第14～15章 概率统计（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

苏教版 必修二 第14 15章 概率统计 考点大串讲 串讲02 第14 15章 概率 统计 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 13大常考点：知识梳理、思维导图 15个题型典例剖析+技巧点拨 精选9道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点1．简单随机抽样 逐个 相等 放回 相等 不放回 抽签法 随机数法 考点2．分层随机抽样 简单随机抽样 分层随机抽样 层 考点3．统计图表 极差 组距 组数 数据 考点4.总体百分位数的估计 p% 25 75 考点5．样本的数字特征 出现次数最多 最中间 考点6.总体平均数、方差、标准差与样本平均数、方差、标准差 总体均值 总体方差 总体标准差 考点6.总体平均数、方差、标准差与样本平均数、方差、标准差 样本均值， 样本方差 样本标准差 考点7.样本空间和随机事件 基本结果 考点7.样本空间和随机事件 子集 考点8.事件的运算 A∪B A∩B 考点9．事件的关系 一定发生 B⊇A 不能同时发生 有且仅有一个发生 考点10. 概率与频率 频率fn(A) P(A) 考点11. 概率的性质 P(A)＋P(B) 1－P(B) P(A)＋P(B)－P(A∩B) 考点12．古典概型 有限个 相等 考点12. 古典概型 考点13.事件的相互独立性 P(A)P(B) P(B) P(A) P(A)P(B) P(B) P(A) 题型剖析 02 PART 题型1 简单随机抽样 答案 解析 题型2　比例分配的分层随机抽样 答案 解析 题型3 扇形图、条形图 答案 题型4 折线图 答案 题型5 频率分布直方图 答案 题型5 频率分布直方图 解析 题型5 频率分布直方图 题型6 数据第p百分位数 答案 题型6 数据第p百分位数 解析 题型6 数据第p百分位数 题型7 　总体集中趋势的估计 答案 题型7 　总体集中趋势的估计 解析 题型7 　总体集中趋势的估计 题型8 标准差(方差) 数据的离散程度 题型8 标准差(方差) 数据的离散程度 解析 题型8 标准差(方差) 数据的离散程度 题型9 分层随机抽样的均值与方差 答案 　1.04 题型9 分层随机抽样的均值与方差 解析 题型9 分层随机抽样的均值与方差 题型10 随机事件的关系及运算 答案 题型10 随机事件的关系及运算 解析 题型11 随机事件的频率与概率 题型11 随机事件的频率与概率 题型11 随机事件的频率与概率 解 题型11 随机事件的频率与概率 解 题型12 互斥事件与对立事件的概率 答案 解析 题型12 互斥事件与对立事件的概率 题型13 　古典概型 答案 解析 题型13 　古典概型 题型13 　古典概型 答案 题型14 　事件独立性的判定 解析 题型14 　事件独立性的判定 题型14 　事件独立性的判定 答案 题型15 相互独立事件的概率 解析 题型15 相互独立事件的概率 题型15 相互独立事件的概率 押题预测 03 PART 答案 解析 解析 答案 答案 解析 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 答案 解析 答案 答案 解析 (2)简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本． (3)简单随机抽样的常用方法 实现简单随机抽样的方法有很多，eq \x(\s\up1(06))_________和eq \x(\s\up1(07))_________是比较常用的两种方法． (1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中eq \x(\s\up1(01))______抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都eq \x(\s\up1(02))______，我们把这样的抽样方法叫做eq \x(\s\up1(03))______简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都eq \x(\s\up1(04))______，我们把这样的抽样方法叫做eq \x(\s\up1(05))__________简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样． 2．分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行eq \x(\s\up1(08))____________，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为eq \x(\s\up1(09))____________，每一个子总体称为eq \x(\s\up1(10))________． 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 3．统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等． (2)作频率分布直方图的步骤 ①求eq \x(\s\up1(11))__________； ②决定eq \x(\s\up1(12))__________与eq \x(\s\up1(13))__________； ③将eq \x(\s\up1(14))__________分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图． (1)第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有eq \x(\s\up1(01))____的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． (2)四分位数 常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数(即中位数)，第75百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第eq \x(\s\up1(02))____百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第eq \x(\s\up1(03))____百分位数也称为第三四分位数或上四分位数． eq \f(a1＋a2＋…＋an,n) (1)众数：一组数据中eq \x(\s\up1(04))_______________的那个数据，叫做这组数据的众数． (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于eq \x(\s\up1(05))_______位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (3)平均数：把eq \x(\s\up1(06))______________称为a1，a2，…，an这n个数的平均数． (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq \o(x,\s\up16(－))，则这组数据的标准差和方差分别是s＝eq \r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up16(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up16(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up16(－))）2])， s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \o(x,\s\up16(－)))2＋(x2－eq \o(x,\s\up16(－)))2＋…＋(xn－eq \o(x,\s\up16(－)))2]． 名称 定义 总体均值(总体平均数)、方差、标准差 一般式：如果总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称eq \o(Y,\s\up16(－))＝eq \f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq \f(1,N) eq \o(∑,\s\up16(N),\s\do16(i＝1))Yi为eq \x(\s\up1(07))_________，又称总体平均数，称S2＝eq \f(1,N) eq \o(∑,\s\up16(N),\s\do16(i＝1)) (Yi－eq \o(Y,\s\up16(－)))2为eq \x(\s\up1(08))_________，S＝eq \r(S2)为eq \x(\s\up1(09))_________ 样本均值(样本平均数)、方差、标准差 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up16(n),\s\do16(i＝1))yi为eq \x(\s\up1(12))_______________，又称样本平均数，称s2＝eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up16(n),\s\do16(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up16(－)))2为eq \x(\s\up1(13))______________，s＝eq \r(s2)为eq \x(\s\up1(14))______________ 说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数、方差、标准差去估计总体平均数、方差、标准差. (2)总体平均数、方差、标准差是一个确定的数，样本平均数、方差、标准差具有随机性(因为样本具有随机性). (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的eq \x(\s\up1(01))___________称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的eq \x(\s\up1(02))_______称为随机事件，简称事件． ②表示：大写字母A，B，C，…. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) eq \x(\s\up1(03))_______ (或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) eq \x(\s\up1(04))_______ (或AB) 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件Beq \x(\s\up1(05))__________，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) eq \x(\s\up1(06))_______ (或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件Beq \x(\s\up1(07))______________，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中eq \x(\s\up1(08))_____________________，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq \o(A,\s\up16(－)) 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用eq \x(\s\up1(09))__________来估计概率eq \x(\s\up1(10))__________． 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝eq \x(\s\up1(11))__________； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝eq \x(\s\up1(12))________； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝eq \x(\s\up1(13))_________________． 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有eq \x(\s\up1(14))___________． (2)等可能性：每个样本点发生的可能性eq \x(\s\up1(15))___________． 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq \x(\s\up1(16))_____＝eq \f(n（A）,n（Ω）). 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． eq \f(k,n) 事件A与事件B相互独立 对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝eq \x(\s\up1(01))_________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立 性质 若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立，P(B|A)＝eq \x(\s\up1(02))_________，P(A|B)＝eq \x(\s\up1(03))_________ 解析　根据比例分配的分层随机抽样可设抽取的大、中、小型城市的数量分别为2x，mx，x，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx－2x＝4，,mx－x＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,m＝3，))所以n＝2x＋mx＋x＝24. 【例题1】某区域大型城市、中型城市、小型城市的数量之比为2∶m∶1，为了解该区域城市的空气质量情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为n的样本．在样本中，中型城市比大型城市多4个，比小型城市多8个，则n＝(　　) A．24 B．28 C．32 D．36 解析　由题意可知eq \f(n,1200)＝eq \f(21,700)，解得n＝36. 【例题2】现有300名老年人、500名中年人、400名青年人，从中按比例用分层随机抽样的方法抽取n人，若抽取的老年人与青年人共21名，则n的值为(　　) A．15 B．30 C．32 D．36 【通性通法】 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． (2)已知某层个体数量，求总体数量或反之求解：根据比例分配的分层随机抽样，列比例式进行计算． 【例题3】(多选)某中学组织三个年级的学生进行党史 知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图 (如图)和前200名中高一学生排名分布的频率条形 图(如图)，则下列说法正确的是(　　) A．成绩前200名的200人中，高一学生人数比高二学生人数多30 B．成绩第1～100名的100人中，高一学生人数不超过一半 C．成绩第1～50名的50人中，高三最多有32人 D．成绩第51～100名的50人中，高二学生人数比高一的多 【例题4】某品牌为了研究旗下某产品在甲、乙两个平台的销售状况，统计了2023年7月到12月甲、乙官方平台的月营业额(单位：万元)，得到如图所示的折线图．下列说法错误的是(　　) A．乙平台的月营业额的平均值在[31，32]内 B．甲平台的月营业额总体呈上升趋势 C．乙平台的月营业额极差比甲平台的月营业额极差小 D．10、11、12月份的总营业额甲平台比乙平台少 【例题5】为了解某地农村经济情况， 对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭 年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(　　) A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 解析　由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A正确；由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正确；由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，故C错误；由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正确．故选C. 【通性通法】 频率分布直方图的相关结论 (1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. (2)频率分布直方图中纵轴表示eq \f(频率,组距)，故每组样本的频率为组距×eq \f(频率,组距)，即矩形的面积． (3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数． 【例题6】为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位：分钟)，分别为53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x＝(　　) A．58或64 B．59或64 C．58 D．59 解析　将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79.若x≤57，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，它们的差为4，不符合条件；若x≥79，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若57<x<79，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61(或61和x)，则|x－61|＝3，解得x＝58或x＝64.故选A. 【通性通法】 计算一组n个数据第p百分位数的步骤 【例题7】10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a 解析　将生产的件数由小到大排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，a＝eq \f(1,10)×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，b＝15，c＝17.因此c>b>a.故选B. 【通性通法】 频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：各组区间的中点值与对应频率之积的和． 【例题8】甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 解　(1)eq \o(x,\s\up16(－))甲＝eq \f(1,8)×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85， eq \o(x,\s\up16(－))乙＝eq \f(1,8)×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85， seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,8)×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5， seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,8)×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41. (2)由(1)知eq \o(x,\s\up16(－))甲＝eq \o(x,\s\up16(－))乙，seq \o\al(2,甲)<seq \o\al(2,乙)， 甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适． 【通性通法】 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 【例题9】　为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.5，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为1，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为________． 解析　该地区中学生每天睡眠时间的平均数为eq \f(800,1200＋800)×9＋eq \f(1200,1200＋800)×8＝8.4(小时)，该地区中学生每天睡眠时间的方差为eq \f(800,1200＋800)×[0.5＋(9－8.4)2]＋eq \f(1200,1200＋800)×[1＋(8－8.4)2]＝1.04. 【通性通法】 在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为eq \o(x,\s\up16(－))，方差为seq \o\al(2,1)；第二层的样本量为n，平均值为eq \o(y,\s\up16(－))，方差为seq \o\al(2,2)，则样本的平均值为eq \o(w,\s\up16(－))＝eq \f(m\o(x,\s\up16(－))＋n\o(y,\s\up16(－)),m＋n)，样本的方差为s2＝eq \f(1,m＋n){m[seq \o\al(2,1)＋(eq \o(x,\s\up16(－))－eq \o(w,\s\up16(－)))2]＋n[seq \o\al(2,2)＋(eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(w,\s\up16(－)))2]}． 特别地，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数eq \o(w,\s\up16(－))估计总体平均数eq \o(W,\s\up16(－))，用样本方差s2估计总体方差S2. 【例题10】“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，分别为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器．某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至多研究一个黑匣子”，事件D为“两个黑匣子都研究”．则(　　) A．A与C是互斥事件 B．B与D是对立事件 C．B与C是对立事件 D．C与D是互斥事件 解析　事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件B为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；事件C为“至多研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“两个黑匣子都不研究”；事件D为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”．对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确；对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件，故D正确．故选D. 【例题11】某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； (2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值． 解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq \f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq \f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a. 解析　若受血者为A型血，则O型血和A型血可以为这位受血者输血，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为0.41＋0.28＝0.69. 考点二　互斥事件与对立事件的概率 【例题12】人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的．设X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X→X；②O→X；③X→AB.已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则，若受血者为A型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为(　　) A．0.31 B．0.48 C．0.65 D．0.69 【通性通法】 求互斥事件概率的一般方法 直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算 间接法 先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up16(－)))求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法比较简便 【例题13】我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为(　　) A．eq \f(3,56) B．eq \f(3,28) C．eq \f(1,7) D．eq \f(1,5) 解析　大于3且不超过20的素数为5，7，11，13，17，19，共6个，随机选取2个不同的数，分别为(5，7)，(5，11)，(5，13)，(5，17)，(5，19)，(7，11)，(7，13)，(7，17)，(7，19)，(11，13)，(11，17)，(11，19)，(13，17)，(13，19)，(17，19)，共15种选法，其中恰好是一组孪生素数的有(5，7)，(11，13)，(17，19)，共3种，故随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5). 【通性通法】 公式法求解古典概型问题的步骤 【例题14】袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，B表示事件“第二次取出的球上数字是2”，C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出(　　) A．B与D相互独立 B．A与D相互独立 C．B与C相互独立 D．C与D相互独立 解析　由题意可得P(A)＝eq \f(1,4)，P(B)＝eq \f(1,4)，有放回地随机取两次，每次取1个球，两次取出的球上数字之和是5的情况有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4种，所以P(C)＝eq \f(4,4×4)＝eq \f(1,4)；两次取出的球上数字之和是6的情况有(2，4)，(4，2)，(3，3)，共3种，故P(D)＝eq \f(3,4×4)＝eq \f(3,16).对于A，P(BD)＝eq \f(1,4×4)＝eq \f(1,16)，P(B)P(D)＝eq \f(1,4)×eq \f(3,16)＝eq \f(3,64)，则P(BD)≠P(B)P(D)，故B与D不是相互独立事件，故A错误；对于B，P(AD)＝0，P(A)P(D)＝eq \f(1,4)×eq \f(3,16)＝eq \f(3,64)，则P(AD)≠P(A)P(D)，故A与D不是相互独立事件，故B错误；对于C，P(BC)＝eq \f(1,4×4)＝eq \f(1,16)，P(B)P(C)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)，则P(BC)＝P(B)P(C)，故B与C是相互独立事件，故C正确；对于D，P(CD)＝0，P(C)P(D)＝eq \f(1,4)×eq \f(3,16)＝eq \f(3,64)，则P(CD)≠P(C)P(D)，故C与D不是相互独立事件，故D错误． 【通性通法】 判断两个事件是否相互独立的方法 (1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率． (2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． (3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与B，A与B，A与B也相互独立． 【例题15】某产品需要通过两类质量检验才能出货．已知该产品第一类检验单独通过率为eq \f(3,4)，第二类检验单独通过率为p(0<p<1)，规定：第一类检验不通过则不能进入第二类检验，每类检验未通过可修复后再检验一次，修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次，且各类检验间相互独立．若该产品能出货的概率为eq \f(5,6)，则p＝(　　) A．eq \f(2,5) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(5,6) 解析　设Ai表示第i次通过第一类检验，Bi表示第i次通过第二类检验(i＝1，2)，由题意得P(A1B1＋A1A2B1＋A1B1B2＋A1A2B1B2)＝eq \f(5,6)，即eq \f(3,4)p＋eq \f(1,4)×eq \f(3,4)p＋eq \f(3,4)×(1－p)p＋eq \f(1,4)×eq \f(3,4)×(1－p)p＝eq \f(5,6)，解得p＝eq \f(2,3)或p＝eq \f(4,3)(舍去)． 【通性通法】 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 一、单项选择题 1．下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　) A．质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验 B．课堂上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的 C．老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性 D．某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑 解析　对于A，错在“一次性”抽取；对于B，老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不具备“等可能性”；对于C，错在总体个数是无限的． 2.(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　) A．Ceq \o\al(45,400)·Ceq \o\al(15,200)种 B．Ceq \o\al(20,400)·Ceq \o\al(40,200)种 C．Ceq \o\al(30,400)·Ceq \o\al(30,200)种 D．Ceq \o\al(40,400)·Ceq \o\al(20,200)种 解析　根据比例分配的分层随机抽样的定义知，初中部共抽取60×eq \f(400,600)＝40名，高中部共抽取60×eq \f(200,600)＝20名，根据组合数概念和分步乘法计数原理，不同的抽样结果共有Ceq \o\al(40,400)·Ceq \o\al(20,200)种．故选D. 解析　8名学生的成绩从小到大排列为63，68，76，77，82，88，92，93，因为8×75%＝6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即eq \f(1,2)×(88＋92)＝90(分)． 3.学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是68，63，77，76，82，88，92，93，则这8名学生成绩的75%分位数是(　　) A．88分 B．89分 C．90分 D．92分 解析　对于A，样本中支出在[50，60)内的频率为 1－(0.010＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；对于C， n＝eq \f(60,0.3)＝200，故n的值为200，故C正确；对于B， 样本中支出不少于40元的人数为200×(0.036×10＋0.3)＝132，故B正确；对于D，若该校有2000名学生，则可能有600人的支出在[50，60)内，故D错误． 4.某学校有男生400人，女生600人，为调查该校全体学生每天运动时间的情况，按照男女比例通过分层随机抽样的方法取到一个样本，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10，女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20.结合数据，估计该校全体学生每天运动时间的方差为(　　) A．15 B．16 C．96 D．112 解析　由题意，用比例分配的分层随机抽样的方式抽取样本，且该样本中男、女生的比为eq \f(400,600)＝eq \f(2,3)，不妨设抽取的男、女生人数分别为2n，3n，那么样本的总数为5n.则所有样本的平均值为eq \f(1,5n)×(80×2n＋60×3n)＝68，方差为eq \f(2n,5n)×[10＋(80－68)2]＋eq \f(3n,5n)×[20＋(60－68)2]＝112.故选D. 5．某市教育部门组织高中教师在暑假期间进行培训，培训后统一举行测试．随机抽取100名教师的测试成绩(单位：分，满分100分)进行统计，得到如图所示的频率分布折线图，则下列说法正确的是(　　) A．这100名教师的测试成绩的极差是20分 B．这100名教师的测试成绩的众数是90分 C．这100名教师的测试成绩的中位数是87.5分 D．这100名教师中测试成绩不低于90分的人数占比超过50% 解析　对于A，由题意知，这100名教师的测试成绩的最高分与最低分无法确定，故极差无法确定，故A错误；对于B，由题图易知这100名教师的测试成绩的众数为87.5分，故B错误；对于C，设这100名教师的测试成绩的中位数为x分，则(0.02＋0.04)×5＋(x－85)×0.08＝0.5，解得x＝87.5，故C正确；对于D，这100名教师中测试成绩不低于90分的人数占比为(0.03＋0.03)×5×100%＝30%，30%＜50%，故D错误．故选C. 6．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是(　　) A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件 C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件 解析　对于A，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误；对于B，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误；对于C，A∪C与B∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪C)＋P(B∪D)＝1，故C错误；对于D，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确． 7.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示．其中n(Ω)＝12，n(A)＝6，n(B)＝4，n(A∪B)＝8，则事件A与事件B(　　) A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 解析　因为n(Ω)＝12，n(A)＝6，n(B)＝4，n(A∪B)＝8，所以n(A∩B)＝2，n(A∩B)＝4，n(B)＝8，所以事件A与事件B不是互斥事件；P(AB)＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，P(A)P(B)＝eq \f(6,12)×eq \f(8,12)＝eq \f(1,3)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B是独立事件．故选B. 解析　∵P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(1,9)≠0，∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥，故不对立． 8．若P(AB)＝eq \f(1,9)，P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A与B的关系是(　　) A．互斥 B．对立 C．相互独立 D．既互斥又相互独立 二、多项选择题 9．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个样本量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有60人，则下列说法正确的是(　　) A．样本中支出在[50，60)内的频率为0.03 B．样本中支出不少于40元的人数为132 C．n的值为200 D．若该校有2000名学生，则一定有600人的支出在[50，60)内 10.某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图，以样本估计总体，则下列结论中正确的是(　　) A．该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80% B．该公司职工测试成绩的中位数约为70分 C．该公司职工测试成绩的平均值约为68分 D．该公司职工测试成绩的众数约为60分 解析　对于A，该公司职工的测试成绩不低于60分的频率为(0.02＋0.015)×20＝0.70，∴该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的70%，故A错误；对于B，测试成绩在[20，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，测试成绩在[60，80)的频率为0.02×20＝0.4，∴该公司职工测试成绩的中位数约为60＋eq \f(0.5－0.3,0.4)×20＝70分，故B正确；对于C，该公司职工测试成绩的平均值约为eq \o(x,\s\up16(－))＝30×0.005×20＋50×0.01×20＋70×0.02×20＋90×0.015×20＝68分，故C正确；对于D，该公司职工测试成绩的众数约为eq \f(60＋80,2)＝70分，故D错误．故选BC. $$