第6章 空间向量与立体几何（考点串讲）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

苏教版（2019）选择性必修第二册 第6章 考点大串讲 串讲01 空间向量与立体几何 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 5大常考点：知识梳理、思维导图 5个题型典例剖析+技巧点拨 精选9道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点1. 空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有 和 的量 相等向量 方向 且模 的向量 相反向量 方向 且模 的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或_____ 的向量 共面向量 平行于 的向量 大小 方向 相同 相等 相反 相等 平行 重合 同一个平面 考点2. 空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使 . (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝ . (3)空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任意一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ . b＝λa xa＋yb xe1＋ye2＋ze3 考点3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积非零向量a，b的数量积 a·b＝ . |a||b|cos〈a，b〉 (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).   向量表示 坐标表示 数量积 a·b _______________ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ________________________ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) __________________ a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 考点3.空间向量的数量积及运算律 （1）两个非零空间向量的数量积 ①a·b＝ 　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　⁠； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝.   ｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　 考点4.空间向量运算的坐标表示 a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R 向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） 向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3） 数乘向量 λa＝（λa1，λa2，λa3） 数量积 a·b＝ 　a1b1＋a2b2＋a3b3　⁠ 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0） 垂直 a⊥b⇔ 　a1b1＋a2b2＋a3b3　⁠＝0 夹角公式 cos＜a，b＞＝ a1b1＋a2b2＋a3b3　 a1b1＋a2b2＋a3b3　 考点5.直线的方向向量与平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量； （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量； （3）方向向量和法向量均是非零向量且不唯一；同一条直线的方向向量共线；同一个平面的法向量共线. 考点6. 空间向量的坐标表示及其应用   向量表示 坐标表示 模 |a| ____________ 夹角 余弦值 cos〈a，b〉＝______________________ 考点6. 空间向量的坐标表示及其应用 (1)直线的方向向量：直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的 . (2)平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的 . 方向向量 垂直于 法向量 考点7. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm(λ∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 题型剖析 02 PART 题型1 空间向量的线性运算 【例题1】设x，y是实数，已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y等于 A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 √ 因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ， ｜练后悟通｜ 空间向量线性运算中的三个关键点 题型2. 空间向量基本定理及其应用 【例题2】下列命题正确的是 A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面 C.若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0 D.若a，b，c共面，则存在唯一的有序实数组(x，y)，使得a＝xb＋yc √ 题型3. 共线、共面向量定理的应用 【例3】　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝（＋＋）. （1）判断，，三个向量是否共面； 解　（1）由题知＋＋＝3， 所以－＝（－）＋（－）， 即＝＋＝－－，所以，，共面. （2）判断点M是否在平面ABC内. 解　（2）法一：由（1）知，，，共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内. 法二：因为＝（＋＋）＝＋＋， 又因为＋＋＝1，所以M，A，B，C四点共面， 从而点M在平面ABC内. ｜解题技法｜ 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 题型4. 空间向量数量积的应用 【例4】　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： （1）·； 解　设＝a，＝b，＝c，因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都为1，所以＜a，b＞＝＜a，c＞ ＝＜b，c＞＝. （1）＝＝c－a，＝－a， 则·＝·（－a）＝a2－a·c＝. （2）异面直线AG与CE所成角的余弦值. （2）＝（＋）＝b＋c，＝＋＝－b＋a， ·＝·＝＝－，｜｜＝，｜｜＝， cos＜，＞＝＝－， 由于异面直线所成角的范围是， 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为. ｜解题技法｜ 空间向量数量积的3个应用 （1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角；   （2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； （3）解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题. 题型5.利用空间向量证明平行、垂直 【例5】　如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点. （1）求证：EF∥平面A1B1BA； 证明　因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC. 因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1， 所以以过E作平行于BB1的直线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2，所以E（0，0，0），C（，0，0），A（0，2，0），B（－，0，0），B1（－，0，2），A1（0，2，），则F. （1）＝，＝（－，－2，0），＝（0，0，）. 设平面AA1B1B的一个法向量为n＝（x，y，z），则 所以取所以n＝（－2，，0）. 因为·n＝×（－2）＋1×＋×0＝0，所以⊥n. 又EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA. （2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1. （2）因为EC⊥平面AEA1，所以＝（，0，0）为平面AEA1的一个法向量. 又EA⊥平面BCB1，所以＝（0，2，0）为平面BCB1的一个法向量. 因为·＝0，所以⊥，故平面AEA1⊥平面BCB1. ｜解题技法｜ 利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤 押题预测 03 PART ⁠ 1.若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线，则m＋n＝ 　　　　⁠.  解析：∵＝（3，－1，1），＝（m＋1，n－2，－2），且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，即（m＋1，n－2，－2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ），∴解得∴m＋n＝－3. 答案：－3 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且＝＋x＋y，则实数x＋y＝ （　　） A.－ B.－ C. D. 解析：D　＝＋＋＝＋＋＝＋x＋y，故x＝，y＝1，所以x＋y＝. 3. 已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝ －2a，则x等于 A.(0,3，－6) B.(0,6，－20) C.(0,6，－6) D.(6,6，－6) √ 由b＝ －2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20). ⁠ 4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，E，F分别是BC，AD的中点，则·＝ （　　） A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 解析：C　·＝（＋）·＝（·＋·）＝（a2cos 60°＋a2cos 60°）＝a2.故选C. 5.（多选）给出下列四个说法，其中正确的是 （　　） A.若a·b＜0，则＜a，b＞是钝角 B.若a为直线l的方向向量，则λa（λ∈R）也是直线l的方向向量 C.若＝＋，则＝2 D.在三棱锥P－ABC中，若·＝0，·＝0，则·＝0 解析：CD　对于A，当a＝－b时，满足a·b＜0，但＜a，b＞＝π，不是钝角，故A错误；对于B，当λ＝0时，λa＝0，不是直线l的方向向量，故B错误；对于C，由＝＋，得3＝＋2，则－＝－2＋2，所以＋＝2（＋），即＝2，故C正确；对于D，过点P作PO⊥平面ABC交平面ABC于点O，连接CO并延长，交AB于点M，连接AO并延长，交BC于点N，连接BO并延长，交AC于点T，由·＝0，可得PA⊥BC，则AN⊥BC，同理得CM⊥AB，所以O为△ABC的垂心，所以BT⊥AC，则PB⊥AC，从而·＝0，故D正确.故选C、D. 6.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN＝ 　　　　⁠.  解析：连接PD（图略），∵M，N分别为CD，PC的中点，∴MN＝PD，又P（0，0，1），D（0，1，0），∴PD＝＝，∴MN＝. 答案： 7.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，则xy＝ 　　　　⁠.  解析：由三点共线得向量与共线，即＝k，（3，4，－8）＝k（x－1，y＋2，4），＝＝，解得x＝－，y＝－4，∴xy＝2. 答案：2 8.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. （1）求证：EF⊥CD； 解：（1）证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AD＝a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E，P（0，0，a），F. ＝，＝（0，a，0）. ∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD. （2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论. 解：（2）设G（x，0，z），则＝， 若使GF⊥平面PCB，则需·＝0且·＝0. 由·＝·（a，0，0）＝a＝0，得x＝. 由·＝·（0，－a，a）＝＋a＝0，得z＝0. ∴G点坐标为，即G为AD的中点.   cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) 使得＝λ， 所以解得所以x＋y＝5. 由已知可得＝(1，－1,3)，＝(x－1，－2，y＋4).  x  x $$