第13章 立体几何初步（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

苏教版(2019) 必修二 第13章 立体几何初步 考点大串讲 串讲05 第13章 立体几何初步 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 4大常考点：知识梳理、思维导图 11个题型典例剖析+技巧点拨 精选15道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 ⁠ ⁠ ⁠ 底面 互相 　平行　⁠且 　全等　⁠ 多边形 互相 　平行　⁠且 　相似　⁠ 侧棱 互相 　平行　⁠且 　相等　⁠ 相交于一点，但不一定相等 延长线交于 　一点　⁠ 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 平行　 全等　 平行　 相似　 平行　 相等　 一 点　 提醒　四棱柱、四面体的结构特征及关系 考点2．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 母线 互相平行且相等， 　垂直　⁠于底面 长度 　相等　⁠且相交于一点 长度相等且延长线交于 　一点　⁠ 轴截面 全等的 　矩形　⁠ 全等的 　等腰三角形　⁠ 全等的 　等腰梯形　⁠ 圆面 侧面展开图  　矩形　⁠ 扇形 扇环 垂直　 相等　 一点　 矩形　 等腰三 角形　 等腰梯形　 矩形　 考点3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式   圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图       侧面积公式 S圆柱侧＝_____ S圆锥侧＝____ S圆台侧＝_________ 2πrl πrl π(r1＋r2)l 考点4．空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝ 　Sh　⁠ 台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝ 　（S上＋S下＋）h　⁠ 球 S＝4πR2 V＝ 　πR3　⁠ Sh　 （S上＋S下＋） h　 πR3　 ⁠ 1.原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：（1）S直观图＝S原图形；（2）S原图形＝2S直观图. 2.几个与球有关的切、接常用结论 （1）设正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.   （2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R， 则2R＝；   （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. ⁠ 1.基本事实1的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 2.唯一性定理 （1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； （3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直； （4）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 题型剖析 02 PART 题型1.空间几何体的表（侧）面展开图、直观图 【例1】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 （　　） A.2 B.2 C.4 D.4 解析　 设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，所以2π×＝πl，解得l＝2，故选B. 答案　 B　 1.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.平行于x轴的线段的平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段的平行性不变，长度减半. 2.利用空间几何体的展开图可以解决以下问题：（1）求几何体的表面积或侧面积；（2）求几何体表面上任意两个点的最短表面距离. ｜解题技法｜ 题型2 空间几何体的表面积 【例2】　已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为 （　　） A.2π B.π＋8 C.2π＋8 D.4π＋8 解析　因为一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，所形成的几何体为柱体，该柱体是底面半径r为2，高h为2的圆柱的八分之一，所以其表面积S＝（2πrh＋2πr2）＋rh×2＝×（2π×2×2＋2π×22）＋2×2×2＝2π＋8.故选C. 答案　C ｜解题技法｜ 求空间几何体表面积的类型及方法 （1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； （2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系； （3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积. ⁠ 【例3】以下四个命题中，真命题为 （　　） A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 B.底面是矩形的平行六面体是长方体 C.直四棱柱是直平行六面体 D.棱台的两个底面所在的平面互相平行 解析：D　A中，等腰三角形的腰不一定是侧棱，A是假命题；B中，侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题；C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，C不正确；根据棱台的定义，D是真命题. 题型3. 空间几何体的结构特征 ｜练后悟通｜ 辨别空间几何体的两种方法 题型4. 直接利用公式求体积 【例4】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2， 则其体积为（　　） A.20＋12 B.28 C. D. 解析　 如图，分别取上下底面的中心O1，O，过B1作B1M⊥OB于点M，则OB＝2，O1B1＝，BM＝，B1M＝＝， 故四棱台的体积为V＝（S上＋S下＋）h ＝×（4＋16＋8）×＝，故选D. 答案　 D　 题型5.等积法求体积 【例5】 棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为 　　　　⁠.  解析　如图，由正方体棱长为2，得＝2×2－2××2×1－×1×1＝，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，∴＝＝··D1A1＝××2＝1. 答案　1 题型6.割补法求体积 【例6】　《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图），下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是 （　　） A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.8立方丈 解析　如图，过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，连接EP，EQ，FM，FN，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形.则它的体积V＝V四棱锥E－AQPD＋V三棱柱EPQ－FMN＋V四棱锥F－NBCM＝·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋·FH·S矩形NBCM＝×1×1×3＋×3×1×2＋×1×1×3＝5（立方丈）. 答案　B ⁠ 答案　B ｜解题技法｜ 求空间几何体的体积的三种方法 题型7.平面基本事实的应用. 【例7】　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证： （1）E，C，D1，F四点共面； 证明　（1）如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面. （2）CE，D1F，DA三线共点. 证明　（2）∵EF∥CD1，EF＜CD1， ∴CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示. 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD， 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA， ∴CE，D1F，DA三线共点. ｜解题技法｜ 共面、共线、共点问题的证明方法 题型8.空间两条直线位置关系的判定 【例8】　若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 （　　） A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交 解析　 法一（反证法）：由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交. 法二（模型法）：如图①，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A、B不正确；如图②，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确. 答案　（1）D　 ｜解题技法｜ 空间两直线位置关系的判定方法 【例9】　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 （　　） A. B. C. D. 题型9.异面直线所成的角 解析　如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角.因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝.所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝.故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 答案　C ｜解题技法｜ 平移法求异面直线所成的角的三个步骤 （1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； （2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角； （3）三求：解三角形，求出所作的角. 题型10.与几何体内切球有关的问题 【例10】 已知高为4的圆锥外接球的体积为36π，则圆锥的体积为（　　） A. B. C. D.32π 解析　 设圆锥外接球的球心为O，半径为R，圆锥的底面圆的半径为r.由题意得R3＝36π，∴R＝3，∴球心O到圆锥底面的距离d＝4－3＝1，∴r2＝R2－d2＝8，∴该圆锥的体积为πr2h＝π×8×4＝，故选A. 答案　 A　 ｜解题技法｜ 外接球的半径的求解策略 （1）补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用它们外接球半径公式求解； （2）性质法：球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点的连线与弦垂直. 题型11.与球切、接有关的最值问题 【例11】　已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 （　　） A. B. C. D. 解析　设四棱锥的底面是正方形，底面正方形外接圆的半径为r，四棱锥的高为h，则r2＋h2＝1，r＝，正方形的边长为r＝ ，所以四棱锥的体积V＝Sh＝（1－h2）h＝（－h3＋h）.令f（h）＝－h3＋h（0＜h＜1），则f'（h）＝－3h2＋1，令f'（h）＝－3h2＋1＝0，得h＝，所以f（h）在上单调递增，在上单调递减，所以当h＝时，f（h）取得最大值，所以当四棱锥的体积最大时，其高为，故选C. 答案　C ｜解题技法｜ 处理与球切、接有关最值问题的解题策略 （1）截面法：①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. （2）代数法：找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等. 押题预测 03 PART 1.下列说法中正确的是 （　　） A.棱柱的侧面可以是三角形 B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等 解析：C　棱柱的侧面都是平行四边形，A错误；其他侧面可能是平行四边形，B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，D错误；易知C正确. 2.下列结论正确的是 （　　） A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.若正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 解析：D　由图①知，A错误；如图②，当两个平行截面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确. 3.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若＝2，则＝ （　　） A. B.2 C. D. 解析　（2）法一：因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合＝2可知，甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝＝，h2＝＝2，所以＝＝＝.故选C. ⁠ 4.如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为 （　　） A.90π B.63π C.42π D.36π 解析：B　由几何体的直观图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B. 5.某圆锥的体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面的半径之比为1∶2，则该圆台的体积为 （　　） A. B. C. D. 解析：A　该圆锥的轴截面如图所示，其中等腰梯形DECB为截得的圆台的轴截面，DE∥BC.由圆台上底面和下底面的半径之比为1∶2，可得＝.过A作AF⊥BC，垂足为F，且AF交DE于H，易知△ADE∽△ABC，所以＝＝，则＝1－＝，即截得的圆台的体积是该圆锥体积的，又该圆锥的体积是1，所以该圆台的体积是.故选A. 6.在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是 （　　） A.圆面 B.矩形面 C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面 解析：C　将圆柱桶竖直放，水平面为圆面；将圆柱桶斜放，水平面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水平面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可能呈现出梯形面. 7.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 则三棱锥A－B1CD1的体积为 （　　） A. B. C.4 D.6 解析：B　如图，三棱锥A－B1CD1是由正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个小三棱锥A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD剩余的部分，又＝23＝8，＝＝＝＝××23＝，所以＝8－4×＝. 8.圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为 （　　） A. cm B.15 cm C.10 cm D.20 cm 解析：B　设玻璃球的半径为r cm，则πr2·10＋πr3＝πr2·2r，解得r＝15.故选B. 9.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点， 且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为 （　　） A. B. C. D. 解析：A　如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O－ABC的体积V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝. 解析　（2）由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A. 答案　（2）A 10.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （　　） A.100π B.128π C.144π D.192π ⁠ 11.已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则 （　　） A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 解析：D　在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误，故选D. 12.定义：通过24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)来判断降雨程度；其中小雨(0 mm－10 mm)，中雨(10 mm－25 mm)，大雨(25 mm－50 mm)，暴雨(50 mm－100 mm)；小明用一个圆锥形容器(如图)接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级 A.小雨　　　B.中雨　　　C.大雨　　　D.暴雨 √ 由题意可知，这天降雨属于中雨. 13.若正四棱锥的底面边长和高都为2，则其表面积为 　　　　⁠.  解析：如图，由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，则正四棱锥的斜高PE＝＝.所以该四棱锥的侧面积S＝4××2×＝4，所以S表＝2×2＋4＝4＋4. 答案：4＋4 ⁠ 答案：4＋4 法二：设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，侧面展开图的圆心角分别为n1，n2，则由＝＝＝2，得＝＝2.由题意知n1＋n2＝2π，所以n1＝，n2＝，所以2πr1＝l，2πr2＝l，得r1＝l，r2＝l.由勾股定理得，h1＝＝l，h2＝＝l，所以＝＝＝.故选C. 答案　（2）C 14.若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则此正三棱台的侧面积为 　　　　⁠.  解析：如图，设O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中，OD＝××2a＝a，O1D1＝××a＝a，∴DE＝OD－O1D1＝a.在Rt△DED1中，D1E＝a，则D1D＝＝＝a.∴S侧＝3×（a＋2a）a＝a2. 答案：a2 15.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD＝60°，∠BDC＝45°，△ADP∽△BAD. （1）求线段PD的长； 解：（1）∵BD是圆的直径，∴∠BAD＝90°， 又△ADP∽△BAD，∴＝， ∴PD＝＝＝＝3R. （2）若PC＝R，求三棱锥P－ABC的体积. 解：（2）在Rt△BCD中，CD＝BD·cos 45°＝R. ∵PD2＋CD2＝9R2＋2R2＝11R2＝PC2， ∴PD⊥CD，又由△ADP∽△BAD，知∠PDA＝90°，∴PD⊥AD，又AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD. ∵S△ABC＝AB·BC·sin（60°＋45°）＝R·R·＝R2， ∴V三棱锥P－ABC＝S△ABC·PD＝×R2×3R＝R3. 由题意，一个半径为＝100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为×＝50(mm)，高为150(mm)的圆锥， 所以积水的厚度为＝12.5(mm)， $$