第7章 计数原理（考点串讲）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

苏教版（2019）选择性必修第二册 第7章 计数原理 考点大串讲 串讲02 第7章 计数原理 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 5大常考点：知识梳理、思维导图 17个题型典例剖析+技巧点拨 精选12道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点1. 两个基本计数原理 (1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法. (2)分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________ 种不同的方法. m1＋m2＋…＋mn m1×m2× …×mn 考点2. 排列与组合的概念 排列数与组合数 2.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照 排成一列 组合 并成一组 一定的顺序 3.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示. (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示. 排列 组合 考点3. 排列数、组合数的公式及性质 4.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1) ＝ ＝ (n，m∈N*，且m≤n). (2) ＝ ＝ (n，m∈N*，且m≤n) 性质 (1)0！＝ ； ＝ . (2) ＝__________ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 1 n！ 考点4. 二项式定理 （1）二项式定理：（a＋b）n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn（n∈N*）； （2）通项公式：Tk＋1＝an－kbk　⁠，它表示第 　k＋1　⁠项； （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为，，…，. 提醒　（1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. an－kbk　 k＋1　 考点4. 二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝ (n∈N*) 二项展开式的通项 Tr＋1＝ ，它表示展开式的第 项 二项式系数 (r＝0,1，…，n) k＋1 考点5. 二项式系数的性质 2. (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 . (2)增减性与最大值： 相等 增大 减小 ②当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的 两项 与 相等，且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为 ＝ . 2n 题型剖析 02 PART 题型1. 两个基本计数原理 【例题1】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有 A.144个　　　B.120个　　　C.96个　　　D.72个 √ ①当万位数字为5，个位数字为0时，有4×3×2＝24(个)； ②当万位数字为5，个位数字为2时，有4×3×2＝24(个)； ③当万位数字为5，个位数字为4时，有4×3×2＝24(个)； ④当万位数字为4，个位数字为0时，有4×3×2＝24(个)； ⑤当万位数字为4，个位数字为2时，有4×3×2＝24(个). 由分类计数原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(个). 题型2. 排列组合问题 【例题2】为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生对体育的热情，某中学举办田径运动会.某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛，其中甲只能跑第一棒或第二棒，乙只能跑第二棒或第四棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为 A.48　　　B.36　　　C.24　　　D.12 √ 故甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为24＋12＝36. 题型3. 相邻、相间问题 【例题3】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 A.12种　　　B.24种　　　C.36种　　　D.48种 √ 题型4. 分组、分配问题 【例题4】某高校计划在今年暑假安排编号为A，B，C，D，E，F的6名教师，到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B，D必须安排在同一个学校.则不同的安排方法共有 A.96种 B.144种 C.240种 D.384种 √ 题型5. 排列问题 【例5】　已知7位同学站成一排. （1）甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解　（1）甲站在中间的位置，共有＝720种不同的排法. （2）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ （3）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ 解　（2）甲、乙只能站在两端的排法共有＝240种. 解　（3）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成1个元素，与其余的5个元素（同学）一起进行全排列，有种方法，再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列，有种方法，所以这样的排法共有＝1 440种. （4）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 解　（4）将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成1个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法，将剩下的4个元素进行全排列，有种方法，最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列，有种方法，所以这样的排法共有＝960种. （5）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ （6）甲总在乙的前面的排法共有多少种？ 解　（5）甲、乙两同学不能相邻的排法共有－·＝3 600种. 解　（6）甲总在乙的前面则顺序一定，共有＝2 520种排法. ｜解题技法｜ 求解排列问题的四种常用方法 题型6. 组合问题 【例6】　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ （1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； 解　（1）无序不均匀分组问题：先选1本有种选法，再从余下的5本中选2本有种选法，最后余下的3本全选有种选法.故有＝60（种）分配方式. （2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； 解　（2）有序不均匀分组问题：由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）问的基础上，还应考虑再分配，共有＝360（种）分配方式. （3）平均分成三份，每份2本； 解　（3）无序均匀分组问题：先分三步，则应是种选法，但是这里出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则种分法中还有（AB，EF，CD），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD），共种情况，而这种情况仅是顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15（种）. （4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本. 解　（4）有序均匀分组问题：在（3）问的基础上再分配给3个人，共有分配方式·＝90（种）. 1.组合问题的两类常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取； （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 2.有限制条件的组合问题的解题思路 从限制条件入手.组合问题只是从整体中选出部分即可，相对来说较简单.常见情况有： （1）某些元素必选； （2）某些元素不选； （3）把元素分组，根据在各组中分别选多少分类. 题型7. 排列与组合的综合问题 【例7】　 （2022·新高考Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 （　　） A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 解析　 先将丙和丁捆在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后将甲插入中间两空，有种排列方式，所以不同的排列方式共有＝24种，故选B. 答案　 B　 ｜解题技法｜ 解排列、组合问题要遵循的2个原则 （1）按元素（位置）的性质进行分类； （2）按事情发生的过程进行分步. 具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）. ⁠ 题型8. 二项式中的特定项及系数问题 【例8】　 的展开式中含x15的项的系数为 （　　） A.153 B.－153 C.17 D.－17 解析　 Tr＋1＝x18－r＝·，令18－r＝15，解得r＝2，所以含x15的项的系数为＝17.故选C. 答案　 C　 ｜解题技法｜ 求二项展开式中特定项的步骤 题型9. 二项展开式中的系数和问题 【例9】　（多选）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则 （　　） A.二项式系数和为64 B.各项系数和为64 C.常数项为－135 D.常数项为135 解析　在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A、B正确；展开式的通项为Tk＋1＝·（3x）6－k·＝·（－1）k36－k·，令6－k＝0，得k＝4，因此展开式中的常数项为T5＝×（－1）4×32＝135.故D正确. 答案　ABD ｜解题技法｜ 赋值法的应用 （1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可； （2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； （3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 题型10. 二项式系数的最值问题 【例10】　在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为 （　　） A.－126 B.－70 C.－56 D.－28 解析　∵只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8，的展开式的通项为Tk＋1＝（－1）k（k＝0，1，2，…，8），∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为（－1）3＝－56. 答案　C ｜解题技法｜ 1.求二项式系数最大项 （1）如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大； （2）如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等且最大. 2.求展开式系数最大项 求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k. 题型11. 几个多项式和展开式中特定项（系数）问题 【例11】　在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是 （　　） A.25 B.30 C.35 D.40 解析　法一：（1＋x）n的通项公式为Tr＋1＝xr，当n依次取3，4，5，6，r取3得到含x3的系数为＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝35. 法二：多项式可化为＝，二项式（x＋1）7的通项公式为Tr＋1＝x7－r，7－r＝4⇒r＝3，含x3项的系数为＝35.故选C. 答案　C ｜解题技法｜ 　　对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）. 题型12. 几个多项式积展开式中特定项（系数）问题 【例12】　（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 　　　　⁠（用数字作答）.  解析　（x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝x8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝x2y6，令r＝5，得T5＋1＝x3y5，所以（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－＝－28. 答案　－28 ｜解题技法｜ 求几个多项式积展开式中特定项（系数）的方法 题型13. 　三项式展开式中特定项（系数）问题 【例13】 （x＞0）的展开式中的常数项为 　　　　⁠；  解析　 （x＞0）可化为， 因而Tr＋1＝··（）10－2r，令10－2r＝0，得r＝5， 故展开式中的常数项为·＝. 答案　 　 ｜解题技法｜ 求三项展开式中特定项（系数）的方法 题型14. 系数与二项式系数的最值 【例题14】　已知 的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是 A.二项展开式中各项系数之和为37 B.二项展开式中二项式系数最大的项为 C.二项展开式中无常数项 D.二项展开式中系数最大的项为240x3 √ 题型14. 系数与二项式系数的最值 所以2n＝64，则n＝6， 令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A错误； 题型14. 系数与二项式系数的最值 第4项的二项式系数最大，此时r＝3，则二项展开式中二项式系数最 大的项为T4＝ ＝ ，故B错误； 所以二项展开式中的常数项为 ＝60，故C错误； 题型14. 系数与二项式系数的最值 因为k∈N，所以r＝2. －28 题型15.形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式 题型16. 二项式系数和与系数和 【例题16】已知 的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则 A.n＝4 B.展开式中所有项的系数和为1 C.展开式中二项式系数和为24 D.展开式中不含常数项 √ √ 题型16. 二项式系数和与系数和 则所有项的系数之和为－1，故B错误； 【例题17】(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为______(用数字作答). 112 所以(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为112. 题型17. 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式 押题预测 03 PART 1.某生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中选出4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有 A.24种　　　B.36种　　　C.48种　　　D.72种 √ 分两类：①第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12(种)； ②第一道工序不安排甲时有1×2×4×3＝24(种). 所以共有12＋24＝36(种). 2.为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有 A.50种　　　B.60种　　　C.80种　　　D.100种 √ 综上所述，共有80种安排方法. 3.利用二项式定理计算0.996，则其结果精确到0.001的近似值是 A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943 √ ＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941. 返回 ⁠ 4.现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有 （　　） A.10种 B.14种 C.20种 D.28种 解析：B　将4份不同的礼物全部分给甲、乙两人，每人至少分得1份，有以下三种情况：（1）甲分得1份，乙分得3份，有种分法；（2）甲分得2份，乙分得2份，有种分法；（3）甲分得3份，乙分得1份，有种分法.所以不同的分法共有＋＋＝14（种），故选B. ⁠ 5.将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A与学生B要安排在同一地点，则不同的安排方案共有 （　　） A.72种 B.36种 C.24种 D.12种 解析：D　先将另外两名教师与另外两名学生搭配成1名教师和1名学生的小组，共有2种组合方式，然后将3个小组安排到3个不同的学校，共有种安排方式，所以不同的安排方案共有2＝12（种），故选D. 6.（多选）在的展开式中，下列说法正确的是 （　　） A.常数项为160 B.第4项的二项式系数最大 C.第3项的系数最大 D.所有项的系数和为64 解析：BC　展开式的通项为＝··（－x）k＝26－k（－1）k·x2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常数项为23（－1）3＝－160，A错误；展开式共有7项，所以第4项的二项式系数最大，B正确；第3项的系数最大，C正确；令x＝1，得＝1，所有项的系数和为1，D错误. 7.已知多项式（x＋2）（x－1）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝ 　　　　⁠，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ 　　　　⁠.  解析：由多项式展开式可知，a2＝2（－1）2＋（－1）3＝12－4＝8.令x＝0可得a0＝2，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 答案：8　－2 8.的展开式中常数项是 　　　　⁠（用数字作答）.  解析　（2）展开式的通项Tr＋1＝（x2）6－r·＝2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项为24＝240. 答案　（2）240 9.若展开式 中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为_____. 7 ＝ ， 10.(1－ax2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为12，则a＝____. －2 11.的展开式中，x3y3的系数是 　　　　⁠.（用数字作答）  解析　（2）表示6个因式x2－＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是×（－2）＝20×3×（－2）＝－120. 答案　（2）－120 1  A  C C    A C＝1；C＝C；C C＋C  A C Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn Can－rbr C＋C ＋C＋…＋C ①当r<时，C随r的增加而 ；由对称性知，当r>时，C随r的增加而 . 当甲排第二棒时，乙只能排第四棒，共有A＝12(种)方案. 当甲排第一棒时，乙可排第二棒或第四棒，共有AA＝24(种)方案； 先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24(种). n 所以二项式为6， 则二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－rr＝ ， 因为n的二项展开式中二项式系数之和为64， 令6－r＝0，则r＝4， 令第k＋1项的系数最大，则 所以二项展开式中系数最大的项为T3＝C24x3＝240x3，故D正确. 解得≤r≤， 令r＝6，得T6＋1＝Cx2y6； 令r＝5，得T5＋1＝Cx3y5， 所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28. 【例题15】(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为_______(用数字作答). (x＋y)8展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－ryr，r＝0,1，…，7,8. 2n＋1 则＝，解得n＝4，故A正确； 所以2n＋1＝9，令x＝1， 由题意得＝， 因为(x－2y)8的展开式中含x6y2的项为Cx6(－2y)2＝112x6y2， 若甲校安排2名大学生，此时有CCA＝60(种)安排方法； 若甲校安排3名大学生，此时有CA＝20(种)安排方法. 0.996＝(1－0.01)6＝C×1－C×0.01＋C×0.012－C×0.013＋…＋C×0.016 由题意得n＝8，所以展开式中第r＋1项为Tr＋1＝C()8－rr 令＝0，得r＝2，故常数项为C·2＝7. n 由(1＋x)4的展开式通项为Tr＋1＝Cxr， 所以含x3的项为Cx3＋(－ax2)Cx＝(C－aC)x3， 故C－aC＝4－4a＝12，可得a＝－2. (1＋x)6展开式通项为Tr＋1＝Cxr， 则Cxr＝mCxr＋mCxr－2， ∴mC＋mC＝30，解得m＝1. 12.若(1＋x)6展开式中x2的系数为30，则m＝_____. $$