第02讲 三角形的内角与外角-2024年暑假八年级数学上册自学课系列（人教版）

第02讲 三角形的内角与外角 【人教版】 ·模块一 三角形的内角和定理 ·模块二 直角三角形的两个锐角互余 ·模块三 三角形的外角 ·模块四 课后作业 模块一 三角形的内角和定理 三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°。 【考点1 三角形的内角和定理】 【例1.1】（2023八年级·山东滨州·期中）回答下列问题： (1)填空（在括号中注明理由）：如图1所示：直线经过点，，求证：． 证明：∵ ∴，（ ） ∵（ ） ∴（ ） (2)如图2所示，，求证：． (3)由（1）和（2），你能得出什么结论？_________________． 【例1.2】（2023·山东临沂·八年级期末）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023·广东惠州·八年级期末）如图，在中，，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023八年级·湖南娄底·期中）在中，，若，则的度数是 ． 【变式1.2】（2023八年级·山东泰安·期末）若，则按角分的形状是 ． 【变式1.3】（2023八年级·云南昭通·期末）如图，是直角三角形，，沿折叠，使点B恰好与边上的点E重合，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【考点2 三角形的内角和定理的实际应用】 【例2.1】（2023八年级·河北廊坊·期末）如图，轮船在灯塔的北偏东方向上，同时轮船在码头的北偏西方向上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【例2.2】（2023·湖南永州·八年级期末）如图为学生上课坐的椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ） A． B． C． D． 【例2.3】（2023·江西南昌·八年级期末）如图，平面镜放在水平面上，光线，照射到镜面上，反射光线分别为，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023·河南南阳·八年级期末）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面l平行，，，当 时，．    【变式2.2】（2023八年级·江苏苏州·期中）如图，轮船在岛屿的南偏东方向和岛屿的北偏东方向，岛屿在岛屿的南偏西方向，则 °． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·四川成都·期末）如图，在中，和的平分线相交于点P，若，则的度数为 ． 【题型2】（2023八年级·河南濮阳·期末）如图，已知，，．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【题型3】（2023八年级·山东烟台·期末）如图，，点是射线上一动点(不与点重合)，分别平分和，交射线于两点．    (1)求的度数； (2)当点运动到使时，求的度数； (3)当点运动时，与的度数之比是否随之发生变化?若不变，求出与的度数之比；若变化，请说明变化规律． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·河北承德·期末）如图，，，． （1） ； （2）在直线上取一点，使得，则的度数是 ．    【题型2】（2023八年级·江苏镇江·期末）如图，，分别为的高和角平分线，若，．    (1)求的度数； (2)若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，则的度数为______． 【题型3】（2023八年级·山东淄博·期中）如果三角形两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，点B，点C为直线l上的两点，点A在直线l外，且．若点P是l上一点，且是“准直角三角形”，则 ． 模块二 直角三角形的两个锐角互余 1．直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余。 2．直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形。 【考点1 直角三角形的性质】 【例1.1】（2023八年级·贵州铜仁·期中）在中，，，则的度数为 ． 【例1.2】（2023八年级·广东肇庆·期末）将一副三角板按如图所示摆放，其中，，则∠2为（    ） A． B． C． D． 【例1.3】（2022·陕西西安·八年级期末）如图，已知l1∥l2，l3分别与l1、l2相交，点A、B分别为l3，l2上一点，且AB⊥l2，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．28° B．42° C．38° D．32° 【变式1.1】（2023八年级·福建龙岩·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·安徽阜阳·八年级期末）一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2023八年级·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【考点2 直角三角形的判定】 【例2.1】（2023八年级·江苏南京·八年级期末）如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ． 【例2.2】（2023八年级·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【例2.3】（2023八年级·江苏南京·八年级期末）如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）． 【变式2.1】（2023八年级·江苏南京·八年级期末）已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 【变式2.2】（2023八年级·江苏淮安·期末）把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：（已知） 又（ ） （等量代换） 平分（已知） （ ） （已知） （ ） （等量代换） （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·山东济宁·期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【题型2】（2023八年级·江苏无锡·期末）如图，在中，平分，为线段上的一个点，交直线于点． (1)若，，求的度数． (2)猜想与、的数量关系． 【题型3】（2023八年级·福建龙岩·期末）如图，中，是角平分线，，垂足为． (1)已知，，求的度数； (2)若，求证：． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·河南漯河·期末）如图，中，，D是边上一动点，把沿直线折叠，点A落在点E处，当平行于的直角边时，的度数为 ． 【题型2】（2023八年级·江苏南京·八年级期末）如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E. (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由； (2)如果∠ABC是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？ 【题型3】（2023八年级·福建泉州·期中）如图，线段于点，平分，为线段延长线上一点，过作，垂足为，的平分线交延长线于点． (1)证明：． (2)你能判断、的位置关系吗？请说明理由． 模块三 三角形的外角 三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 【考点1 三角形的外角的概念及性质】 【例1.1】（2023八年级·福建厦门·期末）如图，点在线段的延长线上，过点作射线交于点，则下列是的外角的是（    ）    A． B． C． D． 【例1.2】（2023·云南昆明·八年级期末）如图，的外角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023八年级·湖北孝感·期中）分别求出下列图形中x和y的值． 【变式1.1】（2023八年级·江苏无锡·期中）如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式1.2】（2023八年级·内蒙古兴安盟·期末）体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则等于 度 【变式1.3】（2023八年级·山东烟台·期中）一副三角板叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【考点2 三角形的外角和】 【例2.1】（2023八年级·江苏泰州·期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于”． 如图，、、是的三个外角．求证． (1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． ①___________；②___________；③___________；④___________． (2)根据第二种思路，完成证明． 第二种思路：在图中添加辅助线，将三角形的三个外角“集中”到同一顶点处，证明它们的和是． 【例2.2】（2023八年级·江苏南京·八年级期末）如果一个三角形的三个外角的度数比为5:6:7,那么这个三角形的三个内角的度数比为 ,最小内角的度数为 . 【例2.3】（2023八年级·全国·课堂例题）如图，、、是的三个外角，，则 ．    【变式2.1】（2023八年级·江苏南京·八年级期末）如图，在三角形纸片中，．若按图中虚线将剪去，则 °． 【变式2.2】（2023八年级·山西·期末）如图所示，是的三个外角，且，则 ． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·四川德阳·期末）如图，是外角的平分线，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)请你写出、、三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程． 【题型2】（2023八年级·辽宁沈阳·期末）如图，已知，，点在延长线上，且，点在上，交于点．    (1)求证：； (2)若，求的度数 【题型3】（2023八年级·江苏泰州·期中）如图，分别为的高、角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若点G为上一点，过点G作交于点P，交于点H，试猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在三角形中，于点． (1)猜想和位置关系，并说明理由。 (2)若平分平分交于点，求的度数． 【题型2】（2023八年级·安徽阜阳·期中）在中，，点D、E分别是边上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），令，．    (1)若点P在边上，如图（1）所示，且，则______； (2)若点P在的外部，如图（2）所示，则之间有何关系？说明理由． (3)若点P在边的延长线上运动，直接写出之间关系． 【题型3】（2023八年级·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以直角三角形为背景探究角之间的数量关系． 已知，在中，，过点B作，交的角平分线所在直线于点E．设的度数为．    初步探究： (1)如图1，当时，点E在线段的延长线上．“勤学”小组对这种情形进行了分析，提出如下问题，请你解答： ①当时，求的度数； ②用含的代数式表示的度数为______； 拓展延伸： (2)“智慧”小组借助图2进一步探究当时，与之间的数量关系，请你补全图形并直接写出这个结论． 模块四 课后作业 1．（2023八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，为延长线上一点，于，，，则的度数为（     ）. A． B． C． D． 2．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在ACE中，点D在AC边上，点B在CE延长线上，连接BD，若∠A＝47°，∠B＝55°，∠C＝43°，则∠DFE的度数是（    ） A．125° B．45° C．135° D．145° 3．（2023·河北保定·八年级期末）如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点B作射线交边于点E，则的度数可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河北石家庄·八年级期末）将两张三角形纸片 和按如图1位置放置，点D、C分别在的延长线上， 记； 沿虚线将剪掉一部分得到图2的， 记， 则正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较α与β的大小 5．（2023八年级·山东青岛·期末）如图，C是内一点，连接，的平分线与的平分线交于点E，延长交于点F．已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．（2023八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线．若，则 ．（用含有n的代数式表示） 7．（2023八年级·广东佛山·期末）一个零件的形状如图所示，按规定应等于，与的度数分别是和，牛叔叔量得，请你帮助牛叔叔判断该零件 ．（填“合格”或“不合格”） 8．（2023八年级·广东茂名·期中）如图，在中，，点D在上，于点交与点F．若，则 ． 9．（2023八年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示，在中，，，将其沿折叠，使点A落在边上的处，则 ． 10．（2023八年级·浙江温州·期中）如图1为一种可折叠阅读书架，支架可以绕点O旋转，置书面可以绕点C转动调节．首先调节，使，如图2所示，此时；再将绕O点顺时针旋转至，使 ，且，此时比大，则 度． 11．（2023八年级·宁夏中卫·期中）如图，在中，，，是的一条角平分线，求的度数． 12．（2023八年级·四川内江·期中）如图，中，D、E分别是边上的点，平分，求证： 13．（2023八年级·江苏南京·八年级期末）如图，，，，，，求的度数． 14．（2023·广东中山·八年级期末）如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点P表示某市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬，某市的纬度是北纬，而冬至正午时，太阳光直射南回归线(光线的延长线经过地心O)，求某市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角α的度数 15．（2023八年级·江苏淮安·期中）【结论发现】 小明发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数； ②直接写出与的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 三角形的内角与外角 【人教版】 ·模块一 三角形的内角和定理 ·模块二 直角三角形的两个锐角互余 ·模块三 三角形的外角 ·模块四 课后作业 模块一 三角形的内角和定理 三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°。 【考点1 三角形的内角和定理】 【例1.1】（2023八年级·山东滨州·期中）回答下列问题： (1)填空（在括号中注明理由）：如图1所示：直线经过点，，求证：． 证明：∵ ∴，（ ） ∵（ ） ∴（ ） (2)如图2所示，，求证：． (3)由（1）和（2），你能得出什么结论？_________________． 【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②平角定义；③等量代换； (2)证明见解析； (3)三角形内角和等于． 【分析】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握并灵活运用平行线的性质是本题的关键． （1）根据平行线的性质结合平角定义解答即可； （2）根据平行线的性质结合平角定义解答即可； （3）能得出结论：三角形内角和等于． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∵（平角定义）， ∴（等量代换）； 故答案为：已知；两直线平行，内错角相等；平角定义；等量代换； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴； （3）解：由（1）和（2），你能得出结论：三角形内角和等于． 故答案为：三角形内角和等于． 【例1.2】（2023·山东临沂·八年级期末）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【例1.3】（2023·广东惠州·八年级期末）如图，在中，，平分，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．先求出，再根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1.1】（2023八年级·湖南娄底·期中）在中，，若，则的度数是 ． 【答案】25° 【分析】根据三角形的内角和即可求解． 【详解】∵在中，， ， ∴∠A=180°-∠C-∠B=25° 故答案为：25°． 【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°． 【变式1.2】（2023八年级·山东泰安·期末）若，则按角分的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论． 【详解】∵在△ABC中，， ∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x． ∵∠A＋∠B＋∠C＝180，即x＋2x＋3x＝180，解得x＝30， ∴∠C＝3x＝90， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 【变式1.3】（2023八年级·云南昭通·期末）如图，是直角三角形，，沿折叠，使点B恰好与边上的点E重合，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可知：，分别求出即可． 【详解】解：由折叠的性质可知：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查折叠的性质：对应角相等，解题的关键是熟记折叠的相关结论即可． 【考点2 三角形的内角和定理的实际应用】 【例2.1】（2023八年级·河北廊坊·期末）如图，轮船在灯塔的北偏东方向上，同时轮船在码头的北偏西方向上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与方向角有关的计算，根据题意，求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 【例2.2】（2023·湖南永州·八年级期末）如图为学生上课坐的椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握相关性质，是解题的关键．根据邻补角的定义得，再由平行线的性质得，最后根据三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 由题意，得：， ∴， ∵， ∴； 故选． 【例2.3】（2023·江西南昌·八年级期末）如图，平面镜放在水平面上，光线，照射到镜面上，反射光线分别为，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和是是解题的关键．根据光的反射规律知，，结合平角定义求出的度数，从而求出的度数，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ，，， ， ， ， 故选：B． 【变式2.1】（2023·河南南阳·八年级期末）为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面l平行，，，当 时，．    【答案】70 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解．掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 【变式2.2】（2023八年级·江苏苏州·期中）如图，轮船在岛屿的南偏东方向和岛屿的北偏东方向，岛屿在岛屿的南偏西方向，则 °． 【答案】85 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质和三角形的内角和定理，关键是求出和的度数．如图，利用平行线的性质，，由角的和差可得，从而得到的度数，再由三角形的内角和定理可得结果． 【详解】解：如图， ，，，， ， ，， ， 故答案为：85． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·四川成都·期末）如图，在中，和的平分线相交于点P，若，则的度数为 ． 【答案】/116度 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义． 根据三角形的内角和定理可求得，再根据角平分线的定义可得，从而在中根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 【题型2】（2023八年级·河南濮阳·期末）如图，已知，，．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）的延长线交于点，可求，从而可求，即可求解； （2）延长交于点，可求，从而可求，即可求证． 【详解】（1）解：如图，的延长线交于点，，    ，， ， ， ， ； （2）证明：，理由如下： 如图，延长交于点，    由（1）知，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，理解定义，掌握性质是解题的关键． 【题型3】（2023八年级·山东烟台·期末）如图，，点是射线上一动点(不与点重合)，分别平分和，交射线于两点．    (1)求的度数； (2)当点运动到使时，求的度数； (3)当点运动时，与的度数之比是否随之发生变化?若不变，求出与的度数之比；若变化，请说明变化规律． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得 即可； （2）根据三角形内角和定理得，再根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，即可得结论； （3）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，，结合角平分线定义可得结论． 【详解】（1）解： ，， ， ，分别平分和， ， ， ， ； （2）当时， 又， ， ， ， ，， ， ， ； （3）当点运动时，：：， 理由： ， ，， 平分， ， ：：：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，其中理解题意，熟悉角之间的关系是解决问题的关键． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·河北承德·期末）如图，，，． （1） ； （2）在直线上取一点，使得，则的度数是 ．    【答案】 70° 40°或80° 【分析】（1）根据平行可得，即可求出； （2）画出图形，先求出，再求出的度数即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ 当在右边时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 当在左边时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40°或80°． 【点睛】本题考查三角形内角和及平行线的性质，熟记平行线的性质并选择合适的角度关系是解题的关键． 【题型2】（2023八年级·江苏镇江·期末）如图，，分别为的高和角平分线，若，．    (1)求的度数； (2)若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，则的度数为______． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理求出，结合高的定义计算即可； （2）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：为的角平分线， ， ， ， 为的高， ， ； （2）∵， ∴， 当时，， ， 当时，， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 【题型3】（2023八年级·山东淄博·期中）如果三角形两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，点B，点C为直线l上的两点，点A在直线l外，且．若点P是l上一点，且是“准直角三角形”，则 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查三角形内角和定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法．分为四种情况，一是点在点左侧，是“准直角三角形”，且；二是点在点左侧，是“准直角三角形”，且；三是点在点右侧，是“准直角三角形”，且；四是点在点右侧，是“准直角三角形”，且，画出图形，分别求出、、、的度数即可． 【详解】解：如图，若点在点左侧，是“准直角三角形”，且，    ， ， ， ； 若点在点左侧，是“准直角三角形”，且， ， ， ； 若点在点右侧，是“准直角三角形”，且， ， ， ， ； 若点在点右侧，是“准直角三角形”，且， ， ， ， 综上所述，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 模块二 直角三角形的两个锐角互余 1．直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余。 2．直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形。 【考点1 直角三角形的性质】 【例1.1】（2023八年级·贵州铜仁·期中）在中，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的性质直接求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ． 故答案为：． 【例1.2】（2023八年级·广东肇庆·期末）将一副三角板按如图所示摆放，其中，，则∠2为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的特征，在中，利用直角三角形两锐角互余得，在中，利用直角三角形两锐角互余得，再利用即可求解，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选D． 【例1.3】（2022·陕西西安·八年级期末）如图，已知l1∥l2，l3分别与l1、l2相交，点A、B分别为l3，l2上一点，且AB⊥l2，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．28° B．42° C．38° D．32° 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求出∠3=∠1＝50°，利用直角三角形两锐角互余求出∠2. 【详解】解：∵， ∴∠3=∠1＝52°， ∵AB⊥l2， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠2=90°-52°=38°， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 【变式1.1】（2023八年级·福建龙岩·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形角的性质．根据直角三角形两锐角互余可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 【变式1.2】（2023·安徽阜阳·八年级期末）一把直尺和一把含角的直角三角板按如图所示摆放，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的性质以及即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选B． 【变式1.3】（2023八年级·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，根据直角三角板的特点，可知，，，在中，根据两锐角互余即可求解． 【详解】解：一副三角尺，如图所示， ∴，，， ∴， 在中，， 故选：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中两个锐角的互余的关系是解题的关键． 【考点2 直角三角形的判定】 【例2.1】（2023八年级·江苏南京·八年级期末）如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ． 【答案】直角三角形 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论. 【详解】解: 在Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°, ∴∠A+∠C=90°, ∵∠DEC＝∠A, ∴∠DEC+∠C=90°, ∴∠EDC=90°, ∴△EDC 是直角三角形, 故答案为 直角三角形. 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握. 【例2.2】（2023八年级·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 【例2.3】（2023八年级·江苏南京·八年级期末）如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）． 【答案】，， 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理证得即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵和交于点E， ∴， ∴，，均为直角三角形． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，涉及平行线的性质、角平分线的定义、邻补角、锐角互余的三角形是直角三角形等知识，熟练掌握锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键． 【变式2.1】（2023八年级·江苏南京·八年级期末）已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】利用三角形内角和定理可得，据此即可证明是直角三角形． 【详解】解：在中，D是AB上一点，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于”是解题的关键． 【变式2.2】（2023八年级·江苏淮安·期末）把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，平分，为边上一点，连接，交于点，且． 求证：． 证明：（已知） 又（ ） （等量代换） 平分（已知） （ ） （已知） （ ） （等量代换） （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 【答案】对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 【分析】根据对顶角性质、角平分线性质和直角三角形定义可推出∠ADC． 【详解】证明：（已知） 又（ 对顶角相等 ） （等量代换） 平分（已知） （ 角平分线定义 ） （已知） （ 直角三角形两个锐角互余 ） （等量代换） ADC （有两个角互余的三角形是直角三角形） （垂直的定义） 故答案为：对顶角相等；角平分线定义；直角三角形两个锐角互余；ADC 【点睛】考核知识点：对顶角性质、角平分线定义、直角三角形定义、垂直定义．理解垂直的定义和直角三角形性质是解题关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·山东济宁·期中）在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和为，求出三角形中最大角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故小题正确； ②∵， ∴最大角， 故小题正确； ③∵， ∴， ∴， 故小题正确； 综上所述，是直角三角形的是①②③共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，根据三角形内角和定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键． 【题型2】（2023八年级·江苏无锡·期末）如图，在中，平分，为线段上的一个点，交直线于点． (1)若，，求的度数． (2)猜想与、的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ， ； （2）如图， 设，， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【题型3】（2023八年级·福建龙岩·期末）如图，中，是角平分线，，垂足为． (1)已知，，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，最后再由，进行计算即可得出答案； （2）设，则，由三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义得出，计算出，，即可得证． 【详解】（1）解：，， ， 是角平分线， ， ； （2）证明：设，则， ， 是角平分线， ， 又， ， ， ， ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·河南漯河·期末）如图，中，，D是边上一动点，把沿直线折叠，点A落在点E处，当平行于的直角边时，的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．由折叠的性质可得， ，，分两种情况讨论，利用平行线的性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵把沿直线折叠， ∴， ，， 如图，当时，   ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 【题型2】（2023八年级·江苏南京·八年级期末）如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E. (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由； (2)如果∠ABC是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？ 【答案】（1）∠1＝∠2，理由见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的定义可得△ABD和△BCE是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1+∠B=90°，∠2+∠B=90°，从而得解； （2）根据垂直的定义可得∠D=∠E=90°，然后求出∠1+∠CBE=90°，∠2+∠ABD=90°，再根据∠CBE、∠ABD是对顶角解答即可. 【详解】解：(1)∠1＝∠2.理由如下： ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴△ABD和△BCE都是直角三角形． ∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.∴∠1＝∠2. (2)结论仍然成立．理由如下： ∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°. ∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°. ∵∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键. 【题型3】（2023八年级·福建泉州·期中）如图，线段于点，平分，为线段延长线上一点，过作，垂足为，的平分线交延长线于点． (1)证明：． (2)你能判断、的位置关系吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； 【分析】（）根据等角的余角相等及直角三角形的两锐角互余证明即可； （）延长交于点，由角平分线得，再根据直角三角形的性质及判定得从而即可证明结论成立。 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴ （2）解：延长交于点， ∵平分，平分， ∴ ， 由（）得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂线的定义，等角的余角相等及角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质以及垂线的定义是解题的关键． 模块三 三角形的外角 三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 【考点1 三角形的外角的概念及性质】 【例1.1】（2023八年级·福建厦门·期末）如图，点在线段的延长线上，过点作射线交于点，则下列是的外角的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，据此即可求解． 【详解】解：根据三角形外角的定义可知： 是的外角， 故选：C． 【例1.2】（2023·云南昆明·八年级期末）如图，的外角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角的性质．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可求解． 【详解】解：，， ． 故选：D． 【例1.3】（2023八年级·湖北孝感·期中）分别求出下列图形中x和y的值． 【答案】x的值为65，y的值为60 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及解一元一次方程，牢记“三角形内角和是”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 在图1中，利用三角形内角和定理，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，在图2中，利用三角形的外角性质，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：图1：根据题意得：， 解得：； 图2：根据题意得：， 解得：． 的值为65，的值为60． 【变式1.1】（2023八年级·江苏无锡·期中）如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】依据三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，可判断出此三角形有一内角为钝角，从而得出这个三角形是钝角三角形． 【详解】解：∵三角形的一个外角与它相邻的内角和为，而这个外角小于它相邻的内角， ∴与它相邻的这个内角大于， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角． 【变式1.2】（2023八年级·内蒙古兴安盟·期末）体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则等于 度 【答案】20 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 【详解】解：根据三角形外角性质得，， ， ， 故答案为：． 【变式1.3】（2023八年级·山东烟台·期中）一副三角板叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形的外角的性质列式计算即可． 【详解】解：如图， 根据三角板角度的特殊性可知， 根据三角形外角的性质可得． 故选D． 【考点2 三角形的外角和】 【例2.1】（2023八年级·江苏泰州·期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于”． 如图，、、是的三个外角．求证． (1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． ①___________；②___________；③___________；④___________． (2)根据第二种思路，完成证明． 第二种思路：在图中添加辅助线，将三角形的三个外角“集中”到同一顶点处，证明它们的和是． 【答案】(1)，，，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理、三角形的外角性质解答即可； （2）作，根据平行线的性质、周角的概念证明结论． 【详解】（1）解：①， ②， ③，（②和③可颠倒）， ④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）证明：如图，作， ，， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、平行线的性质、三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【例2.2】（2023八年级·江苏南京·八年级期末）如果一个三角形的三个外角的度数比为5:6:7,那么这个三角形的三个内角的度数比为 ,最小内角的度数为 . 【答案】 4∶3∶2, 40° 【分析】根据三角形的外角和为360度分别求得各个外角的度数，从而得出各个内角度数,再求解问题． 【详解】∵三角形的三个外角的度数比为5:6:7,且外角和为360度， ∴三角形的三个外角的度数分别为： ∴三角形的三个内角的度数分别为：80o，60 o，40 o, ∴三角形的三个内角的度数比为80:60:40=4:3:2,最小内角的度数为40 o. 故答案是：4∶3∶2, 40°. 【点睛】考查了三角形的外角性质、内角和定理，根据三角形的外角和为360度，再按比分配求得各个外角的度数是解题的关键． 【例2.3】（2023八年级·全国·课堂例题）如图，、、是的三个外角，，则 ．    【答案】 【分析】根据三角形的外角和等于求解，即可得到答案． 【详解】解：、、是的三个外角，且三角形的外角和等于， ， ， ， 故答案为：． 【变式2.1】（2023八年级·江苏南京·八年级期末）如图，在三角形纸片中，．若按图中虚线将剪去，则 °． 【答案】215 【分析】本题考查三角形外角和的性质应用，三角形的外角和为360°．关键在于对三角形外角和的正确记忆，以及对题意的正确分析，进而根据已知条件求解出答案． 【详解】∵在中，， ∴的外角为145°， 由三角形的外角和为360°可得， ． 故答案为：215． 【变式2.2】（2023八年级·山西·期末）如图所示，是的三个外角，且，则 ． 【答案】 【分析】已知，，是的三个外角，三角形外角和为360°，即， 已知，，即可求得度数，，即可求解． 【详解】∵，，是的三个外角 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：70 【点睛】本题考查了三角形外角和定理，三角形的外角和为360°，熟练掌握此知识点是解题的关键 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·四川德阳·期末）如图，是外角的平分线，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)请你写出、、三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角， （1）根据是的外角，，得，根据是外角的平分线得，根据是的外角，即可得； （2）根据三角形的外角，角平分线的性质得，，即可得． 掌握角平分线的性质，三角形的外角是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的外角，，， ∴， ∵是外角的平分线， ∴， ∵是的外角， ∴； （2），证明如下： 证明：∵，， ∴． 【题型2】（2023八年级·辽宁沈阳·期末）如图，已知，，点在延长线上，且，点在上，交于点．    (1)求证：； (2)若，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，即可推得； （2）根据平行线的性质可得，结合题意可得，根据三角形的外角性质可得，根据对顶角的性质可得，根据三角形内角和定理可得． 【详解】（1）证明： ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 【题型3】（2023八年级·江苏泰州·期中）如图，分别为的高、角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若点G为上一点，过点G作交于点P，交于点H，试猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再求出的度数，即可求出的度数； （2）根据三角形外角的性质得出的关系，再证得与、的关系，从而得出三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在三角形中，于点． (1)猜想和位置关系，并说明理由。 (2)若平分平分交于点，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2) 【分析】（1）根据可得，利用平行线的性质结合等量代换可推出，即可求解； （2）根据角平分线的定义可分别求出，再由三角形的外角定理即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）解：由（1）得 ∵平分 ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ 【点睛】本题综合考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角等知识点．熟记相关知识点进行几何推理是解题关键． 【题型2】（2023八年级·安徽阜阳·期中）在中，，点D、E分别是边上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），令，．    (1)若点P在边上，如图（1）所示，且，则______； (2)若点P在的外部，如图（2）所示，则之间有何关系？说明理由． (3)若点P在边的延长线上运动，直接写出之间关系． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】此题考查了三角形外角的性质和几何图形中的角度计算，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）利用四边形内角和和三角形外角定理进行解答即可； （2）根据三角形外角的性质即可得到答案； （3）分两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）根据三角形外角的性质可知， ， 则； （3）如图1，    ①∵，， ∴， 则； 如图2，    ②∵， ∴． 【题型3】（2023八年级·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以直角三角形为背景探究角之间的数量关系． 已知，在中，，过点B作，交的角平分线所在直线于点E．设的度数为．    初步探究： (1)如图1，当时，点E在线段的延长线上．“勤学”小组对这种情形进行了分析，提出如下问题，请你解答： ①当时，求的度数； ②用含的代数式表示的度数为______； 拓展延伸： (2)“智慧”小组借助图2进一步探究当时，与之间的数量关系，请你补全图形并直接写出这个结论． 【答案】(1)①；② (2)补全的图形见解析；， 【分析】本题考查了余角的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质． （1）①利用互余关系得，再利用三角形外角的性质即可求得结果； ②利用互余关系得，再利用三角形外角的性质即可求得结果； （2）利用互余关系得，再利用三角形外角的性质即可求得与之间的数量关系． 【详解】（1）解：①∵， 即， ∴； ∵平分， ∴； ∴； ②∵， 即， ∴； ∵平分， ∴； ∴； 故答案为：； （2）解：补全的图形如下：    ∵， 即， ∴； ∵平分， ∴； ∴ 模块四 课后作业 1．（2023八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，为延长线上一点，于，，，则的度数为（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据△ADE中三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据△ABC中三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】∵CE⊥AF于E，∴∠AED＝90°， ∵∠D＝20°， ∴∠A＝180°−∠AED−∠D＝180°−90°−20°＝70°， ∵ ∴＝180°−∠A−∠C＝180°−70°−40°＝70°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理d的性质，解答此题的关键是熟知三角形的内角和为180°. 2．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在ACE中，点D在AC边上，点B在CE延长线上，连接BD，若∠A＝47°，∠B＝55°，∠C＝43°，则∠DFE的度数是（    ） A．125° B．45° C．135° D．145° 【答案】D 【分析】利用三角形内角和定理求出∠AEC，再求出∠EFB可得结论． 【详解】解：∵∠A+∠C+∠AEC＝180°， ∴∠AEC＝180°﹣47°﹣43°＝90°， ∴∠FEB＝90°， ∴∠EFB＝90°﹣∠B＝35°， ∴∠DFE＝180°﹣35°＝145°， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理，属于中考常考题型． 3．（2023·河北保定·八年级期末）如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点B作射线交边于点E，则的度数可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角的性质，先根据外角的性质，求出的度数，再根据，得到的范围，即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵过点B作射线交边于点E， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 即：； 故符合题意的只有选项B； 故选B． 4．（2023·河北石家庄·八年级期末）将两张三角形纸片 和按如图1位置放置，点D、C分别在的延长线上， 记； 沿虚线将剪掉一部分得到图2的， 记， 则正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较α与β的大小 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，，则，整理作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，即， 故选：B． 5．（2023八年级·山东青岛·期末）如图，C是内一点，连接，的平分线与的平分线交于点E，延长交于点F．已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先延长交于F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交于F，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， 即． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的定义和等量代换是解决问题的关键． 6．（2023八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线．若，则 ．（用含有n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质．设，则，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，可用含的代数式表示出的度数，在，用含的代数式表示出的度数，再结合可求出的度数． 【详解】解：，设，则， ． 平分， ， 在，， ． 故答案为：． 7．（2023八年级·广东佛山·期末）一个零件的形状如图所示，按规定应等于，与的度数分别是和，牛叔叔量得，请你帮助牛叔叔判断该零件 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 延长交于点，由三角形的外角性质可得，再次利用三角形的外角性质求得，则与规定的度数一致，即可判断． 【详解】解：延长交于点，如图， 是的外角，，， ， 是的外角，， ， 该零件合格． 故答案为：合格． 8．（2023八年级·广东茂名·期中）如图，在中，，点D在上，于点交与点F．若，则 ． 【答案】/42度 【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，等角的余角相等是解题的关键；利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB，从而可求得∠EDF； 【详解】 ， ， 故答案为：； 9．（2023八年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图所示，在中，，，将其沿折叠，使点A落在边上的处，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查直三角形两锐角互余及翻转折叠有全等，先求出，再根据折叠性质即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， 由翻折的性质可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（2023八年级·浙江温州·期中）如图1为一种可折叠阅读书架，支架可以绕点O旋转，置书面可以绕点C转动调节．首先调节，使，如图2所示，此时；再将绕O点顺时针旋转至，使 ，且，此时比大，则 度． 【答案】69 【分析】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质，关键是由三角形外角的性质列出关于、的方程组． 延长交于，延长交延长线于，由平行线的性质推出 ，由三角形外角的性质得到，求出的值，即可得到． 【详解】解：延长交于，延长交延长线于， 设， ∵， ∴， ∵比大， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴①， ∵， ∴， ∵， ∴②， 由①②解得：， ， 故答案为：69． 11．（2023八年级·宁夏中卫·期中）如图，在中，，，是的一条角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查三角形角平分线的性质，三角形内角和定理，根据角平分线的性质求出的度数，利用三角形内角和即可求解．熟记各角度的运算方法是解题的关键． 【详解】解：∵是的一条角平分线， ∴， ∵，， ∴． 12．（2023八年级·四川内江·期中）如图，中，D、E分别是边上的点，平分，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的外角，根据三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，即可得出结论，正确地找到角的关系是解本题的关键． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 13．（2023八年级·江苏南京·八年级期末）如图，，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．设，根据外角性质依次得出、、、，由可得关于的方程，解之即可得． 【详解】解：设， 则， ， ， ，且， ， 解得：， ． 14．（2023·广东中山·八年级期末）如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点P表示某市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬，某市的纬度是北纬，而冬至正午时，太阳光直射南回归线(光线的延长线经过地心O)，求某市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角α的度数 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键． 设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】如图，设与交于点K，    ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴． 15．（2023八年级·江苏淮安·期中）【结论发现】 小明发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数； ②直接写出与的数量关系． 【答案】（1）20；（2）；（3）①；② 【分析】（1）设，由角平分线定义得，，，由三角形外角定理得，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，交于，延长，交于，先求出，，再根据，得，则，由此可得的度数； ②由①可知，，，则，据此可得与的数量关系． 【详解】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：20． （2）和是邻补角， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）①延长，交于，延长，交于，如下图所示： ，， 即， 同理：， ，， ， 由（1）可知：， ； ②由①可知：，，， ， ． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$