衔接作业(2)与三角形有关的角-【金牌题库】2024年七年级数学暑假作业（人教版）

衔接作业(2) 　 与三角形有关的角 知识点一　 三角形内角和定理 1. 定理 (1) 文字叙述: 三角形三个内角的和等 于 180°. (2) 数学语言:在△ABC 中,∠A+∠B+∠C =180°. 2. 利用“平行线的性质”证明三角形的内角 和定理的典例 证明思路 运用平行线的性质,将三个内角“转移”集中到一 个顶点处,合并成一个平角 推 理 过 程 方法 1 如图①所示,过点 A 作 EF∥BC. 因为 EF∥BC,所以∠1 = ∠B,∠2 = ∠C. 又因为∠1+∠BAC+∠2 = 180°, 所以∠B+∠BAC+∠C= 180° 方法 2 如图②所示,延长 BC 到点 E,过点 C 作 CD∥AB. 因为 CD∥AB,所以∠1 = ∠A,∠2 = ∠B. 又因为∠1+∠2+∠ACB= 180°, 所以∠A+∠B+∠ACB= 180° 方法 3 如图③所示,在 BC 边上任取一点 D,作 DE∥AB, 交 AC 于点 E,作 DF∥AC,交 AB 于点 F. 因为 DF∥AC,所以∠1 = ∠C,∠2 = ∠DEC. 因为 DE∥AB,所以∠3 = ∠B,∠DEC= ∠A. 所以∠A= ∠2. 又因为∠1+∠2+∠3 = 180°, 所以∠A+∠B+∠C= 180° 方法 4 如图④所示,过点 B 作 BD∥AC. 因为 BD∥AC,所以∠2 = ∠A,∠DBC+∠C= 180°. 因为∠DBC= ∠1+∠2. 所以∠1+∠2+∠C= 180°, 即∠A+∠ABC+∠C= 180° 方法 5 如图⑤所示,过点 A 任作直线 l1 ,过点 B 作 l2∥l1 , 过点 C 作 l3∥l1 ,所以 l2∥l3 , 因为 l3∥l1 ,所以∠1 = ∠2. 同理,∠3 = ∠4. 又因为 l2∥l1 , 所以∠5+∠1+∠6+∠4 = 180°. 所以∠5+∠2+∠6+∠3 = 180°. 又因为∠2+∠3 = ∠ACB, 所以∠BAC+∠ABC+∠ACB= 180° 　 ①　 　 　 　 　 　 　 ②　 　 　 　 　 　 　 　 　 ③ 　 　 　 　 　 　 　 ④　 　 　 　 　 　 　 　 　 ⑤ 例 1:在△ABC 中,∠B = 3∠A,∠C = 5∠A. 求∠A,∠B,∠C 的度数. 解:设∠A= x°,则∠B= 3x°,∠C= 5x°. 根据三角形内角和定理, 得 x+3x+5x= 180,解得 x= 20. 所以∠A= 20°,∠B= 60°,∠C= 100°. 知识点二　 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形可以用符 号“Rt△”表示. 2. 直角三角形的性质与 判定 如图所示,在 Rt△ABC 中,直角所对的边 AB 叫做斜边,夹直角的两条边 AC 和 BC 叫做直 角边. (1)直角三角形的性质:直角三角形的两个 锐角互余. (2)直角三角形的判定:有两个角互余的三 角形是直角三角形. 例 2:如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠ACD=∠B. 求证: △CDB 是直角三 角形. 分析:要证△CDB 是直角三角形,可证明 ∠B+ ∠DCB = 90°. 在△ABC 中,已知∠ACB = 90°,∠ACD= ∠B,等量代换可证△CDB 是直角 三角形. 证明: ∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠ACD + ∠DCB = 90°. ∵ ∠ACD= ∠B,∴ ∠B+∠DCB= 90°. ∴ △CDB 是直角三角形. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 25 知识点三　 三角形的外角 1. 三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的 角,叫做三角形的外角. 提示: (1)三角形的外角和与它相邻的内 角互为邻补角. (2)三角形的每一个顶点处都有且只有两 个外角,这两个外角是对顶角,一个三角形共有 六个外角. 一个三角形的内角的对顶角不是这 个三角形的外角,如图①所示,∠ACD 与∠BCE 都是△ABC 的外角,它们互为对顶角. 图① 2. 外角的性质(三角 形内角和定理的推论) (1)三角形的外角等 于与它不相邻的两个内角 的和,如图①所示,∠ACD = ∠A+∠B. (2)三角形内角和定理的另一个推论:三角 形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 3. 三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角,三个 不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和. 三角形的外角和为 360°. 例 3:证明“三角形的外 角和等于 360°” . 如 图 所 示, ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD 是 △ABC 的 三个外角. 求证:∠BAE+∠CBF+∠ACD= 360°. 证法 1:∵ 　 , ∴ ∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3 = 180°×3 = 540°. ∴ ∠BAE+∠CBF+∠ACD= 540°-(∠1+∠2 +∠3) . ∵ 　 , ∴ ∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°. 请把证法 1 补充完整,并写出不同的证明 方法. 解:证法 1: ∠BAE + ∠1 = ∠CBF + ∠2 = ∠ACD+∠3 = 180°　 ∠1+∠2+∠3 = 180° 证法 2:如图所示,过点 A 作射线 AP,使 AP∥BD. ∵ AP∥BD, ∴ ∠CBF = ∠PAB,∠ACD= ∠EAP. ∴ ∠BAE+∠CBF+∠ACD= ∠BAE+∠PAB+ ∠EAP= 360°. 一、选择题。 1. 已知等腰三角形的一个角为 75°,则其顶角为 (　 　 ) A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或 75° 2. 如图,∠ACD = 120°,∠B = 20°,则∠A 的度数 是 (　 　 ) A. 120° B. 90° C. 100° D. 30° 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. (达州最新中考题)如图,AE∥CD,AC 平分 ∠BCD,∠2 = 35°,∠D= 60°,则∠B= (　 　 ) A. 52° B. 50° C. 45° D. 25° 4. 如图,在△ABC 中,∠BAC = x°,∠B = 2x°,∠C = 3x°,则∠BAD= (　 　 ) A. 145° B. 150° C. 155° D. 160° 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,沿 CD 折叠 △CBD,使点 B 恰好落在边 AC 上点 E 处,若 ∠B= 65°,则∠ADE 的大小为 (　 　 ) A. 40° B. 50° C. 65° D. 75° 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 35 二、填空题。 1. 如图,已知点 P 是射线 ON 上一动点(即 P 可 在射线 ON 上运动),∠AON = 30°,当∠A = 　 　 　 　 　 时,△AOP 为直角三角形. 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,已知∠1 = 27°,∠2 = 83°,∠3 = 47°,则 ∠B= 　 　 　 　 . 3. 如图,在△ABC 中,∠B = 40°,△ABC 的外角 ∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E,则∠AEC = 　 　 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,∠A= 50°,∠ABO = 28°,∠ACO = 32°,则 ∠BDC= 　 　 　 　 　 °,∠BOC= 　 　 　 　 　 °. 5. 将一副三角板按如图所示方式叠放,则图中 ∠α 的度数为　 　 　 　 　 . 三、解答题。 1. 如图,在△ABC 中,∠ABC= 82°,∠C= 58°,BD ⊥AC 于 D,AE 平分∠CAB,BD 与 AE 交于点 F,求∠AFB 的度数. 2. 如图,在△ABC 中,∠B = ∠C = 45°,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AC 边上,连接 DE,且∠ADE = ∠AED. (1)当∠BAD= 60°时,求∠CDE 的度数; (2)当点 D 在 BC(点 B,C 除外)边上运动时, 试写出∠BAD 与∠CDE 的数量关系,并 说明理由. 1. (东营最新中考题)如图,AB∥CD,点 E 在线 段 BC 上(不与点 B, C 重合), 连接 DE, 若∠D = 40°, ∠BED = 60°,则∠B= (　 　 ) A. 10° B. 20° C. 40° D. 60° 2. (遂宁最新中考题)若三角形三个内角的比为 1􀏑2􀏑3,则这个三角形按角分类是　 　 　 　 三 角形. 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 45 三、(1)C　 (2)15,图略 (3)800×15 +5 50 = 320(人) 　 答:八年级学生暑期课外阅读数 量达到 2 本及以上的学生约为 320 人. (4)本次调查大部分同学一周暑期课外阅读数量达不到 3 本,建议同学们多阅读,培养热爱读书的良好习惯(答案不 唯一) . 中考连接 　 解:(1)此次调查的总人数是 24÷24% = 100 人,所以选项 A 中 的学生人数是 100-56-24-12 = 8(人);(2)360°× 12 100 = 43. 2°, 选项 D 所对应的扇形圆心角的大小为 43. 2°;( 3) 15 000 × 8+56 100 = 9 600;所以估算该县“每天完成书面作业的时间不超 过 90 分钟”的初中学生约有 9 600 人;(4)我的作业时间属于 B 选项,建议布置的作业应该精简量少. (答案不唯一,合理 即可) . P43-45 一、1. A　 2. C　 3. C　 4. D　 5. B　 6. C 二、1. 4　 2. 23　 3. 3 或 4　 4. 1　 2　 -1　 5. (8,3)　 (7,4) 6. ( -5,-4) 三、1. 错误的是①②⑤　 x≥-5 2. (1)解: 2α+β= 80°① 3α-β= 20°②{ ,①+②得 5α = 100°,∴ α = 20°,把 α = 20°代入①得,2×20°+β= 80°,∴ β = 40°,∴ α= 20° β= 40°{ ;(2)证 明:∵ ∠1 = ∠2,∴ AC∥ED,∴ ∠4 = ∠5 = 40°,∵ ∠3 = 40°, ∴ ∠3 = ∠5,∴ AB∥HG. 3. 解:(1)18　 3　 7. 5% 　 5% 　 (2)图略　 (3)600×18 +9+3 40 = 600× 3 4 = 450(户) . 答:估计该居民小区家庭属于中等支 出的大约有 450 户. 4. 设每头牛值金 x 两,每只羊值金 y 两. 5x+2y= 10, 2x+5y= 8,{ 　 解得 x= 34 21 , y= 20 21 . ì î í ï ï ïï 5. (1)点 A 的坐标为( -2,6)　 (2)12　 (3)OD 与 OE 相等　 理由略 6. (1)设 1 辆大货车一次可以运货 x 吨,1 辆小货车一次可 以运货 y 吨. 3x+4y= 18, 2x+6y= 17,{ 　 解得 x= 4, y= 1. 5.{ (2)大货车 8 辆,小货车 2 辆时花费最少. P46-48 一、1. C　 2. B　 3. D　 4. A　 5. A　 6. C 二、1. a= 1,b= -2. 　 2. - 6 +2π 3. ( -3,0)　 4. 16　 5. 110　 6. 8 三、1. x= 2 y= 1{ 　 2. x 可取的整数值是 3,4. 3. (1)P 的坐标为(0,6)　 (2)m= 7,n>-1 4. 解:(1)设甲种电子产品的销售单价是 x 元,乙种电子产 品的单价为 y 元. 根据题意得 2x= 3y, 3x-2y= 1 500,{ 解得 x= 900, y= 600.{ 答:甲种电子产品的销售单价是 900 元,乙种电子产品的单 价为 600 元. (2)设销售甲种电子产品 a 万件,则销售乙种电子产品(8- a)万件. 根据题意得 900a+ 600(8-a) ≥5 400. 解得 a≥2. 答:至少销售甲种电子产品 2 万件. 5. (1)B 表示的数为 10-18 = -8,点 P 表示的数为 10-5t. (2)①18÷(5-3) = 9(秒). 　 故点 P 运动 9 秒时能追上点 Q. ②相遇前相距 4 个单位长度,(18-4) ÷(5-3) = 7(秒),10- 7×5 = -25,则点 P 表示的数为-25;相遇后相距 4 个单位长 度,(18+4) ÷(5-3) = 11(秒),10-11×5 = -45. 则点 P 表示 的数为-45. (3)存在.设 t 秒后 2QR+3OP- mOR 为定值,由题意得 2QR + 3OP- mOR =2×[(7t +8)-3t]+3(10 +5t)-7mt=(23-7m)t+46, 故当 m= 23 7 时,2QR +3OP-mOR 为定值 46. 6. 解:(1)150　 27　 (2)144　 4　 (3)C 组学生人数为 150× 30% = 45(名),图略　 (4)80 分以上的学生为 D 族和 E 组, 一共占比为 40%+4% = 44%,∴ 1 500×44% = 660(名),∴ 估 计成绩 80 分以上的学生人数有 660 名. P51 一、1. C　 2. D　 3. B　 4. C　 5. B 二、1. 7 或 9　 2. 8 cm 三、1. AB= 4,BC= 5,AC= 3 或 AB= 3,BC= 5,AC= 4. 2. 解:(1)AB　 DC　 (2)∵ 边 DE 上的高为 AB,边 AE 上的高 为 DC,∴ 1 2 ×AE×CD = 1 2 ×DE×AB,∵ AE = 5,ED = 2,CD = 9 5 ,∴ 1 2 ×5× 9 5 = 1 2 ×2×AB,∴ AB= 4. 5. 中考连接　 三角形具有稳定性 P53-54 一、1. D　 2. C　 3. B　 4. B　 5. A 二、1. 60°或 90°　 2. 23°　 3. 70°　 4. 78°　 110°　 5. 15° 三、1. 解:∵ ∠CAB = 180° - ∠ABC- ∠C,而∠ABC = 82°,∠C = 58°,∴ ∠CAB= 40°,∵ AE 平分∠CAB,∴ ∠DAF = 20°,∵ BD ⊥AC,∴ ∠ADB = 90°,∴ ∠AFB = ∠ADB+∠DAF = 90° + 20° = 110°. 2. (1)∠CDE= 30°　 (2)∠CDE= 1 2 ∠BAD　 理由略 中考连接　 1. B　 2. 直角 P56 一、1. B　 2. B　 3. B　 4. C　 5. A 二、1. 800°　 2. 5　 3. 正十边形 三、1. 解:设正多边形的边数是 n,由题意得:(n-2) ×180° = 360° ×3+180°,∴ n= 9,∴ 正多边形的每个内角的度数是 180° - 360°÷9 = 140°,答:这个正多边形的边数是 9,每个内角的度 数是 140°. 2. (1)∠1+∠2 = ∠3+∠4 (2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个 内角的和 (3)∠E= 60° 中考连接　 B 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 06