第07讲 由AAS、HL证明三角形全等-2024年暑假八年级数学上册自学课系列（人教版）

第07讲 由AAS、HL证明三角形全等 【人教版】 ·模块一 “角角边” 判定三角形全等 ·模块二 由HL证明三角形全等 ·模块三 课后作业 模块一 “角角边” 判定三角形全等 全等三角形的判定 角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 【考点1 “角角边”判定三角形全等】 【例1.1】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，，要依据“”判定，则还需要添加的条件是 ．    【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟记判定三角形全等是解本题的关键，本题添加即可． 【详解】解：∵，， ∴添加， ∴； 故答案为：． 【例1.2】（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是 cm． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，将实际生活与全等三角形的知识结合是解题关键． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴ ∴ ∵支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是， ∴小明离地面的高度是： 故答案为： 【例1.3】（2023八年级·山东淄博·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为 ． 【答案】5 【分析】如图，作辅助线；首先证明，得到，；其次证明，求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点； ， ， ； 由题意得：； 在与中， ， ， ，； 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 故答案为5． 【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造全等三角形；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答. 【变式1.1】（2023八年级·甘肃·期中）如图，已知的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是 . 【答案】乙丙. 【分析】甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等． 【详解】由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等， 乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等， 丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等， 根据全等三角形的判定得，乙丙正确. 故答案为乙丙. 【点睛】此题考查三角形全等的判定方法，解题关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 【变式1.2】（2023八年级·福建龙岩·期中）如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则 ．    【答案】4 【分析】根据平行线的性质和线段中点，证明，得到，再根据，即可求出的长． 【详解】解：， ，， 点为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【变式1.3】（2023八年级·河北邢台·期中）在一次数学活动中，为了测一堵墙上点的高度，嘉淇设计了如下方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得 °，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量地面上线段 的长度，即为点的高度． 若测得，，直杆下滑的高度 m． 【答案】 【分析】测一堵墙上点的高度，可构造，则，即的长度就是点的高度，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，，，通过构造直角三角形与直角三角形全等， ∴， ∵利用“角角边”构造， ∴， ∴测量的长即为墙上点的高度， ∵， ∴m，m，， ∴m． 【点睛】本题主要考查全等三角形性质的应用，构造三角形全等是解题的关键． 【考点2 “角角边”证明三角形全等】 【例2.1】（2023八年级·四川成都·期中）如图，点、在上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)∠D的度数是 【分析】（1）由，推导出，由，证明，即可根据“”证明； （2）由，，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，，求得． 此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ，， ， ， 的度数是． 【例2.2】（2023·江苏无锡·八年级·期末）如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ∵， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ． 【例2.3】（2023八年级·陕西西安·期末）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度．    【答案】博智楼的高度是18米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据，得出，，结合角的等量代换得出，即可证明，然后进行边的运算，即可作答． 【详解】解：由题意，得． ∵，， ∴． 在与中， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即． 答：博智楼的高度是18米． 【变式2.1】（2023八年级·浙江湖州·期末）如图，已知，，．求证： ．    【答案】见解析 【分析】利用，证明 即可． 【详解】∵， ∴， 即， 又∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理，是解题的关键． 【变式2.2】（2023八年级·云南普洱·期末）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， 的长为5． 【变式2.3】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若＝16,求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了根据三角形的中线求线段长度、全等三角形综合,根据条件写全步骤是解决本题的关键． （1）中线可得，通过两个垂直可以判断两个角都为，还有对顶角,通过即可证明两个三角形全等,进而得证． （2）通过观察可发现根据（1）中的全等可拆分为，从而得出答案． 【详解】（1）证明：是的边上的中线， ， ， ．    在和中, ， ， ． （2）由（1）知， ， ， ， ， ∴． 故． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，已知在中，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了平行线性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，根据两直线平行同位角相等，得到，结合题意以及三角形内角和可得，利用证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【题型2】（2023八年级·湖北十堰·期末）已知：如图，，．    (1)若中，，为上的一点，与相交于点F，求证：． (2)若中，，在的延长线上，交的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，找出角度之间的关系是解题的关键． （1）求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）作出图形，与（1）的证明思路相同进行证明即可． 【详解】（1）解：证明： ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ； （2）明：结论成立． 证明如下：如图，      ， ， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【题型3】（2023八年级·湖北武汉·期中）如图所示，中，，，，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作于点D，于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 【答案】或7或10 【分析】分，，以及四种情况进行讨论，利用全等三角形的判定，进行求解即可． 【详解】解：∵，， 从运动到需要：，从运动到需要：， ∴运动的总时间为：， 从运动到需要：，从运动到需要：， ∴运动的总时间为：， ∴当时：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时： ， 即：， ∴（不合题意，舍去）； 当：时，，， 当重合时，，即：，， ∴，解得：； 当：时，，， ∵，， ∴当时： ， 即：，解得：； 当：时，，， ∵，， ∴当时： ， 即：，解得：； 综上：当的值为或7或10． 故答案为：或7或10． 【点睛】本题考查全等三角形中的动点问题．熟练掌握全等三角形的判定，根据动点的位置，进行分类讨论，是解题的关键． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·四川广安·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，A表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从A处摆动到B处，此时过点B作于点D，当小球摆动到C处时，与恰好垂直，过点C作于点E．试说明（图中的点在同一平面内）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用证明，可得结论． 【详解】解：∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 【题型2】（2023八年级·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 在与， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型3】（2023八年级·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．） 【答案】(1)全等，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 由题意可知，， ， ∴． ∴． 在和中， ， ∴. （2）解：∵， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴． 答：爸爸是在距离地面的地方接住张华的． 模块二 由HL证明三角形全等 全等三角形的判定： 斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【考点1 由HL判定三角形全等】 【例1.1】（2023八年级·甘肃兰州·期中）如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是直角三角形的全等的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）． 直接根据直角三角形的全等的判定方法可得答案． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：B． 【例1.2】（2023八年级·河北沧州·期中）图1是，图2是嘉琪在已有的情况下，所画的的部分过程，则依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂作图的步骤及作图原理可得到答案． 【详解】解：根据作图过程和步骤可知依据是， 故选：D 【例1.3】（2023八年级·山西太原·期中）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，先根据证明得，进而可求出的度数． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【变式1.1】（2023八年级·湖南郴州·期末）如图，点D在上，．若，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式1.2】（2023八年级·湖北武汉·期末）如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为 cm 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先连接，再根据“”证明，然后根据全等三角形的性质得出答案． 【详解】连接． 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式1.3】（2023八年级·江西赣州·期中）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用证明得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点2 由HL证明三角形全等】 【例2.1】（2023八年级·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程． 证明： ，， __________． 是的中点， __________， 又， __________． ． 【答案】，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明，得出即可．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：，， 是的中点， 又， ． 【例2.2】（2023八年级·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，    (1)求证：； (2)若，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理： （1）先证，再证即可； （2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明： ，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 【例2.3】（2023八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明． 【详解】证明：∵与分别为，边上的中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式2.1】（2023八年级·陕西渭南·期末）如图，在和中，，判断和是否全等． 解：在和中， ∴． 上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因． 【答案】不正确，错误原因见解析． 【分析】根据直角三角形全等的判定定理判定． 【详解】解：不正确，错误原因如下： ∵在中是斜边，在中是直角边， ∴不满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等的条件， ∴解答过程不正确． 【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【变式2.2】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图所示，为了固定电线杆，将两根长均为的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚离电线杆底部的距离相等吗？为什么？    【答案】相等，见解析 【分析】根据直角三角形全等的判定方法即可得． 【详解】相等．理由如下： 解：， ， 在和中，， ． ， 即两个针离电线杆底部的距离相等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定． 【变式2.3】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，于，，．求证：；．      【答案】详见解析 【分析】过点向作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论． 【详解】如图，过点作与点，则， ，， ， ，， ，， ， ，， ∵， ， ．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·河北张家口·期末）如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）)先根据垂直的定义可得和都是直角三角形，再利用定理证明三角形全等即可；    （2）根据证明，得到再利用直角三角形的两锐角互余得出． 【详解】（1）， ． 又，， ； （2）为中点， ． ，， ，   ． 由（1）得， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键 【题型2】（2023八年级·广东佛山·期末）如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ． 【答案】PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）． 【分析】连接OP，证明Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），△APM≌△PBN（ASA），再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．从中选择边和角不同的结论即可． ∵AN⊥OB，BM⊥OA， ∴在Rt△OPM与Rt△OPN中 ， ∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL）， ∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM， 在△APM与△PBN中 ， ∴△APM≌△PBN（ASA）， ∴BN=AM， ∵OA=AM+OM，OB=BN+ON， ∴OA=OB． 故答案为：PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【题型3】（2023八年级·山东德州·期中）如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是 ． 【答案】①② 【分析】证，可得，，再根据即可求得，即可解题． 【详解】解：在和中， ， ， ，①正确， ∴， ， ， ，②正确， 和中，只有一个条件，再没有其余条件可以证明 ，故③④错误； 故答案是：①②． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·河北保定·期中）题目：“如图，，，，点，分别在，上，且．当为何值时，与全等．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解答本题的关键． 根据已知条件，得到，，，要使两个直角三角形全等还需要一条直角边对应相等即可，分析得到或时，． 【详解】解：如图所示，    ，，， ， 在和中， ， 如图所示，    ，，， ， 在和中， ， ， 综上，或时，， 故选：． 【题型2】（2023八年级·江苏苏州·期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【答案】②③④ 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本说法错误； ②若第3轮甲添加， 如图，当，时，以为圆心，为半径画弧，与射线相交于点， ， 此时交点C是唯一的， 故甲添加时，与全等， 故甲获胜，故本说法正确； ③若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜， 若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，故本说法正确； ④若第2轮乙添加条件修改为， 第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜； 甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定与全等， 第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜； 乙若添加一组角相等，满足角角边（或角边角），能判定与全等，则甲获胜， 此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确． 故答案为：②③④ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【题型3】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，直线交于点，于点，于点，若，且，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余，证明得到，计算出，最后根据直角三角形两锐角互余进行计算即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 模块三 课后作业 1．（2023八年级·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 2．（2023八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，则图中相等的线段有（   ）    A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据全等三角形的性质直接可得，，，进而得出，然后证明得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，即， ∵ ∴，，又， ∴ ∴ ∴共有对相等的线段， 故选：D． 3．（2023八年级·天津西青·期中）如图，，，垂足分别为点A，B，．根据这些条件不能推出的结论是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据，就可以肯定答案A可以推出，再由条件可以得到，就可以推出与，而平分无法得到论证． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案A可以推出． 又∵在与中， ，， ∴， ∴，， ∴答案B、D均可以推出． ∴只有C无法推出， 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，以及全等三角形的性质，用排除法解决选择题是常用的方法，也是解决本题的关键． 4．（2023八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，高交于点交于点F，则图中共有全等三角形（） A．7对 B．6对 C．5对 D．4对 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意得等腰三角形，利用等腰三角形的判定逐个判断图中包含的全等三角形即可． 【详解】解：∵，分别是三角形的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则， ∵， ∴， 在和中 ∴， 同理还有；；；；，总共7对． 故选∶A． 5．（2023八年级·安徽·专题练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易证Rt△ABC≌Rt△DEF，从而可得，再利用直角三角形两锐角互余即可得正确结论． 【详解】∵ 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴ ∴ 又∵在中, ∴ 故选：D 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质在实际问题中的应用，问题简单． 6．（2023八年级·江苏常州·期末）如图，在和中，，，．若，则 °． 【答案】55 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 故答案为：55． 7．（2023八年级·河南新乡·期中）如图，两个小朋友在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高．当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，通过证明，得到，由平行线间间距相等可得则． 【详解】解：如图所示，为长板，点O为中点，为水平底面， 分别过A和D作水平底面的垂线，垂足分别为E、B，过点O作，分别交于C、D， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由平行线间间距相等可得， ∴， ∴当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为， 故答案为：． 8．（2023八年级·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ． 【答案】6 【分析】本题属于全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 证明≌，推出与面积相等，可得结论． 【详解】解：在等腰三角形中，，， 与等高，底边比值为， 与的面积比为． 的面积为， 与的面积分别为和， ， ． ，，， ， ． 在和中， ， ， 与面积相等， 与的面积之和为的面积， 与的面积之和为． 故答案为：． 9．（2023八年级·山东济宁·期末）在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解： 和是由摆动得到， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 10．（2023八年级·河北保定·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的数量关系是 ．    【答案】 【分析】由条件信息可得，与均是直角三角形，由已知可根据判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解． 【详解】解：，证明如下： 由题意可得：与均是直角三角形，且． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键． 11．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在与中，点，在线段上，，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．由“”可证，可得结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 12．（2023·云南·模拟预测）如图，D是内部的一点，，过点D作，，垂足分别为E，F，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．根据可证明，再由全等三角形的性质可得结论． 【详解】证明：，， ． 在和中， ， ， ． 13．（2023八年级·辽宁沈阳·期中）某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一条直线上，测得垂直于地面的大树顶端A的视线与居民楼顶墙E的视线的夹角，若米，米，请计算出该居民楼的高度．    【答案】25米 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先根据以及可以推出，从而得到，进而计算出即可． 【详解】解：由题意可知：， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 又米，米， 米， 米， 答：该居民楼的高度为25米． 14．（2023八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于． (1)当时， ， ； (2)当等于多少时，，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强． （）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题； （）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，，理由如下： ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． 15．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，且，，，垂足分别为E、F．      (1)求证：； (2)在图2中，连接交BC于点G，请直接写出图中所有相等的线段（不包括的对应线段） 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决问题的关键． （1）由，，得出，再由，得出结论； （2）由（1）得，容易得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴； （2）解：，，，，理由如下： ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ，， ，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 由AAS、HL证明三角形全等 【人教版】 ·模块一 “角角边” 判定三角形全等 ·模块二 由HL证明三角形全等 ·模块三 课后作业 模块一 “角角边” 判定三角形全等 全等三角形的判定 角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 【考点1 “角角边”判定三角形全等】 【例1.1】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，，要依据“”判定，则还需要添加的条件是 ．    【例1.2】（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是 cm． 【例1.3】（2023八年级·山东淄博·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为 ． 【变式1.1】（2023八年级·甘肃·期中）如图，已知的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是 . 【变式1.2】（2023八年级·福建龙岩·期中）如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则 ．    【变式1.3】（2023八年级·河北邢台·期中）在一次数学活动中，为了测一堵墙上点的高度，嘉淇设计了如下方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得 °，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量地面上线段 的长度，即为点的高度． 若测得，，直杆下滑的高度 m． 【考点2 “角角边”证明三角形全等】 【例2.1】（2023八年级·四川成都·期中）如图，点、在上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【例2.2】（2023·江苏无锡·八年级·期末）如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【例2.3】（2023八年级·陕西西安·期末）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度．    【变式2.1】（2023八年级·浙江湖州·期末）如图，已知，，．求证： ．    【变式2.2】（2023八年级·云南普洱·期末）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2.3】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若＝16,求的长． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，已知在中，，，，．求证：． 【题型2】（2023八年级·湖北十堰·期末）已知：如图，，．    (1)若中，，为上的一点，与相交于点F，求证：． (2)若中，，在的延长线上，交的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由． 【题型3】（2023八年级·湖北武汉·期中）如图所示，中，，，，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作于点D，于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·四川广安·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，A表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从A处摆动到B处，此时过点B作于点D，当小球摆动到C处时，与恰好垂直，过点C作于点E．试说明（图中的点在同一平面内）． 【题型2】（2023八年级·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ． 【题型3】（2023八年级·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．） 模块二 由HL证明三角形全等 全等三角形的判定： 斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【考点1 由HL判定三角形全等】 【例1.1】（2023八年级·甘肃兰州·期中）如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 【例1.2】（2023八年级·河北沧州·期中）图1是，图2是嘉琪在已有的情况下，所画的的部分过程，则依据是（    ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023八年级·山西太原·期中）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023八年级·湖南郴州·期末）如图，点D在上，．若，则 ． 【变式1.2】（2023八年级·湖北武汉·期末）如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为 cm 【变式1.3】（2023八年级·江西赣州·期中）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则 ． 【考点2 由HL证明三角形全等】 【例2.1】（2023八年级·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程． 证明： ，， __________． 是的中点， __________， 又， __________． ． 【例2.2】（2023八年级·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，    (1)求证：； (2)若，求的度数 【例2.3】（2023八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 【变式2.1】（2023八年级·陕西渭南·期末）如图，在和中，，判断和是否全等． 解：在和中， ∴． 上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因． 【变式2.2】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图所示，为了固定电线杆，将两根长均为的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚离电线杆底部的距离相等吗？为什么？    【变式2.3】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，于，，．求证：；．      【规律方法综合练】 【题型1】（2023八年级·河北张家口·期末）如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：    (1)； (2)． 【题型2】（2023八年级·广东佛山·期末）如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ． 【题型3】（2023八年级·山东德州·期中）如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是 ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023八年级·河北保定·期中）题目：“如图，，，，点，分别在，上，且．当为何值时，与全等．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【题型2】（2023八年级·江苏苏州·期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【题型3】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，直线交于点，于点，于点，若，且，则的度数为 ． 模块三 课后作业 1．（2023八年级·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 2．（2023八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，则图中相等的线段有（   ）    A．对 B．对 C．对 D．对 3．（2023八年级·天津西青·期中）如图，，，垂足分别为点A，B，．根据这些条件不能推出的结论是（    ） A． B． C．平分 D． 4．（2023八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，高交于点交于点F，则图中共有全等三角形（） A．7对 B．6对 C．5对 D．4对 5．（2023八年级·安徽·专题练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小间的关系是（　　） A． B． C． D． 6．（2023八年级·江苏常州·期末）如图，在和中，，，．若，则 °． 7．（2023八年级·河南新乡·期中）如图，两个小朋友在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高．当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为 ． 8．（2023八年级·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ． 9．（2023八年级·山东济宁·期末）在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 10．（2023八年级·河北保定·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的数量关系是 ．    11．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在与中，点，在线段上，，，，求证：．    12．（2023·云南·模拟预测）如图，D是内部的一点，，过点D作，，垂足分别为E，F，且．求证：． 13．（2023八年级·辽宁沈阳·期中）某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一条直线上，测得垂直于地面的大树顶端A的视线与居民楼顶墙E的视线的夹角，若米，米，请计算出该居民楼的高度．    14．（2023八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于． (1)当时， ， ； (2)当等于多少时，，请说明理由． 15．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，且，，，垂足分别为E、F．      (1)求证：； (2)在图2中，连接交BC于点G，请直接写出图中所有相等的线段（不包括的对应线段） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$