专题12 三角形-2024年全国初中数学重点高中自招竞赛试题汇编

专题12 三角形（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在四边形ABCD中，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理等腰直角三角形的判定和性质．将原图补成长方形，则，，可得是等腰直角三角形，，再由直角三角形的性质可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，将原图补成长方形，则，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为： 2．（2024九年级·全国·竞赛）已知在中，，在斜边上有一点，把绕点按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了利用旋转性质，根据旋转性质可知，，，从而利用解三角形求出，，，再由两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∵两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ∴两个三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为， 故答案为． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图，和都为等腰直角三角形，点在上，点在的延长线上，，现将绕点旋转，得到，连接，过点作，垂足为点，直线交于点，则线段的长度为 ． 【答案】或 【分析】分按顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，连接，利用勾股定理，含30度角的直角三角形的特征求出，根据等面积法求出，证明，得到，易得四边形为平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质即可求解． 【详解】解：如图1和图2，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，连接， 则有，得， ， 由等面积法有； ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 在图1中，， 在图2中，同理得：． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的特征，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在正方形中，点E在上，，连接，过点A作交于点，的延长线交于点F，设四边形的面积与的面积之比为a，正方形的面积与的面积之比为b，则 ． 【答案】12 【分析】设，则，，先根据证明，则可得，根据勾股定理可求得，再证明，则可得，先求出，再代入上式求出，则可得，进而可求得a的值．再求出，即可求出b的值，从而可得值． 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，求出a和b的值是解题的关键． 【详解】， ∴设，则，， 正方形中，，， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 5．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，，如果，那么的长度为 ．    【答案】2 【分析】过点A作于点，过点作交于点，先证明和均为等腰直角三角形，得到，然后证明，得到，再利用直角三角形的性质及勾股定理，求出，进而得到，由此即得答案． 【详解】解：如图，过点A作于点，过点作交于点， ， ，， ，， 和均为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为：2．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次根式的计算，直角三角形的性质，勾股定理，构造全等三角形是解答本题的关键． 6．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，，，，现将以每秒的速度向左平移，3秒时，与重合部分的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，与相交于点J，于相交于点K，与相交于点H，作垂直于，交于点G，连接 ，与的交点为点I，可证，利用其性质得，则，再证，易证得为等腰三角形，可得I为的中点，再证，利用其性质可得，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，3秒时，与相交于点J，于相交于点K，与相交于点H，作垂直于，交于点G，连接 ，与的交点为点I， ∵， ∴，，，，， 由题意可知：，则，， ∴，则， ∴四边形是矩形， ∴，则， ∴，， ∴，则， 在与中，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴I为的中点， ∴，， ∴，可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 7．（2024八年级·全国·竞赛）如图，，，，与交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，构造全等三角形是解答本题的关键．过点A作于点M，于点N，根据手拉手模型证明，得到，然后证明，得到，，进一步推得，再证明，可得，最后根据三角形内角和定理即得答案． 【详解】过点A作于点M，于点N， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 即， ，，， ， ， ． 故答案为：． 8．（2024八年级·全国·竞赛）如图，为等腰直角三角形，，点为内一点，且，点分别是边、上的动点，在运动过程中，的周长最小是 ． 【答案】 【分析】分别作关于对称线段，关于对称线段，连接、，由对称的性质得：，，，当、、、四点共线时，的值最小，此时的值最小，的周长最小为，即可求解． 【详解】解：如图，分别作关于对称线段，关于对称线段，连接、， 由对称得：， ， ， 当、、、四点共线时， 的值最小， 此时的值最小， 的周长最小为， 如图， 由对称得：， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了对称的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握性质，能用对称的性质作图，找出四点共线时取得最小值是解题的关键． 9．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】2016 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设，，，得出，，，根据，得出，将化简为即可得出答案． 【详解】解：设，，， 则， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：2016． 10．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在正方形中，分别在边上，且分别与交于点，连接．下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的有 ．（填序号）    【答案】①②③④ 【分析】先证明点G、A、D、F四点共圆，可得，故①符合题意；证明，可得，故③符合题意；延长至K，使，连接，如图，证明，，可得；故④符合题意；设，则，可得，，故②符合题意. 【详解】解：∵在正方形中，，且， ∴点G、A、D、F四点共圆， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 延长至K，使，连接，如图，    ∵四边形是正方形， ∴， 则在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴；故④符合题意； 设，则， ∴，， ∴，故②符合题意； 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 11．（2024八年级·全国·竞赛）如图，中，，点在内，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建相似三角形的正确解决本题考的关键． 作使，，连接，再利用相似三角形的性质和判定及勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：如图，作使，，连接， 又 又 即 又 ， 在中，， 为， ， 过A作交延长线于F， ， 四边形为矩形， 在中，， ， 在中，， ． 12．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知在中，平分，，若，则的度数为 度．      【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，构造全等三角形是解答本题的关键．延长到E，使得，连结，先证明，再证明，进一步推得，最后根据三角形内角和定理，列方程并求解得到，由此即得的度数． 【详解】延长到E，使得，连结， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为． 13．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在等边内有一点，使得，那么以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为 ． 【答案】5：3：4 【分析】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定与性质，利用图形的旋转添加辅助线是解答本题的关键．将绕点B顺时针旋转得到，连结，可证得是等边三角形，从而得到，，所以就是以，，的长度为边长的三角形，进一步求出的内角度数，即得答案． 【详解】将绕点B顺时针旋转得到，连结， 则，，， 是等边三角形， ，， 就是以，，的长度为边长的三角形， ， ， ， ， ， ， ， 以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为． 故答案为：． 二、单选题 14．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知为等腰直角三角形，斜边上有两点使得，现将绕点A逆时针方向旋转后得到，连接，则下列结论正确的是（    ） ①，②，③，④． A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，为等腰直角三角形，斜边，得到结合，得到，结合，得到；根据，可证，得到，结合，得到，继而得到，从而，结合，可证，得到，根据，可得，继而得到，等量代换可得，从判断③④，计算即可． 【详解】∵为等腰直角三角形，斜边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②④正确；③错误； 故选C． 15．（2024八年级·全国·竞赛）点O为内任点，设，则下列关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 如图：然后求和可判定A选项；延长交于点G，则，，然后通过作差判定B、C、D即可． 【详解】解：如图：， 三式相加得：，即，故A选项不符合题意； 延长交于点G，则，， 两式相加并整理得：． 同理：，． 把这三式相加得：，则，故B、C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 16．（2024九年级·全国·竞赛）如图，点在正方形的边（不与重合）上运动，以为边向外作正方形交于交于，连．下列结论： ①；②；③点为的内心；④．其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先证明，可得，再证明，即，故①正确；证明，，，四点共圆，可得，故②正确；证明平分，如图，连接，再证明平分，可得为的内心，故③正确，如图，过作交于，证明，，可得，可得④正确． 【详解】解： ∵正方形，正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，，，四点共圆， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，，，四点共圆， ∴，， ∴平分， ∴， 如图，连接， ∵， ∴，，，四点共圆， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴为的内心，故③正确， 如图，过作交于， ∴， ∴，， ∴， ∵，，，四点共圆， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选D 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的内心的判定，圆周角定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 17．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在直角中，，点为斜边上的中点，点分别在直角边上运动，且保持，连接，在点的运动过程中，有下列结论：①为等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形；③四边形的面积保持不变；④长度的最小值为4；⑤面积最大值为8．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①连接，根据等腰直角三角形的性质就可以得出，．就可以得出，就可以得出，，得出而得出结论； ②当E、F是的中点时，四边形是正方形； ③由可以得出四边形的面积等于的面积而得出结论； ④设，根据勾股定理就可以得出，得出的最小值为，进而得出结论； ⑤设，面积的S，由三角形的面积公式得，故可以得出结论． 【详解】解：①连接． ∵， ∴． ∵点D位为斜边上的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ②当E、F是的中点时，． ∵， ∴四边形是正方形，故②错误； ③∵四边形的面积， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积， ∴四边形的面积保持不变，故③正确； ④设，由勾股定理，得 ， 当时，的最小值为，故④错误； ⑤设，面积的S，由题意，得 ， ∵， ∴时，，故⑤正确． ∴正确的共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，勾股定理的运用，完全平方公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键． 18．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，，且，连接、、，则下列结论：①，②为等腰三角形，③，④，其中正确的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①根据，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，从而得证结论正确； ②利用求证即可得出结论； ③延长交于点G，交于点F，根据,得出，根据，得出，即可证明结论； ④过点D作于点M，作于点N，证明四边形为矩形，得出，根据直角三角形的性质得出，根据，得出，证明垂直平分，即可得出结论． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形，故②正确； ③延长交于点G，交于点F，如图所示： ∵, ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确． ④过点D作于点M，作于点N，如图所示： 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，故④正确． 综上分析可知，正确的结论为①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题． 19．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，点是内一点，已知，如果，那么（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作，延长，作的平分线，交的延长线于点E，连接，证明，得出，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理求出，得出，根据勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】解：过点D作，延长，作的平分线，交的延长线于点E，连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵等腰三角形“三线合一”， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 20．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（    ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，熟练应用等腰三角形的判定和性质是解题的关键．过点F作，则，从而易证，因此，故（1）正确；在AD上截取，则，且易证为等腰三角形，从而，因此，故（2）正确；连接AG，利用等面积法，易证（4）正确． 【详解】解：如图，过点F作， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故（1）正确； 在AD上截取， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故（2）正确； 连接AG，过点作，，，垂足分别为，，， ，，， ， ， ， ， 点G到AB，AC的距离之和为定值， 故（4）正确； 故选：C 三、解答题 21．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，将绕点按逆时针方向旋转得到． (1)求点到点的距离； (2)求点到的距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）过点作，垂足为点，则有垂直平分，然后可得出，根据角所对直角边是斜边的一半即可求解； （）连接，由，，得，从而证明，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，过点作，垂足为点， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵在中，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在等腰直角中，， ∴， ∴，解得或 其中不合题意，舍去， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法和角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 22．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在直角梯形中，，，，过点C作交的平分线于点E，连接． (1)求证：； (2)将绕点B按顺时针方向旋转得到，连接，求证：被垂直平分； (3)延长交于点G，求证：点G为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）延长交于点由平行线的性质可得，再由三角形函数可得，最后可得结论； （2）由线段垂直平分线的判定证明即可； （3）连接，由线段垂直平分线性质可得，由等腰三角形性质得出，再证最后由全等的性质可得结果． 【详解】（1）证明：延长交于点如图， ， ， ， ， 即． （2）证明：平分， ， 又 垂直平分． （3）证明：如图，连接， 垂直平分 ， 而， ， ， 由（1）知 ， ， ， ， 即点G为的中点． 23．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知为等边三角形，在上取一点（与点、不重合），以为边向外作等边，连接、，再分别以、为边向外作等边和等边，连接． (1)求证：； (2)记、、、的面积分别为、、、，则这四个面积之间存在怎样的数量关系式？说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）由等边三角形的性质得出，，，再利用证明，再通过性质证明，，最后利用即可求证； （）过作于点，利用含角直角三角形的性质和求面积的法即可求解； 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】（1）∵，，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2），理由， 过作于点， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 24．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质； 在四边形外取一点P，使且，连接，证明，，是等边三角形，进而即可求解 【详解】在四边形外取一点P，使且，连接， 在和中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即 25．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别为的角平分线，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理和外角性质，在上截取，连接，证明，得到，，由三角形内角和定理得到，由三角形外角性质得到，得到，进而得到，由平分，可得到，进而得到，即可求证，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】证明：在上截取，连接， ∵平分，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、角平分线的概念等知识点，通过转化线段，构造全等三角形即可得出答案，正确构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图 在上截取，连，过点E作交于点F， 由，有． ，又， ，① ，② ， ． ， ．③ 由①②③有 ． 27．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形． (1)当点在何处时，的值最小，说明理由； (2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？ 【答案】(1)为与的交点．证明见解析 (2)的最小值为：． 【分析】（1）如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，，证明，可得当，，，四点共线时，如图，此时最小，可得为与的交点． （2）如图，过作交的延长线于，证明，可得，，再利用勾股定理可得最小值． 【详解】（1）解：如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，，，四点共线时，如图， 此时最小， ∴为与的交点． （2）如图，过作交的延长线于， ∵正方形，等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 28．（2024八年级·全国·竞赛）已知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，如图1，在中，，是的中点，连接，则． (1)如图2，过点作于，以为边作等边三角形，以为边作等边三角形，连接，求证：平分； (2)如图3，过点作于，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据条件易证，利用角的转化求出和的度数，从而证明平分； （2）连接，交的延长线于，利用直角三角形斜边中线的性质及角的转化求得，结合，证明，从而是斜边上的中线，利用直角三角形斜边中线的性质及等边三角形的性质得到． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即平分． （2）证明：连接，交的延长线于， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是直角三角形，是上的中线， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定和性质等，灵活运用相关知识并作出适当的辅助线是解题的关键． 29．（2024八年级·全国·竞赛）已知：中，，在中，，连，取的中点M，连接 (1)若点D在上，点E在上（不与C点重合），如图，试探究和的关系； (2)将绕点A逆时针旋转小于的角，上述探究的结论还成立吗？若不成立，请举出反例；若成立，请给出证明． 【答案】(1)且 (2)成立，见解析 【分析】本题考查了直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明线段和角度相等是解题关键． （1）由题意可得，推出；根据即可求解； （2）延长至点N，使，连接可证得；进一步可证，即可求解． 【详解】（1）解：中，， ， 又分别是、斜边上的中线， ， ∴ 且． （2）解：成立，如图，延长至点N，使，连接 点M为的中点， ∴ ∵ ， ∴ ∵ ， ∵ ∴，又， ∴ ， 为等腰直角三角形 又点M为的中点， 且． 30．（2024八年级·全国·竞赛）已知，以为边在外作等腰，其中． (1)如图1，若，是等边三角形，，求的长； (2)如图2，若为锐角，作于点H，当时，是否成立？证明你的结论． 【答案】(1)10 (2)成立，见解析 【分析】（1）在外作等边，连接，证明，得到，在中，根据勾股定理求出，即可求出； （2）过点B作，并在BE上截取，连接，，并取的中点K，连接．先证明在中，，结合得到，再证明四边形为矩形，进而证明，得到，再证明，，即可证明． 【详解】（1）解：如图1，在外作等边，连接， ∵为等边三角形，为等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∴． （2）解：成立．证明如下： 如图2，过点B作，并在BE上截取，连接，，并取的中点K，连接． ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，K为的中点， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴是矩形， ∴，， ∵K为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，K为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，矩形性质与判定等知识，综合性强，难度大．熟知相关知识，根据题意添加辅助线，构造全等三角形是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$专题12 三角形(原卷版) 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、填空题 1.(2024八年级 全国 竞赛)如图,在四边形ABCD中,,则四边形的周长为 . 2.(2024九年级 全国 竞赛)已知在中,,在斜边上有一点,把绕点按逆时针方向旋转得到,则旋转后两个三角形重叠部分(图中阴影部分)的面积为 . 3.(2024九年级 全国 竞赛)如图,和都为等腰直角三角形,点在上,点在的延长线上,,现将绕点旋转,得到,连接,过点作,垂足为点,直线交于点,则线段的长度为 . 4.(2024九年级 全国 竞赛)如图,在正方形中,点E在上,,连接,过点A作交于点,的延长线交于点F,设四边形的面积与的面积之比为a,正方形的面积与的面积之比为b,则 . 5.(2024八年级 全国 竞赛)如图,在四边形中,,,如果,那么的长度为 . 6.(2024八年级 全国 竞赛)如图,在中,,,,,,现将以每秒的速度向左平移,3秒时,与重合部分的面积为 . 7.(2024八年级 全国 竞赛)如图,,,,与交于点,连接,则的度数为 . 8.(2024八年级 全国 竞赛)如图,为等腰直角三角形,,点为内一点,且,点分别是边、上的动点,在运动过程中,的周长最小是 . 9.(2024八年级 全国 竞赛)如图,已知在中,点分别为边上的点,且相交于点,如果,那么的值为 . 10.(2024九年级 全国 竞赛)如图,在正方形中,分别在边上,且分别与交于点,连接.下列结论: ①;②;③;④. 其中正确的有 .(填序号) 11.(2024八年级 全国 竞赛)如图,中,,点在内,且,则的面积为 . 12.(2024八年级 全国 竞赛)如图,已知在中,平分,,若,则的度数为 度. 13.(2024九年级 全国 竞赛)如图,在等边内有一点,使得,那么以,,的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为 . 二、单选题 14.(2024九年级 全国 竞赛)如图,已知为等腰直角三角形,斜边上有两点使得,现将绕点A逆时针方向旋转后得到,连接,则下列结论正确的是( ) ①,②,③,④. A.①② B.①④ C.①②④ D.②③④ 15.(2024八年级 全国 竞赛)点O为内任点,设,则下列关系正确的是( ). A. B. C. D. 16.(2024九年级 全国 竞赛)如图,点在正方形的边(不与重合)上运动,以为边向外作正方形交于交于,连.下列结论: ①;②;③点为的内心;④.其中正确的结论个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.(2024八年级 全国 竞赛)如图,在直角中,,点为斜边上的中点,点分别在直角边上运动,且保持,连接,在点的运动过程中,有下列结论:①为等腰直角三角形;②四边形不可能为正方形;③四边形的面积保持不变;④长度的最小值为4;⑤面积最大值为8.其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 18.(2024八年级 全国 竞赛)如图,在中,,,,且,连接、、,则下列结论:①,②为等腰三角形,③,④,其中正确的是( ). A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 19.(2024九年级 全国 竞赛)如图,在中,,点是内一点,已知,如果,那么( ). A. B. C. D. 20.(2024八年级 全国 竞赛)如图,已知为等腰三角形,,点F为AC上一点,点D为BC延长线上一点,点E为AB延长线上一点,EF与BC相交于点G,如果,那么下列说法中,正确的个数有( ) (1),(2),(3),(4)点G到AB,AC的距离之和为定值. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 三、解答题 21.(2024九年级 全国 竞赛)如图,在四边形中,,将绕点按逆时针方向旋转得到. (1)求点到点的距离; (2)求点到的距离. 22.(2024九年级 全国 竞赛)如图,在直角梯形中,,,,过点C作交的平分线于点E,连接. (1)求证:; (2)将绕点B按顺时针方向旋转得到,连接,求证:被垂直平分; (3)延长交于点G,求证:点G为的中点. 23.(2024八年级 全国 竞赛)如图,已知为等边三角形,在上取一点(与点、不重合),以为边向外作等边,连接、,再分别以、为边向外作等边和等边,连接. (1)求证:; (2)记、、、的面积分别为、、、,则这四个面积之间存在怎样的数量关系式?说明理由. 24.(2024八年级 全国 竞赛)如图,在四边形中,.求的度数. 25.(2024八年级 全国 竞赛)如图,在中,,,分别为的角平分线,求证:. 26.(2024八年级 全国 竞赛)如图,在中,,平分.求证:. 27.(2024九年级 全国 竞赛)如图,在正方形中,点为对角线上一点,为等边三角形. (1)当点在何处时,的值最小,说明理由; (2)当正方形的边长为8时,求的最小值是多少? 28.(2024八年级 全国 竞赛)已知:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,如图1,在中,,是的中点,连接,则. (1)如图2,过点作于,以为边作等边三角形,以为边作等边三角形,连接,求证:平分; (2)如图3,过点作于,连接,求证:. 29.(2024八年级 全国 竞赛)已知:中,,在中,,连,取的中点M,连接 (1)若点D在上,点E在上(不与C点重合),如图,试探究和的关系; (2)将绕点A逆时针旋转小于的角,上述探究的结论还成立吗?若不成立,请举出反例;若成立,请给出证明. 30.(2024八年级 全国 竞赛)已知,以为边在外作等腰,其中. (1)如图1,若,是等边三角形,,求的长; (2)如图2,若为锐角,作于点H,当时,是否成立?证明你的结论. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 $$