第9章 平面向量（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

苏教版(2019) 必修二 第9章 平面向量考点大串讲 串讲01 第9章 平面向量 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 9大常考点：知识梳理、思维导图 10个题型典例剖析+技巧点拨 精选16道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点1． 向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有 　方向　⁠的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 　长度（模）　⁠； （2）零向量：长度为 　0　⁠的向量，记作0； （3）单位向量：长度等于 　1个单位　⁠长度的向量； （4）平行向量：方向相同或 　相反　⁠的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行；   方向　 长 度（模）　 0　 1个单位　 相反　 （5）相等向量：长度相等且方向 　相同　⁠的向量； （6）相反向量：长度相等且方向 　相反　⁠的向量. 提醒　单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.   相同　 相反　 考点2．向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 （或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 ⁠ ⁠ 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：（a＋b）＋c＝ 　a＋（b＋c）　⁠ 减法 求两个向量差的运算 ⁠ a－b＝a＋（－b） a＋ （b＋c）　 续表 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，当λ＞0时，λa与a的方向 　相同　⁠； 当λ＜0时，λa与a的方向 　相反　⁠； 当λ＝0时，λa＝0 λ（μa）＝ 　（λμ）a　⁠； （λ＋μ）a＝λa＋μa； λ（a＋b）＝λa＋λb 相同　 相 反　 （λμ）a　 考点3．共线向量定理 向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 　b＝λa　⁠. 提醒　当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一. b＝λa　 考点4．平面向量基本定理 （1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 　有且只有　⁠一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2； （2）基底：若e1，e2不共线　 ⁠，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 提醒　（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一. 有且只有　 不共线　 考点5.平面向量的坐标运算 （1）向量的加法、减法、数乘及向量的模 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝ 　（λx1，λy1）　⁠，｜a｜＝ ； （2）向量坐标的求法 （λx1，λy1）　 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝ 　（x2－x1，y2－y1）　⁠，｜｜＝ . 提醒　若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＝b⇔ （x2－x1，y2－y1）　 考点6.平面向量共线的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，则a∥b⇔ 　x1y2－x2y1＝0　⁠. 提醒　（1）a∥b的充要条件不能表示为 ＝，因为x2，y2有可能为0；（2）当且仅当x2y2≠0时，a∥b与 ＝ 等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. x1y2－x2y1＝0　 考点7.向量的夹角 （1）定义：已知两个 　非零　⁠向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角，记作<a，b>； 非零　 （2）范围：夹角θ的范围是 　[0，π]　⁠.当θ＝0时，两向量a，b共线且同向　⁠；当θ＝时，两向量a，b相互垂直 　⁠，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b 共线但反向 　⁠. 提醒　只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角. [0，π]　 共线且同向　 相互垂直　 共线但反向 考点8.平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量  　｜a｜｜b｜cos θ　⁠叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝ 　｜a｜｜b｜cos θ　⁠.  规定：零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影向量： 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量，记为＝·； ｜a｜｜cos θ　 ｜a｜｜b｜cos θ　 （3）运算律 ①交换律：a·b＝b·a； ②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）； ③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c. 提醒　（1）乘法结合律，（a·b）c≠a（b·c）（这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线）；（2）乘法消去律，a·b＝a·c⇒/ b＝c（如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥（b－c））. 考点9.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝｜a｜｜b｜cos θ a·b＝ 　x1x2＋y1y2　⁠ 模 ｜a｜＝ ｜a｜＝ 　　⁠ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ x1x2＋y1y2　 　 几何表示 坐标表示 a⊥b的充要条件 a·b＝0  　x1x2＋y1y2　⁠＝0 a∥b的 充要条件 a＝λb（λ∈R）  　x1y2－x2y1　⁠＝0 ｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立） ｜x1x2＋y1y2｜≤ x1x2＋y1y2　 x1y2－x2y1　 提醒　（1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. 题型剖析 02 PART 题型1 平面向量的基本概念 【例1】设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是 （　　） A.a＝－b B.a∥b C.a＝2b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜ 解析：C　因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝.所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A、B、D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件. ｜练后悟通｜ 向量有关概念的关键点 （1）向量定义的关键是方向和长度； （2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制； （3）相等向量的关键是方向相同且长度相等； （4）单位向量的关键是长度等于1个单位长度； （5）零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线. 题型2向量的线性运算 【例2】　在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝ （　　） A.a＋b B.a＋b C.a－b D.a－b 解析　法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故选A. 法二：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b，故选A. 法三：由＝，得－＝（－），所以＝＋（－）＝＋＝a＋b，故选A. 答案　A ｜解题技法｜ 平面向量的线性运算的求解策略 题型3. 根据向量线性运算求参数 【例3】　在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝（　　） A. B. C.－ D.－ 解析　由题意，知＝＝（＋）＝＋×＝＋（－）＝－＋，又＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝. 答案　A 题型3. 根据向量线性运算求参数 ｜解题技法｜ 　　与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过相等向量或共线向量等条件列出关于参数的方程（组）求得相关参数的值. 题型4.共线向量定理的应用 【例4】　设两向量a与b不共线. （1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）.求证：A，B，D三点共线； 解　（1）证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）. ∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5，∴，共线.又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线. （2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 解　（2）∵ka＋b与a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），即ka＋b＝λa＋λkb， ∴（k－λ）a＝（λk－1）b. ∵a，b是不共线的两个向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. ｜解题技法｜ 提醒　证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点. 题型5.平面向量基本定理的应用 【例5】　 如图所示，在△ABC中，＝3，＝2，＝a，＝b，则＝（　　） A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b 解析　 ＝－＝－＝－＝＋（－）－＝－＝a－b，故选B. 答案　 B　 ｜解题技法｜ 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 提醒　同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解是唯一的. 题型6利用向量共线求向量或点的坐标 【例6】　已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 　　　　⁠.  解析　法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝（4λ，4λ），则＝－＝（4λ－4，4λ）.又＝－＝（－2，6），由与共线，得（4λ－4）×6－4λ×（－2）＝0，解得λ＝，所以＝＝（3，3），所以点P的坐标为（3，3）. 法二：设点P（x，y），则＝（x，y），因为＝（4，4），且与共线，所以＝，即x＝y.又＝（x－4，y），＝（－2，6），且与共线，所以（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为（3，3）. 答案　（3，3） ｜解题技法｜ 　　利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路：求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa（λ∈R），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.求点的坐标时，可设要求点的坐标为（x，y），根据向量共线的条件列方程（组），求出x，y的值. 题型7.平面向量数量积的基本运算 【例7】已知＝（2，3），＝（3，t），｜｜＝1，则·＝（　　） A.－3 B.－2 C.2 D.3 解析：C　因为＝－＝（1，t－3），所以｜｜＝＝1，解得t＝3，所以＝（1，0），所以·＝2×1＋3×0＝2. ｜练后悟通｜ 求非零向量a，b的数量积的3种方法 （1）定义法：已知或可求两个向量的模和夹角； （2）基底法：直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解； （3）坐标法：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积. 题型8.平面向量的模 【例8】　 已知向量a，b满足｜a｜＝6，｜b｜＝4，且a与b的夹角为60°，则｜a＋b｜＝ 　　　　　⁠，｜a－3b｜＝ 　　　　⁠；  解析　 因为｜a｜＝6，｜b｜＝4，a与b的夹角为60°，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝6×4×＝12，（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，（a－3b）2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108，所以｜a＋b｜＝2，｜a－3b｜＝6. 答案　 2　6　 ｜解题技法｜ 求平面向量的模的两种方法 题型9.平面向量的夹角 【例9】　 已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝ （　　） A.－6 B.－5 C.5 D.6 解析　 由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos<a，c>＝cos<b，c>，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C. 答案　 C ｜解题技法｜ 求平面向量的夹角的方法 题型10.平面向量的垂直 【例10】 已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是 （　　） A.a＋2b B.2a＋b C.a－2b D.2a－b 解析　 法一：由题意，得a·b＝｜a｜·｜b｜cos 60°＝.对于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）⊥b.故选D. 答案　 D　 法二：不妨设a＝，b＝（1，0），则a＋2b＝，2a＋b＝（2，），a－2b＝，2a－b＝（0，），易知，只有（2a－b）·b＝0，即（2a－b）⊥b，故选D. 押题预测 03 PART √ 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，AE的延长线交CD于点F， 2.下列说法正确的是 （　　） A.若｜a｜＝｜b｜，则a＝b或a＝－b B.若ma＝mb，m∈R，则a＝b C.若a∥b，b∥c，则a∥c D.若ma＝0，m∈R，则m＝0或a＝0 解析：D　对于A，当a＝（1，1），b＝时，满足｜a｜＝｜b｜，但a≠±b，故A错误；对于B，当a＝（1，1），b＝（1，2），m＝0时，满足ma＝mb＝0，但a≠b，故B错误；对于C，当a＝（1，1），b＝0，c＝（1，2）时，满足a∥b，c∥b，但不满足a∥c，故C错误；对于D，由ma＝0，得m＝0或a＝0，故D正确.综上所述，选D. 3.已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b（m，n∈R），则与共线的条件是 （　　） A.m＋n＝0 B.m－n＝0 C.mn＋1＝0 D.mn－1＝0 解析：D　由＝a＋mb，＝na＋b（m，n∈R）共线，得a＋mb＝λ（na＋b），即所以mn－1＝0. 4.已知平面向量a，b，c均为单位向量，且｜a－b｜＝1，则（a－b）·（b－c）的最大值为 （　　） A. B. C.1 D. 解析：B　依题意，1＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2a·b，故a·b＝，所以（a－b）·（b－c）＝a·b－b2－（a－b）·c＝（b－a）·c－＝｜b－a｜｜c｜·cos＜b－a，c＞－≤1－＝，当且仅当b－a与c同向时取等号.所以（a－b）·（b－c）的最大值为.故选B. 5.已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝，｜a－2b｜＝3，则a·b＝ （　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析：C　由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又｜a｜＝1，｜b｜＝，所以a·b＝1，故选C. 6.已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，则cos＜a，a＋b＞＝ （　　） A.－ B.－ C. D. 解析　 由题意，得a·（a＋b）＝a2＋a·b＝25－6＝19，｜a＋b｜＝＝＝7，所以cos＜a，a＋b＞＝＝＝，故选D. 答案　 D 7.已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点.＝（2，4），＝（1，3），若点E满足＝3，则点E的坐标为 （　　） A. B. C. D. 解析：A　易知＝－＝（－1，－1），则C（－1，－1），设E（x，y），则3＝3（－1－x，－1－y）＝（－3－3x，－3－3y），由＝3知解得所以E. 8.已知点A（8，－1），B（1，－3），若点C（2m－1，m＋2）在直线AB上，则实数m＝ （　　） A.－12 B.13 C.－13 D.12 解析：C　因为点C在直线AB上，所以与共线.又＝（－7，－2），＝（2m－9，m＋3），故＝，所以m＝－13.故选C. ⁠ 9.如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是 （　　） A.＝ B.＝ C.＝－ D.＝ 解析：D　由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误. ⁠ 10.如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则＝ （　　） A.－ B.2－2 C.－ D.2－2 解析：D　连接CD（图略），∵C，D是半圆弧的三等分点，∴CD∥AB，且AB＝2CD，因此＝2＝2（－）＝2－2. 11.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝ （　　） A.1 B. C. D.－ 解析：C　因为D为BC的中点，E为AD的中点，所以＝－＝－＝－＝－，因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝－，则λ＋μ＝. ⁠ 12.已知向量e1＝（1，1），e2＝（0，1），若a＝e1＋λe2与b＝－（2e1－3e2）共线，则实数λ＝ 　　　　⁠.  解析：由题意知a＝e1＋λe2＝（1，1＋λ），b＝－（2e1－3e2）＝（－2，1）.由于a∥b，所以1×1＋2（1＋λ）＝0，解得λ＝－. 答案：－ 13.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则＝ 　　　　⁠.  解析 由题图可设＝x（0＜x＜1），则＝x（＋）＝x＝＋x.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝. 答案　 14.在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝（4，3），＝（1，5），则＝ 　　　　⁠，＝ 　　　　⁠.  解析：＝－＝（1，5）－（4，3）＝（－3，2），＝＋＝＋2＝（4，3）＋2（－3，2）＝（－2，7），＝3＝3（－2，7）＝（－6，21）. 答案：（－3，2）　（－6，21） 15.已知在△ABC中，点O满足＋＋＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是 　　　　⁠.  解析：依题意，设＝λ（0＜λ＜1），由＋＋＝0，知＝－（＋），所以＝－λ－λ，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，0）. 答案：（－2，0） 16.设向量a，b的夹角的余弦值为，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝ 　　　　⁠.  解析：（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜·｜b｜·cos＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×＋32＝11. 答案：11 1.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若＝a，＝b，则等于 A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 则＝＝， 所以＝＝， 则＝＋＝＋＝a＋b. 则△DEF∽△BEA，所以＝＝， $$