期末复习考点专训4.1认识三角形2023-2024学年北师大版数学 七年级下册

师大版七年级下册数学期末复习考点专训 第四章《三角形》 4.1 认识三角形 考点1：三角形的分类及直角三角形的概念 考点2：三角形的内角和 考点3：三角形三边之间的关系 考点4：三角形的中线、三角形的角平分线及三角形的高 一、知识清单 概念： 三角形全等的中线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线 . 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 . 三角形全等的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线 . 三角形的三条角平分线交于一点 . 三角形全等的高 从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的搞线，简称为三角形的高 . 三角形的三条高所在的直线交于一点 . 性质： 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180° . 直角三角形性质 直角三角形的两个锐角互余 . 三角形三边性质 三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边 . 二、考点专训 一、单选题专训 1．以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，7 B．5，8，2 C．4，5，6 D．3，3，6 2．下列各图中，画出AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，直角边BC与直尺的一边重合，点E在AC上，∠ABC＝∠D＝90°，∠A＝30°，∠DEC＝45°，则∠1的度数为（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 4．如图，△ABC中，D是BC中点，CE是△ACD的中线，S△CDE＝2，则S△ABC等于（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 5．老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5cm、9cm、10.5cm，并且只能对10.5cm的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则∠1、∠2、∠3的数量关系为（　　） A．∠3＝∠2+∠1 B．∠3＝∠2+2∠1 C．∠3+∠2+∠1＝180° D．∠1+∠3＝2∠2 8．如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为20，则△ABC的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 9．在下列条件中：①∠A＝90°﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝5：3：2；④∠A+∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C；能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题专训 11．若三角形三个内角度数的比为2：3：4，则其最大的内角是 　 　度． 12．若△ABC的两边长分别为3cm、8cm、则第三边c的取值范围是 　 　． 13．如图，AD是△ABC的一条中线，若△ABC的面积是10cm2．则△ABD的面积为 　 　cm2． 14．如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F．若S△ABC＝24，BC＝8，则EF长为 　 　． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥BA．若∠B＝54°，则∠ACD的度数为 　 　． 16．已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 　 　． 17．在△ABC，∠A：∠B：∠C＝1：3：6，三个内角中最大内角的度数为 　 　°，△ABC的形状为 　 　． 18．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠ADC＝110°，AD是△ABC的角平分线，则∠BAC的度数是 　 　． 19．在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝　 　，△ABC为等腰三角形． 20．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，则下列结论中：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB∠CGE；③CA平分∠BCG；④∠ADC＝∠GCD．正确的结论是 　 　．（填序号） 三、解答题专训 21．已知△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，若∠BAD＝50°，∠CAE＝30°，求∠B的度数． 23．如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，∠B＝60°，点D在AC的延长线上，∠BCD＝110°．求：∠AEC的度数． 24．如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB． 25．如图，已知∠BCD＝130°，EF∥DC，∠EAF＝100°，∠EFA＝20°，求∠B的度数． 解：将∠EAF的邻补角记作∠1，则∠EAF+∠1＝180°（邻补角的意义）． 因为∠EAF＝100°（已知）， 所以∠1＝　 　°（等式性质）． 因为∠EAF、∠EFA、∠E是△AEF的三个内角（已知）， 所以∠EAF+∠EFA+∠E＝180°（ 　 　）． 因为∠EAF＝100°，∠EFA＝20°（已知）， 所以∠E＝　 　°（等式性质）． （下面补充完整解题过程） 26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点F．已知∠AEF＝70°，∠AFE＝50°，求∠C和∠ABC的度数． 27．如图，在△ABC中，BG平分∠ABC，点D在射线AC上，过点D作DF⊥BG于点H，交边AB于点F，交边BC于点E，试说明：2∠D＝∠ACB﹣∠A． 请补充下面的说明过程，并在括号内写出相应的根据． 解：∵∠3是△ADF的外角（已知） ∴∠3＝∠D+∠　 　，（ 　 　） 同理，∠　 　＝∠5+∠D， ∴∠5＝∠　 　﹣∠D， 又∵DF⊥BG于点H， ∴∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，（ 　 　） ∵BG平分∠ABC，（已知） ∴∠1＝∠2，（角平分线定义） ∴　 　，（等角的余角相等） 而∠4＝∠5，（对顶角相等） ∴∠3＝∠5，（等量代换） 即 　 　＝　 　， ∴2∠D＝∠ACB﹣∠A． 28．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD平分∠BAC，DG平分∠ADC，试说明DG∥BE． 29．如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 30．【定义】如果两个角的差为36°，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”． 例如：α＝76°，β＝40°，α﹣β＝36°，则α和β互为“黄金角”，即α是β的“黄金角”，β也是α的“黄金角”． （1）已知∠1和∠2互为“黄金角”，且∠1＞∠2，若∠1和∠2互余，则∠1＝　 　； （2）如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作AB的平行线CM，∠ABC的平分线BD分别交AC、CM于D、E两点． ①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“黄金角”，则∠A＝　 　； ②如图2所示，过点C作AB的垂线，垂足为F，BD、CF相交于点N．若∠DCN与∠CDN互为“黄金角”，求∠A的度数； ③如图3所示，∠ACM的平分线CH交BE于点H，当∠A和∠BHC互为“黄金角”时，则∠A＝　 　． 参考答案 一、单选题专训 1-5．CDABC 6-10．CDBCD． 二、填空题专训 11． 　80　． 12． 　5cm＜c＜11cm　． 13． 　5　． 14． 　3　． 15． 　36°　． 16． 　13　． 17． 　108　°， 　钝角三角形　． 18． 　100°　． 19．　72°，36°，108°　． 20．　①②④　．（填序号） 三、解答题专训 21．解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝6，b＝8， ∴2＜c＜14， ∵三角形的周长是小于22的偶数， ∴2＜c＜8， ∴c＝4或6； （2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b| ＝a+b﹣c﹣c+a+b ＝2a+2b﹣2c． 22．解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAD＝50°， ∴∠BAC＝50°×2＝100°， 又∵AE⊥BC于点E，∠CAE＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC， ∴∠BAE＝100°﹣30°＝70°， ∵在直角三角形ABE中有∠B+∠BAE＝90°， ∴∠B＝90°﹣70°＝20°． 23．解：∵∠BCD＝110°， ∴∠ACB＝180°﹣110°＝70°， 又CE平分∠ACB ∴∠BCE＝35°， 又∠B＝60° ∴∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠BCE＝85°， ∴∠AEC＝180°﹣85°＝95°． 24．解：∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C， 而∠ABC＝82°，∠C＝58°， ∴∠CAB＝40°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠DAF＝20°， ∵BD⊥AC于D， ∴∠ADB＝90°， ∴∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°． 故答案为：110°． 25．解：将∠EAF的邻补角记作∠1，则∠EAF+∠1＝180°（邻补角的意义）． 因为∠EAF＝100°（已知）， 所以∠1＝80°（等式性质）． 因为∠EAF、∠EFA、∠E是△AEF的三个内角（已知）， 所以∠EAF+∠EFA+∠E＝180°（ 三角形内角和定理）． 因为∠EAF＝100°，∠EFA＝20°（已知）， 所以∠E＝60°（等式性质）， 因为EF∥DC（已知）， 所以∠ACD＝∠E＝60°（两直线平行，内错角相等）， 因为∠BCD＝130°（已知）， 又因为∠BCD＝∠BCA+∠ACD（已知）， 所以∠BCA＝∠BCD﹣∠ACD＝130°﹣∠E＝70°（等式的性质）， 因为∠B，∠1，∠BCA是△ABC的三个内角（已知）， 所以∠B+∠1+∠BCA＝180°（三角形内角和定理）， 所以∠B＝180°﹣（∠1+∠BCA）＝180°﹣（80°+70°）＝30°（等式的性质）． 故答案为：80°；三角形内角和定理；60°；补充完整解题过程见解答． 26．解：∵∠AEF＝70°，∠AFE＝50°， ∴∠FAE＝180°﹣∠AFE﹣∠AEF＝60°，即∠DAC＝60°， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠DAC＝30°， ∵∠AEF＝∠C+∠EBC， ∴∠EBC＝∠AEF﹣∠C＝70°﹣30°＝40°， ∵BE是平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC＝80°． 27．解：∵∠3是△ADF的外角（已知）， ∴∠3＝∠D+∠A（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 同理，∠ACB＝∠5+∠D， ∴∠5＝∠ACB﹣∠D， 又∵DF⊥BG于点H， ∴∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°（直角三角形中的两个锐角互余）， ∵BG平分∠ABC（已知）， ∴∠1＝∠2（角平分线定义）， ∴∠3＝∠4（等角的余角相等）， 而∠4＝∠5（对顶角相等）， ∴∠3＝∠5（等量代换）， 即∠D+∠A＝∠ACB﹣∠D， ∴2∠D＝∠ACB﹣∠A． 28．解：（1）∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°． ∵AC⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAC＝90°﹣80°＝10°． （2）∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝60°+40°＝100°． ∵DG平分∠ADC， ∴． ∵∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣10°＝50°， ∴∠EBC＝∠GDC． ∴DG∥BE． 29．解：由三角形内角和定理，得∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣34°﹣104°＝42°， 又∵AE平分∠BAC． ∴∠BAE∠BAC42°＝21° ∴∠AED＝∠B+∠BAE＝34°+21°＝55°， 又∵∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣55°＝35°． 30．解：（1）∵∠1和∠2互为“黄金角”，且∠1＞∠2， ∴∠1﹣∠2＝36°， ∵∠1和∠2互余，即∠1+∠2＝90°， ∴∠163°， 故答案为：63°； （2）①∵∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“黄金角”， ∴∠A﹣∠BEC＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC， ∵CM∥AB， ∴∠BEC＝∠ABE∠ABC， 在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， 即∠A+2∠BEC＝90°， ∴∠A+2（∠A﹣36°）＝90°， 即∠A＝54°， 故答案为：54°； ②设∠DCN＝x， ∵∠DCN与∠CDN互为“黄金角”， ∴∠CDN＝x+36°或∠CDN＝x﹣36°， 当∠CDN＝x+36°时， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBN＝90°﹣∠CDN ＝90°﹣（x+36°） ＝54°﹣x， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠CBD＝108°﹣2x， ∵CF⊥AB， ∴∠A＝90°﹣∠DCN＝90°﹣x， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴108°﹣2x+90°﹣x＝90°， 解得x＝36°， ∴∠A＝90°﹣36°＝54°， 当∠CDN＝x﹣36°时， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠CDN ＝90°﹣（x﹣36°） ＝126°﹣x， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠CBN＝252°﹣2x， ∵CF⊥AB， ∴∠A＝90°﹣∠DCN＝90°﹣x， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴252°﹣2x+90°﹣x＝90°， 解得x＝84°， ∴∠A＝90°﹣84°＝6°， 综上所述，∠A＝54°或∠A＝6°； ③∵CM∥AB， ∴∠A＝∠ACM， ∵CH平分∠ACM， ∴∠ACM＝∠A＝2∠HCM， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴， 设∠A＝y，则∠DCH＝∠ECHx，∠ABE＝∠CBE（90°﹣x）＝45°x， ∵∠A和∠BHC互为“黄金角”， ∴∠BHC＝x+36°或∠BHC＝x﹣36°， 当∠BHC＝x+36°时， ∵∠BHC+∠BCH+∠CBE＝180°， ∴x+36°+（90°x）+（45°x）＝180°， 解得x＝9°， 当∠BHC＝x﹣36°时， ∵∠BHC+∠BCH+∠CBE＝180°， ∴x﹣36°+（90°x）+（45°x）＝180°， 解得x＝81°， 综上所述∠A＝9°或∠A＝81°． 故答案为：9°或81°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/31 17:18:21；用户：熊生泉；邮箱：XFS-7447763450934213.42133300；学号：55463365 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$