第8章 概率（考点串讲）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

苏教版（2019）选择性必修第二册 第8章 概率 考点大串讲 串讲03 第8章 概率 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 10大常考点：知识梳理、思维导图 9个题型典例剖析+技巧点拨 精选13道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点1 相互独立事件 (1)概念：对两个随机事件A，B，如果P(AB)＝ 成立，则称事件A，事件B为相互独立事件. P(A)P(B) B 考点2 条件概率 P(B|A) A发生的 条件下B发生的概率 (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝ ； ②概率的乘法公式：P(AB)＝ . P(A)P(B|A) (3)条件概率的性质 ①P(Ω|A)＝ ； ②P(∅|A)＝ ； ③若B1，B2互斥，则P((B1＋B2)|A)＝ . 1 0 P(B1|A)＋P(B2|A) (1)概念：一般地，设A，B为两个事件，P(A)>0，我们称_______为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记为 ，读作“________ ”.即P(B|A)＝(P(A)>0). 考点3.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai），我们称上面的公式为全概率公式. 考点4 离散型随机变量的概率分布 随机变量X的概率分布列 一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，① 则称①为随机变量X的 ，简称为X的分布列. 概率分布列 (2)随机变量X的概率分布表 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 通常将上表称为随机变量X的 . 随机变量X的概率分布、概率分布表都叫作随机变量X的概率分布. 概率分布表 考点6 离散型随机变量的概率分布的性质 3.离散型随机变量的概率分布的性质 (1)pi 0(i＝1,2，…，n)； (2)p1＋p2＋…＋pn＝ . 4.离散型随机变量的均值与方差 E(X)＝μ＝ . D(X)＝σ2＝ . ≥ 1 p1x1＋p2x2＋…＋pnxn (x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn 5.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ . (2)D(aX＋b)＝ (a，b为常数). aE(X)＋b a2D(X) 考点7 .两点分布（或0－1分布） 如果随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中0＜p＜1，则称离散型随机变量X服从两点分布或0－1分布.其中p＝P（X＝1）称为成功概率. 考点8.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 提醒　超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数.主要特征为：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 考点9. 正态分布 正态密度曲 线下方 x轴上(a，b]上方 X～N(μ，σ2) 68.3% 95.4% 99.7% 5.正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ ，D(X)＝ . μ σ2 若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a<X≤b)是_____________ 和 所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为 . 4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)落在区间(μ－σ，μ＋σ)内的概率约为 . (2)落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内的概率约为 . (3)落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率约为 . ①曲线位于x轴 　上方　⁠，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 　x＝μ　⁠对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值 　　⁠；   ④曲线与x轴之间的面积为 　1　⁠； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； 上方　 ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. x＝μ　 　 1　 考点10. 正态曲线的特点 题型剖析 02 PART 题型1.事件相互独立性的判断 【例题1】已知A，B为两个随机事件，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则 A.P(A＋B)<1 B.若A，B为互斥事件，则P(AB)＝0 C.若P(AB)＝0.24，则A，B为相互独立事件 √ √ √ 题型1. 事件相互独立性的判断 若A，B为互斥事件，又P(A)＋P(B)＝1，则AB＝∅且A＋B＝Ω，故P(A＋B)＝1，P(AB)＝0，故A错误，B正确； 若P(AB)＝0.24，即P(AB)＝P(A)P(B)，故A，B为相互独立事件，故C正确； 【例2】　 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析　 设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P（A）＝＝，P（AB）＝＝，故P（B｜A）＝＝. 答案　 B　 题型2. 条件概率 （2）在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为 　　　　⁠.  解析　（2）法一（应用条件概率公式求解）：设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P（B｜A），因为P（AB）＝＝，P（A）＝＝，所以P（B｜A）＝＝＝. 法二（缩小样本空间求解）：第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为. 答案　（2） ｜解题技法｜ 求条件概率的常用方法 （1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B｜A）＝；   （2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的样本点个数，即n（AB），得P（B｜A）＝.   题型3. 条件概率性质的应用 √ √ 题型3. 条件概率性质的应用 因为A，B是相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)， 因为A，B是互斥事件，P(AB)＝0，则根据条件概率公式P(B|A)＝0，而P(B)∈(0,1)，故D错误. 题型4. 全概率公式 【例4】　 某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析　 记事件A为“第1球投进”，事件B为“第2球投进”， P（B｜A）＝，P（B｜）＝，P（A）＝， 由全概率公式可得 P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝＋＝.故选B. 答案　 B　 ｜解题技法｜ 应用全概率公式求概率的思路 （1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）； （2）求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）； （3）代入全概率公式计算. 题型5. 概率分布的性质 【例题5】(多选)已知随机变量X的概率分布如表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是 A.a＝0.1 B.P(X≤2)＝0.7 C.P(X≥3)＝0.4 D.P(X≤1)＝0.3 √ √ √ 题型5. 概率分布的性质 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确； 由概率分布知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确； P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误； P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确. 题型6.求离散型随机变量的概率分布及数字特征 【例题6】已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下： 时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 题型6.求离散型随机变量的概率分布及数字特征 某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的均值和方差分别是 A.E(X)＝1.5，D(X)＝0.36 B.E(X)＝1.4，D(X)＝0.36 C.E(X)＝1.5，D(X)＝0.34 D.E(X)＝1.4，D(X)＝0.34 时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 √ 时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 设事件A表示甲在规定的时间内到达，B表示乙在规定的时间内到达， P(A)＝0.5，P(B)＝0.9，A，B相互独立， 题型6.求离散型随机变量的概率分布及数字特征 时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 ＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.9＝0.45， 题型6.求离散型随机变量的概率分布及数字特征 时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 ∴E(X)＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4， D(X)＝(0－1.4)2×0.05＋(1－1.4)2×0.5＋(2－1.4)2×0.45＝0.34. 题型6.求离散型随机变量的概率分布及数字特征 ｜解题技法｜ 离散型随机变量分布列性质的应用 （1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； （2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率； （3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 题型7.超几何分布 【例7】　为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. （1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率； 解　（1）由已知，有P（A）＝＝. 所以事件A发生的概率为. （2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列. 解　（2）随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1，2，3，4. P（X＝k）＝（k＝1，2，3，4）. 故P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， P（X＝4）＝＝， 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P ｜解题技法｜ 求超几何分布的分布列的3个步骤 （1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； （2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； （3）用表格的形式列出分布列. 题型8. 乘法公式的应用 【例题8】经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么该射击运动员两次均击中9环的概率为 A.0.24　　　B.0.36　　　C.0.48　　　D.0.75 √ 设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，由题意得P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.8，所以该射击运动员两次均击中9环的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.8＝0.48. 题型9. 正态分布 【例9】　（1）（2021·新高考Ⅱ卷）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），下列结论中不正确的是 （　　） A.σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大 B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等 （1）解析　对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确；对于B、C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B、C正确.D显然错误.故选D. 答案　D ｜解题技法｜ 　　解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴x＝μ；（2）标准差σ；（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.⁠ 押题预测 03 PART ⁠ 1.某射击选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是 （　　） A. B. C. D. 解析：B　设该选手某次击中10环为事件A，随后一次击中10环为事件B，则P（A）＝，P（AB）＝， ∴某次击中10环，随后一次击中10环的概率是P（B｜A）＝＝＝. √ 3.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸出正品的概率是 （　　） A. B. C. D. 解析：D　记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸出的是正品”，由题意知，P（A）＝＝，P（AB）＝×＝，则P（B｜A）＝＝＝. 4.在如图所示的正方形区域中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤X≤μ＋σ）＝0.682 6，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）＝0.954 4） （　　） A.2 386 B.2 718 C.3 413 D.4 772 解析：C　因为μ＝0，σ2＝1，则σ＝1，由正态分布的性质，得阴影部分的面积为P（0≤X≤1）＝P（－1≤X≤1）＝×0.682 6＝0.341 3，故点落入阴影部分的概率为＝0.341 3，所以落入阴影部分的点的个数约为10 000×0.341 3＝3 413，故选C. ⁠ 　5.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为 （　　） A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0 解析：A　用A表示事件“考生答对了”，用B表示事件“考生知道正确答案”，用表示事件“考生不知道正确答案”，则P（B）＝0.5，P（）＝0.5，P（A｜B）＝100%，P（A｜）＝0.25，则P（A）＝P（A｜B）P（B）＋P（A｜）P（）＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625. 6.（多选）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，），N（μ2，），其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是 （　　） A.甲类水果的平均质量为0.4 kg B.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.σ2＝1.99 解析：ABC　由图象可知甲的正态曲线关于直线x＝0.4对称，乙的正态曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正确，C正确；由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故B正确；因为乙的正态曲线的峰值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误.故选A、B、C. 7.（多选）设随机变量X服从正态分布N（0，1），则下列结论正确的是 （　　） A.P（｜X｜＜a）＝P（｜X｜＜a）＋P（｜X｜＝a）（a＞0） B.P（｜X｜＜a）＝2P（X＜a）－1（a＞0） C.P（｜X｜＜a）＝1－2P（X＜a）（a＞0） D.P（｜X｜＜a）＝1－P（｜X｜＞a）（a＞0） 解析：ABD　服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，所以P（｜X｜＝a）＝0，A正确；X～N（0，1），μ＝0，所以正态曲线关于直线x＝0对称，P（｜X｜＜a）＋2P（X＞a）＝1.又P（X＞a）＋P（X＜a）＝1，所以P（｜X｜＜a）＋2[1－P（X＜a）]＝1，即P（｜X｜＜a）＝2P（X＜a）－1（a＞0），所以B正确，C错误；P（｜X｜＜a）＋P（｜X｜＞a）＝1（a＞0），D正确. 二、填空题 8.已知离散型随机变量ξ的概率分布如表所示. ξ －2 0 2 P a b 11 9.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为 　　　　⁠.  解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B（发芽又成长为幼苗）.依题意P（B｜A）＝0.8，P（A）＝0.9.根据条件概率公式P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案：0.72 ξ －2 0 2 P a b 所以D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝11. 10.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），则c＝ 　　　　⁠.  解析：∵X～N（3，1），∴正态曲线关于直线x＝3对称，且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），∴2c－1＋c＋3＝3×2，∴c＝. 答案： 11.（2022·新高考Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝ 　　　　⁠.  解析：因为X～N（2，σ2），所以P（X＞2）＝0.5，所以P（X＞2.5）＝P（X＞2）－P（2＜X≤2.5）＝0.5－0.36＝0.14. 答案：0.14 12.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为 　　　　⁠.  解析　（2）记“利率下调”为事件A，则“利率不变”为事件，这支股票“价格上涨”为事件C，由题意知：P（A）＝60%，P（）＝40%，P（C｜A）＝80%，P（C｜）＝40%，∴P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（）P（C｜）＝0.48＋0.16＝0.64. 答案　（2）0.64 13.面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床.设新机床生产的零件的直径为X（单位：mm）. （1）现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124 mm的有3个.若从中随机抽取4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124 mm的零件的个数，求ξ的分布列及均值E（ξ）； 解：（1）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3， P（ξ＝0）＝＝＝， P（ξ＝1）＝＝＝， P（ξ＝2）＝＝＝， P（ξ＝3）＝＝＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 故E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＝. （2）若新机床生产的零件直径X～N（120，4），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124 mm的概率. 参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（｜X－μ｜≤σ）≈0.682 7，P（｜X－μ｜≤2σ）≈0.954 5，P（｜X－μ｜≤3σ）≈0.997 3，0.977 2510≈0.794 4，0.954 510≈0.627 7. 解：（2）因为X～N（120，4）， 所以P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）＝P（116≤X≤124）≈0.954 5， P（120≤X≤124）＝P（116≤X≤124）≈0.477 25， P（X≥124）＝－P（120≤X≤124）≈－0.477 25＝0.022 75， 则P（X≤124）＝1－P（X≥124）＝0.977 25， 故至少有一个零件直径大于124 mm的概率为P＝1－0.977 2510≈1－0.794 4＝0.205 6. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与 ，与 ，与也都相互独立.     D.若A，B为相互独立事件，则P()＝P(AB) 若A，B为相互独立事件，则，也相互独立， 即P()＝P()P()，又P()＝0.6，P()＝0.4， 所以P(AB)＝0.4×0.6＝P()P()，故P()＝P(AB)，故D正确. 【例题3】设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列说法正确的是 A.P(B|A)＋P(|A)＝1 B.P(B|A)＋P(B|)＝0 C.若A，B是相互独立事件，则P(A|B)＝P(A) D.若A，B是互斥事件，则P(B|A)＝P(B) 当A，B是相互独立事件时，则P(B|A)＋P(B|)＝2P(B)≠0，故B错误； 所以P(A|B)＝＝P(A)，故C正确；  P(B|A)＋P(|A)＝＝＝1，故A正确； ∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.9)＝0.05，  P(X＝1)＝P(B)＋P(A)＝P()P(B)＋P(A)P() 所以＋＋＋＝1，即a＝， 所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝. 2.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P等于 A.　　　B.　　　C.　　　D. 因为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)， 若随机变量ξ的均值E(ξ)＝，则D(2ξ＋1)＝______. 由表中数据得E(ξ)＝－2a＋0×b＋2×＝，解得a＝， 又a＋b＋＝1，所以b＝， 所以D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝， $$