第6章 反比例函数（单元能力提升，含知识清单）-2023-2024学年八年级数学下册单元测试定心卷（浙教版）

2023-2024学年八年级数学下册单元测试定心卷 第6章 反比例函数（能力提升） 时间：100分钟 总分：120分 1. 选择题（每题3分，共24分） 1．反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已如京沪线铁路全程为，一列火车从北京开往上海，记火车全程的行驶时间为，火车行驶的平均速度为，则关于的函数关系图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．     5．对于平面直角坐标系中的任意一点，我们把点称为点的“和差点”．如图，的直角边在轴上，点，若点在反比例函数的图象上，点为点的“和差点”，且点在的直角边上，则的面积为（　　） A．2 B． C．1 D． 6．已知，是反比例函数（a为常数，）图像上的两点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 8．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（    ） A．10 B．12 C．15 D．16 二、填空题（每题3分，共24分） 9．已知函数是反比例函数，则m的值为 ． 10．反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 11．矩形的面积为2，两条邻边长分别为x，y，则y关于x的函数关系式为 ． 12．已知反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一点，过点作轴分别交两个图象于点A、，若，则的值为 ． 13．如图，一次函数（和均为常数且）与反比例函数（为常数且）的图像交于两点，其横坐标为和，则关于的不等式的解集是 ．    14．如图，点，依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直轴于点，，轴于点，于点．若，阴影部分面积为，则的值为 ． 15．在平面直角坐标系中，反比例函数与交于点，若，则 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若点，则k的值是 ．    三、解答题（每题8分，共72分） 17．已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 18．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．    (1)求点A的坐标和反比例函数表达式． (2)若点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离大于3，请根据图象直接写出n的取值范围． 19．如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，点在轴上． (1)求和的值； (2)当时，请直接写出的取值范围． 20．某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 21．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点与点，连结．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． 22．如图，菱形的边在轴上，点，反比例函数的图象经过菱形两条对角线，的交点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)将菱形向左平移，当点B落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点．    (1)已知点的坐标为，求： 一次函数和反比例函数的解析式；   在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标； (2)过点作轴于点，点为中点，线段交轴于点，连结．若的面积为，求的值． 24．小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 25．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级数学下册单元测试定心卷 第6章 反比例函数（能力提升） 整体难度：一般 细 目 表 分 析 题号 难度系数 详细知识点 一、选择题 1 0.94 求反比例函数解析式； 2 0.94 求反比例函数解析式；判断反比例函数图象所在象限； 3 0.94 一次函数与反比例函数的交点问题； 4 0.94 从函数的图象获取信息；实际问题与反比例函数； 5 0.85 反比例函数与几何综合； 6 0.65 比较反比例函数值或自变量的大小； 7 0.65 判断反比例函数的增减性； 8 0.65 根据图形面积求比例系数（解析式）； 二、填空题 9 0.94 根据反比例函数的定义求参数； 10 0.94 已知反比例函数的增减性求参数； 11 0.94 实际问题与反比例函数； 12 0.85 根据图形面积求比例系数（解析式）； 13 0.85 求一元一次不等式的解集；一次函数与反比例函数的交点问题； 14 0.85 根据图形面积求比例系数（解析式）； 15 0.65 一次函数与反比例函数的交点问题； 16 0.65 反比例函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质求线段长； 三、解答题 17 0.85 求反比例函数解析式；求反比例函数值； 18 0.85 求反比例函数解析式；一次函数与反比例函数的交点问题； 19 0.85 求一次函数解析式；求反比例函数解析式；一次函数与反比例函数的交点问题； 20 0.85 实际问题与反比例函数； 21 0.85 求一次函数解析式；求直线围成的图形面积；求反比例函数解析式；一次函数与反比例函数的其他综合应用； 22 0.65 求反比例函数解析式；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长；利用平移的性质求解； 23 0.65 求一次函数解析式；反比例函数与几何综合；求反比例函数解析式； 24 0.65 求一次函数解析式；求反比例函数解析式；一次函数与反比例函数的实际应用； 25 0.40 根据一元二次方程根的情况求参数；实际问题与反比例函数；一次函数与反比例函数图象综合判断；一次函数与反比例函数的交点问题； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级数学下册单元测试定心卷 第6章 反比例函数（能力提升） 时间：100分钟 总分：120分 1. 选择题（每题3分，共24分） 1．反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的横纵坐标之积是定值，根据知识点分别计算各点的横纵坐标之积再判断即可． 【解析】解：反比例函数图象上点的纵横坐标之积为定值16， A、，点不在反比例函数图象上，不符合题意； B、，点不在反比例函数图象上，不符合题意； C、，点不在反比例函数图象上，不符合题意； D、，点在反比例函数图象上，符合题意． 故选：D． 2．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象经过点，求出k值，继而判断图象所在象限． 【解析】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求反比例函数解析式，解题的关键是掌握函数图象与比例系数的关系． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象即可判断． 【解析】解：由图象可知： 当时，反比例函数大于一次函数的函数值， 当时，反比例函数等于一次函数的函数值， 当时，一次函数大于反比例函数的函数值， 当时，反比例函数等于一次函数的函数值， 当时，反比例函数大于一次函数的函数值， 即当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是： 故选：B． 【点睛】此题主要考查反比例函数与一次函数的图象，解题的关键是熟知交点的性质． 4．已如京沪线铁路全程为，一列火车从北京开往上海，记火车全程的行驶时间为，火车行驶的平均速度为，则关于的函数关系图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】根据题意可知，路程不变，随着速度的变化，时间在减小，由此即可求解． 【解析】解：路程是，行驶时间为，火车行驶的平均速度为， ∴，是反比例函数， 选项，随着速度的增加，时间也在增加，不符合题意； 选项，随着速度的增加，时间也在增加，不符合题意； 选项，随着速度的增加，时间在减小，符合题意； 选项，速度和时间不可能出现负值，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查图像与函数的综合，掌握等量关系中变量，常量之间的关系，结合图像分析是解题的关键． 5．对于平面直角坐标系中的任意一点，我们把点称为点的“和差点”．如图，的直角边在轴上，点，若点在反比例函数的图象上，点为点的“和差点”，且点在的直角边上，则的面积为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据题意设出点的坐标，即可得出点的坐标，根据点在的直角边上求出的值，从而求出的面积．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是由新定义求出点Q的坐标． 【解析】解：根据题意可设点的坐标为，且， 则点的坐标为，， 点在线段上， 则， 解得：，（舍， 此时点的坐标为，， 此时， 的面积， 故选：B． 6．已知，是反比例函数（a为常数，）图像上的两点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．由于，反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【解析】解： 由于，当时，反比例函数的图象在第一象限，，且y随x到增大而减小． 若，则． 故选：A． 7．已知两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质：当时，在每一象限，y随x的增大而减小；当时，在每一象限，y随x的增大而增大，熟记性质是解题的关键．分和讨论即可． 【解析】解：当时， ∵， ∴随x的增大而减小，随x的增大而增大， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴随x的增大而增大，随x的增大而减小， ∴，，，， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）， 综上，， 故选：D． 8．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（    ） A．10 B．12 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答本题的关键．图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，由，可求出，，根据，解得，即得，进而即可求得． 【解析】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 9．已知函数是反比例函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟记定义是解本题的关键，根据反比例函数的定义可得，再解方程可得答案． 【解析】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：． 故答案为：． 10．反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】若反比例函数，当时，y随着x的增大而减小，即反比例系数，从而求得k的范围． 【解析】解：∵反比例函数，当时，y随着x的增大而减小， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】正确理解反比例函数的性质，能把函数的增减性与比例系数的符号相结合解题，是最基本的要求． 11．矩形的面积为2，两条邻边长分别为x，y，则y关于x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式列出式子，再化为用的代数式表示即可求解． 【解析】解：∵长方形的面积为2，长与宽分别为x，y， ∴y与x的函数关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题注意考查了反比例函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 12．已知反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一点，过点作轴分别交两个图象于点A、，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【解析】解：如图，连接， 轴， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ． 故答案为：． 13．如图，一次函数（和均为常数且）与反比例函数（为常数且）的图像交于两点，其横坐标为和，则关于的不等式的解集是 ．    【答案】或 【分析】根据一次函数与反比例函数交点，图形结合即可求解． 【解析】解：关于的不等式变形得，， ∴当时，反比例函数图像左边一支在轴上方，一次函数图像在轴下方，则； ∵一次函数与反比例函数的图像交于两点，其横坐标为和， ∴当时，反比例函数图像右边一支在一次函数图像上方，； 综上所示，关于的不等式的解集是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数图像的交点问题的综合，掌握一次函数图像的性质，反比例函数图像的性质，图形结合分析解不等式的知识是解题的关键． 14．如图，点，依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直轴于点，，轴于点，于点．若，阴影部分面积为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】延长交轴于，根据题意得四边形，，都是矩形，利用比例系数的几何意义得到四边形，的面积都是，由得到四边形的面积为，列得，即可求出． 【解析】解：延长交轴于， 由题意得四边形，，都是矩形， 点，依次在反比例函数（常数，）的图象上， 四边形，的面积都是， ， 四边形的面积为， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义，正确理解反比例函数中k的几何意义得到四边形ACOE，BDOH的面积都是k是解题的关键． 15．在平面直角坐标系中，反比例函数与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数交点问题，联立解析式求出交点坐标，得到，代入方程求出k的值即可． 【解析】解：解方程组， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若点，则k的值是 ．    【答案】 【分析】设，表示出点E坐标，代入函数表达式，可得，作轴于，再利用证明，得，，从而得出点的坐标，即可得出答案． 【解析】解：设， 四边形是正方形， 点为的中点， ， 点在反比例函数上， ， 解得：， 作轴于，    ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质求出点的坐标是解题的关键． 三、解答题（每题8分，共72分） 17．已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，求函数值，是解决问题的关键． （1）设该函数的解析式为根据时，，求得，即得； （2）把代入（1）中所得解析式即得． 【解析】（1）∵y与成反比例函数关系， ∴设该函数的解析式为， ∵时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为：； （2）∵， ∴当时，． 18．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．    (1)求点A的坐标和反比例函数表达式． (2)若点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离大于3，请根据图象直接写出n的取值范围． 【答案】(1)，反比例函数表达式为 (2)n的取值范围为或 【分析】 本题考查了正比例函数图像上点的坐标特征，求反比例函数解析式，注意数形结合； （1）把点A的坐标代入正比例函数解析式中即可求得a的值，从而得点A的坐标；再点A坐标代入反比例函数解析式中即可求得反比例函数解析式； （2）由反比例函数与正比例函数是关于原点的中心对称图形，则可得正比例函数与反比例函数图像的另一个交点为，则可求得n的取值范围． 【解析】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴； ∵反比例函数的图象经过， ∴，即， ∴反比例函数表达式为； （2）解：∵反比例函数与正比例函数是关于原点对称的中心对称图形， ∴正比例函数与反比例函数图像的另一个交点为， ∵及点到y轴的距离等于3， ∴点到y轴距离大于3时，或， 即n的取值范围为或． 19．如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，点在轴上． (1)求和的值； (2)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、反比例函数与不等式等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据待定系数法即可求得答案； （2）首先确定点的坐标，结合图像即可得出不等式的解集． 【解析】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， 把代入两个解析式， 可得，， 解得，； （2）由（1）可知，，， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立一次函数解析式与反比例函数解析式， 可得， 解得或， ∴点的坐标为， 观察函数图像，可知当时，一次函数图像在反比例函数图像上方， ∴当时，的取值范围为． 20．某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1)根据图象判断为反比例函数，画图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据表格建立直角坐标系，描点，画出图象，根据图象进行判断即可； （2）待定系数法求函数解析式，根据汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时，求出自变量t的取值范围； （3）根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【解析】（1）解：如图所示：    由图可知：v与t之间成反比例函数； （2）设，将代入，得：， ∴； ∵， ∴； （3）由图象可知，时，随着的增大而减小； ∴当时，取最大值为：；当时，取最小值为：； ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的求出函数解析式． 21．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点与点，连结．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先将反比例函数即可求出解析式，再将代入解析式求出，最后将两点代入一次函数即可求出； （2）设一函数与轴交点，令，代入，求出点坐标，利用割补法即可求出的面积； （3）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像下方的自变量的取值范围即可． 【解析】（1）解：反比例函数表达式为 把代入反比例函数，得， 把代入， 得，解得， 一次函数表达式为； （2）解：如图，一次函数与轴交点，令，代入，则， ，    ； （3）解：由（1）知， 当或时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即， 或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，掌握割补法求三角形面积和待定系数法求解析式及利用图像解决不等式是解题的关键． 22．如图，菱形的边在轴上，点，反比例函数的图象经过菱形两条对角线，的交点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)将菱形向左平移，当点B落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1)； (2)6． 【分析】（1）延长交轴于点，交反比例函数于点，根据勾股定理求出的长，再由菱形的性质得出的长，进而得出点坐标，利用中点坐标公式得出点坐标，代入反比例函数解析式求出的值即可； （2）根据点，，得出点坐标，再求出点的坐标，求出的长即可． 【解析】（1）解：如图，延长交轴于点，交反比例函数于点，   菱形的边在轴上，点， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴， ，即， 反比例函数的图象经过菱形两条对角线，的交点， ， 反比例函数的解析式为：； （2）解：如图：   点，，， ， 反比例函数的解析式为， ， 解得， ， ， 当点落在反比例函数的图象上时，平移的距离是6． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，菱形的性质，平移的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点．    (1)已知点的坐标为，求： 一次函数和反比例函数的解析式；   在轴上取一点，当的面积为时，求点的坐标； (2)过点作轴于点，点为中点，线段交轴于点，连结．若的面积为，求的值． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为； 的坐标为或； (2)． 【分析】（）把代入一次函数的图象与反比例函数即可求解； 根据三角形面积求得的长，然后由直线的解析式求得的坐标，即可求得的坐标； （）由一次函数，可得，，得出是等腰直角三角形，设，则，进一步得出是等腰直角三角形，则，由的面积为，即可求解； 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积求法，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【解析】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴，， ∴，， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为； ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， 由直线得，， ∴的坐标为或； （2）∵一次函数， ∴，， ∵轴于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴设，则， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积为， ∴ 即， ∴． 24．小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【解析】（1）解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2）解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3）解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 25．综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【解析】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$