数，B不满足要求； 对于C选项，函数为偶函数，且该函数在上为增函数，C不满足要求； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在上为减函数，D满足要求. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高三上·安徽·阶段练习）函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数图象的平移变换结合奇函数定义可解. 【解答过程】关于点对称， 故将的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，图像关于原点对称， （事实上为奇函数）， 故选：B. 【变式1.2】（23-24高一上·云南·期末）若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据判断函数为奇偶函数的定义及奇偶函数的性质逐项判断即可求解. 【解答过程】对A：不知奇偶性，因此与的关系不确定，与关系不确定，故A错误； 对B：由题意知函数的定义域为，且，得为偶函数，故B正确； 对B：也不知其奇偶性，因此与的关系不确定，故C错误； 对D：，所以不是偶函数，故D错误. 故选：B． 【考点2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2.1】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【解答过程】是定义域为的奇函数， 当时，，所以. 故选：A. 【例2.2】（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】根据题意，由函数的奇偶性可得，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】根据题意，由①得， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 由①②得，所以， 则. 故选：A. 【变式2.1】（23-24高二下·河南焦作·阶段练习）函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由可得出，结合函数的奇偶性可得出关于、的等式组，由此可解得函数的解析式. 【解答过程】因为函数是偶函数，函数为奇函数，则，， 由可得，即， 所以，，解得，其中， 故选：A. 【变式2.2】（23-24高一上·浙江·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，用代替，得到，联立方程组，求得的解析式，进而求得的值. 【解答过程】由，用代替，可得， 因为是奇函数，是偶函数，所以， 联立，解得，， 所以，，则． 故选：D． 【考点3 由函数奇偶性求参数】 【例3.1】（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）若为偶函数，则（    ） A．0 B．5 C．7 D．9 【解题思路】求出的表达式，根据偶函数定义即可求出的值. 【解答过程】由题意， 为偶函数， ∴，， ∴，解得：， 故选：C. 【例3.2】（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．0 【解题思路】根据函数奇偶性的性质列出方程组求解即可得到答案. 【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数 所以函数定义域关于原点对称，且. 则，解得. 所以. 故选：B. 【变式3.1】（23-24高一上·湖北·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【解题思路】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可. 【解答过程】函数是定义在区间上的奇函数， 则，解得，定义域为，，则， ，定义域为，，函数为奇函数，满足， 故. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【解题思路】由偶函数的性质得列式求解． 【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，解得． 故选：D. 【考点4 函数奇偶性的应用】 【例4.1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据偶函数性质将负值的函数值转化为正值的函数值，再利用在上的单调性即得. 【解答过程】因是偶函数，故， 又因当时，是增函数，由可得：， 即. 故选：A. 【例4.2】（23-24高一上·北京·期中）已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用奇函数的性质结合单调性计算即可. 【解答过程】根据奇函数的性质可知在和上单调递减， 且， 所以的解集为. 故选：B. 【变式4.1】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得到 在上是减函数，再根据判断. 【解答过程】解：是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 在上是减函数. 而， ， ， 即. 故选：A. 【变式4.2】（23-24高一上·广东深圳·期末）定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的奇偶性和得到在单调递减，且，再分类讨论，得到不等式的解集. 【解答过程】定义在上的偶函数在上单调递增，且， 故在单调递减，且， 当时，，故，此时满足； 当时，，此时，满足； 当时，，此时，满足； 当时，，此时，此时，不合要求， 综上，的解集为. 故选：D. 模块二 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【考点1 函数图象的识别、判断】 【例1.1】（2024·福建福州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案． 【解答过程】因为函数的定义域为，排除CD， 又，即为偶函数，图象关于轴对称，排除B． 故选：A． 【例1.2】（23-24高三下·全国·阶段练习）函数部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数奇偶性单调性和值域，排除法得正确选项.. 【解答过程】函数的定义域为，为偶函数，故C不正确， 函数在上单调递减，当时，最大值为5，故D不正确； 因为，所以，故A不正确， 故选：B. 【变式1.1】（23-24高一上·山西·期中）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】利用函数单调性和奇偶性即可判断. 【解答过程】的定义域为，排除选项D. 又因为，所以为奇函数，排除选项C. 因为，所以排除选项A， 当时，因为均单调递增， 故在上单调递增，又因为为奇函数， 则在上单调递减，故B的图象符合， 故选：B. 【变式1.2】（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】根据题意，得到函数的定义域及函数为奇函数，利用时，和时，，结合选项，即可求解. 【解答过程】解：由，可得，解得，即的定义域为， 又由满足，所以函数为奇函数， 当时，，可排除A项； 当时，，故排除B、D项. 故选：C. 【考点2 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 【例2.1】（2024·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A； 根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B； 根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C； 不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D. 【解答过程】解：取，，则，解得，， 则．即，函数是奇函数，所以选项A错误； 令，，且，则，因为当时，，所以． 则．即， 函数是R上的增函数，所以选项B错误； 因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为， ，，． 故，在的最小值为-2，所以选项C正确； ，即， 因为函数是R上的增函数，所以，所以， 所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确． 故选：C． 【例2.2】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值. 【解答过程】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误； 对于B，取，满足及， 因为，所以的图象不关于点对称， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，， 再令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，， 两式相加易得，所以有， 即：， 有：， 即：，所以为周期函数，且周期为3， 因为，所以，所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式2.1】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且． (1)求； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性，并说明理由． 【解题思路】（1）利用赋值法即可求得；（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；（3）赋值构造出表达式，再运用定义证明函数单调性. 【解答过程】（1）令，，可得， 解得； 令，，可得，解得. （2）为奇函数，理由如下： ， 而， 得 故在上是奇函数 （3）当时，，所以当，则，得， 又在上是奇函数，所以当，则， 设，则，所以，，故 ， 在上单调递减. 【变式2.2】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求的值； (2)证明为奇函数； (3)猜想函数的单调性并求的解集. 【解题思路】（1）利用赋值法即可求解， （2）结合奇函数的定义证明即可； （3）利用函数单调性的定义证明单调性，即可由单调性求解； 【解答过程】（1）令，则有，解得． （2）证明：令，则有， 所以，故函数为奇函数； （3）是R上的减函数．证明如下： 设，所以， 由， 因为当时，，所以， 即，所以是R上的减函数； ，则，故， 故不等式的解为. 【考点3 函数性质的综合】 【例3.1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【解题思路】（1）根据与定义域关于原点对称判断即可； （2）任取，且，作差，再判号得到相应结论； （3）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案. 【解答过程】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为. 【例3.2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意，得到和，列出方程组求得的值，结合单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）由函数，令，可得，且，结合二次函数的图象与性质，求得的最大值和最小值，结合，即可求解. 【解答过程】（1）解：由函数为奇函数，且， 可得，则，解得，可得， 经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称， 可得，所以是奇函数，满足题意 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以，， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增． （2）解：由题意，函数，令，可得， 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是． 【变式3.1】（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【解题思路】 （1）根据题意，由奇函数的性质可得以及，列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由函数单调性的定义即可证明； （3）由函数的奇偶性与单调性列出不等式，即可得到结果. 【解答过程】（1）由奇函数的性质可知，， ， . . 经验证，满足题设. （2）函数在上单调递增， 证明：令， ， ， 即， 函数在上单调递增. （3）由已知：， 由（2）知在上单调递增， ， 不等式的解集为. 【变式3.2】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数对任意的x，，都有，且当时，，． (1)判断函数的奇偶性，并证明当时，； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)设实数，求关于x的不等式的解集． 【解题思路】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案； （2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可； （3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式，即可求解. 【解答过程】（1）为奇函数.证明如下： 因为函数对任意的x，，都有， 所以令，可得，代入， 可得， 所以为奇函数； 所以， 由奇函数的性质可知奇函数在定义域内是单调的，且当时，， 所以当时， （2）函数在区间上为单调递增函数. 证明如下： 设， 则， 因为，且当时，， 所以， 所以当时，， 所以函数在区间上为单调递增函数. （3）因为，设， 所以 因为，且函数在区间上为单调递增函数， 所以不等式等价于，等价于， 方程的根为， 即， 所以不等式的解集为. 模块三 课后作业 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数为定义在上的偶函数，则实数等于（    ） A． B．1 C．0 D．无法确定 【解题思路】利用偶函数的定义域关于原点对称即可得解. 【解答过程】因为为定义在上的偶函数， 所以，解得. 故选：C. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D． 【解题思路】先运用奇偶性排除CD选项，然后再运用特殊值（范围）排除B选项，从而得出答案. 【解答过程】解：函数的定义域为， 因为， 故函数为奇函数，关于原点对称，故排除C、D两个选项； 又因为当时，， 故此时， 故排除B选项. 故选：A. 3．（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【解题思路】运用奇函数定义求解即可. 【解答过程】当时，， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. 故选：A. 4．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在上是减函数的为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】画出对应选项中常见函数的图象，即可数形结合判断函数奇偶性和单调性. 【解答过程】对于选项A: 数形结合可知：是奇函数，且在单调递增，故选项A错误； 对于选项B: 数形结合可知：是偶函数，且在单调递增，在单调递减，故选项B错误； 对于选项C: 数形结合可知：是奇函数，且在,单调递减，故选项C错误； 对于选项D: 数形结合可知：该函数在是奇函数，在上是减函数，符合题意，故选项D正确； 故选：D. 5．（23-24高三上·安徽·期末）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【解题思路】根据条件得出函数的周期为，再利用，即可求出结果. 【解答过程】因为为奇函数，所以，又为偶函数，得到， 由，得到，所以， 即有，所以，故函数的周期为， 又，所以， 故选：C. 6．（23-24高一上·宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题设知为偶函数且在上单调递增，利用奇偶性、单调性比较函数值大小即可. 【解答过程】由题设为偶函数且在上单调递增， 所以，即. 故选：A. 7．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【解题思路】由题设易知关于原点对称，将代入条件得，结合奇函数性质得，即，进而推出是周期为16的奇函数，利用周期性、奇函数性质求函数值. 【解答过程】由的图象关于点对称，则关于原点对称， 故又，，则， 由，则， 所以 ，故， 所以，即， 则， 综上，是周期为16的奇函数， 所以，而， 所以. 故选：B. 8．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案. 【解答过程】因为在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且， 所以当时，， 当时，. 所以由可得：或或, 解得或或，即或. 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．是周期为4的周期函数 【解题思路】先由题意可得且函数的最小正周期为，然后结合条件逐项判断即可. 【解答过程】由函数是定义在R上的奇函数，得且. 由，得，即， 于是函数的最小正周期为. 对于A：，故A正确； 对于B：因为，的定义域是全体实数， 所以是偶函数，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：是周期为8的周期函数，故D错误. 故选：AC. 10．（23-24高一上·新疆·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且也是偶函数，则（   ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于直线对称 【解题思路】 利用函数奇偶性，对称性和单调性逐项判断即可 【解答过程】因为是偶函数，所以，即， 所以的图象关于直线对称. 因为是偶函数，所以的图象关于轴对称. 所以，. 因为在上单调递增，所以. 即.A正确，B错误. 因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，将的图象向左平移3个单位长度可得的图象，所以的图象关于直线对称，C正确. 令函数，则，即， 所以函数 的图象关于直线对称.D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知是奇函数，当时，，则 . 【解题思路】根据奇函数的性质，，则可求得答案. 【解答过程】因为是奇函数，所以， 当时，，所以. 故答案为：. 12．（23-24高一上·广东广州·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 . 【解题思路】先得到在上单调递增，且为偶函数，故在上单调递减，分与、三种情况，结合，得到不等式的解集. 【解答过程】不妨设，由得， 即， 故在上单调递增， 因为为R上的奇函数，所以， 的定义域为，且， 故为偶函数，在上单调递减， 当时，， 因为，所以，故， 即，解得， 当时，， 因为，所以，故，解得； 当时，，符合题意； 故不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； 【解题思路】根据函数奇偶性的定义进行判断. 【解答过程】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （3）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. 14．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. 现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示： (1)请补全函数的图象； (2)根据图象写出函数的单调递增区间； (3)求出函数在上的解析式． 【解题思路】（1）利用偶函数的关于图像关于轴对称，即可作出函数的图象； （2）根据图像写出单调区间即可； （3）利用时，，求得，再根据偶函数即可求解. 【解答过程】（1）如图所示: （2）结合图象可得：函数的单调递增区间为和； （3）当时，， 若时，则， 所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以， 故函数在上的解析式为. 15．（23-24高一上·云南临沧·期末）已知是定义在R上的奇函数，且时有． (1)写出函数的单调区间（不要证明）； (2)求函数的解析式； (3)解不等式． 【解题思路】（1）利用二次函数的图像和性质，结合奇函数的图像特征，写出的函数单调区间； （2）由函数的奇偶性，求解析式； （3）利用解析式分段讨论，解不等式. 【解答过程】（1）时有，由二次函数的图像和性质可知在上单调递减，在单调递增， 是定义在R上的奇函数，图像关于原点对称， 所以的单调递增区间为和，递减区间为； （2）是定义在R上的奇函数，且时有， 当，则，， 综合可得：. （3）若，则或， 解可得：或， 则不等式的解集为. 16．（23-24高一上·四川乐山·阶段练习）已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又． (1)求证为奇函数； (2)求证：为上的减函数； (3)解关于的不等式：．（其中） 【解题思路】（1）由赋值法利用奇函数定义即可证明函数为奇函数； （2）利用函数单调性定义由即可得出证明； （3）由将不等式化简可得，再由函数单调性以及即可得. 【解答过程】（1）由题意， 令得，可得； 再令得， 即对于任意都满足， 所以为奇函数 （2）令，则， 因此， 可得 所以为上的减函数； （3）不等式化为： 即可得， 又为上的减函数，所以， 整理的，又，即， 解得．则不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$