概率专题十　讲义——2024届高三数学二轮专题复习

高中数学 人教A版数学--概率专题十 知识点一 由频率分布直方图估计平均数,总体百分位数的估计,频率分布直方图的实际应用, 求离散型随机变量的均值 典例1、自2020年初以来，由于新冠疫情的冲击，人们日常购物的方式发生了较大的变化，各种便民的团购群异常活跃，据某微信公众号消息，参团进行团购已逐渐成为一大常规的购物形式，因此外卖员的收入明显提高.为调查某市外卖员的收入，现随机抽取500名外卖员，按照他们投送的距离分类统计得到如图所示的频率分布直方图.将上述调查所得到的频率视为概率. （1）估计该市外卖员的平均运送距离； （2）假设外卖平台给外卖员的运送距离与外卖员的收入有关，其中甲平台规定：1000米以内每份2元，1000米至3000米每份5元，3000米以上每份13元.乙平台规定：2000米以内每份3元，2000米至3000米每份6元，3000米至4000米每份12元，4000米以上每份18元，若你暑期打工去送外卖，每天能送50份，并且只考虑每天的平均收入，你会选择哪一家平台？为什么？ 随堂练习：中医药文化历史悠久，我国经历了数千年的艰难探索和发展，逐渐积淀成博大精深的中医药文化.某医药采购商计划购买500千克乌天麻，购买数据如频率分布直方图所示. （1）估计每千克乌天麻的平均支数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （2）知生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，方案一：这500千克乌天麻一律售价为280元/千克.方案二：这500千克按规格不同售出，其售价如下：乌天麻规格在售300元/千克，规格在售价280元/千克，规格在售260元/千克，规格在售240元/千克.从采购商的角度考虑，应该选择哪种方案？请说明理由. 典例2、某“双一流A类”大学就业部从该校2020年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表. （1）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差； （2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案： 方案一：设，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元； 方案二：按每人个月薪水的3%收取. 用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用. 参考数据：. 随堂练习：某公司为了了解A，B两个地区用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取400名用户，从B地区随机抽取100名用户，通过问卷的形式对公司产品评分．该公司将收集的数据按照，，，分组，绘制成评分分布表如下： 分组 A地区 B地区 40 30 120 20 160 40 80 10 合计 400 100 （1）采取按组分层随机抽样的方法，从A地区抽取的400名用户中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有多少名？ （2）从（1）中参加座谈的且评分不低于60分的用户中随机选取2名用户，求这2名用户的评分恰有1名低于80分的概率； （3）若A地区用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区用户对该公司产品的评分的平均值为，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小，并说明理由． 典例3、为了保障学生们的合法权益，并保证高考的公平性，重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差，也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后，重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩，其中地理成绩均在（单位：分），将收集到的地理成绩按分组，得到频率分布直方图如下. （1）求，并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20%，物理类考生占80%，历史类考生中选考地理的占90%，物理类考生中选考地理的占5%，历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8%，若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事件的概率）. 随堂练习：某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲､乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1900万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）. （1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立. ①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率； ②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用） 知识点一 写出简单离散型随机变量分布列,由随机变量的分布列求概率,独立事件的乘法公式 典例4、2022年11月21日.第22届世界杯在卡塔尔开幕.小组赛阶段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环比赛（每支球队均与另外三支球队进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者积0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.若每场比赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为，出现平局的概率为. （1）求甲队在参加两场比赛后积分的分布列与数学期望； （2）小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率. 随堂练习：8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅IP，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下： 取到食品所需的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05 假设每个顾客取到食品所需的时间互相独立，且都是整数分钟.从排队的第一个顾客等待取食品开始计时. （1）试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率； （2）若随机变量X表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X的分布列及数学期望. 典例5、某智能共享单车备有、两种车型，采用分段计费的方式营用，型单车每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），型单车每30分钟收费1元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲、乙、丙三人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，并且三个人每人租车都不会超过60分钟，甲、乙均租用型单车，丙租用型单车. （1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率； （2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望. 随堂练习：2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为，，，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响. （1）求顾客获得两个奖品的概率； （2）若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为，求的分布列与数学期望. 典例6、甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率； （2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望. 随堂练习：某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为. （1）求该社区能举行4场音乐会的概率； （2）求该社区举行音乐会场数的分布列和数学期望. 人教A版数学--概率专题十答案 典例1、答案： （1）2.8千米 （2）会选择乙平台，因为每天平均收入会高一些 解：（1）由频率分布直方图可知： 平均运送距离为(千米)， 所以估计该市外卖员的平均运送距离为2.8千米. （2）设外卖员在甲平台每份外卖的收入为X元，在乙平台每份外卖的收入为Y元， 则可得到X，Y的分布列分别为： X 2 5 13 P 0.05 0.55 0.4 则(元)， (元)， 即选择甲平台每天的平均收入为402.5元. Y 3 6 12 18 P 0.25 0.35 0.25 0.15 则(元)，(元)， 即选择乙平台每天的平均收入为427.5元.因为 故会选择乙平台，因为每天平均收入会高一些. 随堂练习：答案： （1）16支； （2）选择方案二，理由见解析. 解：（1）， 所以该采购商购买的乌天麻每千克的平均支数为16支. （2）方案一：采购总额为：元 方案二：乌天麻规格在的数量为：（千克）， 规格在的数量为：（千克）， 规格在的数量为：（千克）， 规格在的数量为：（千克）. 采购总额：元 因为139000元<140000元，所以从采购商的角度考虑，选择方案二. 典例2、答案： （1）平均数2；方差 （2）方案一 解：（1）样本平均数（万元）， 样本方差 （万元2）. （2）方案一：（万元），. 月薪落在区间Ω左侧收取费用约为（万元）； 月薪落在区间Ω内收取费用约为（万元）； 月薪落在区间Ω右侧收取费用约为（万元）. 因此这50人共收取费用约为（万元）. 方案二：这50人共收取费用约为（万元）. 故方案一能收到更多的费用. 随堂练习：答案： （1）6 （2） （3），理由见解析 解：（1）由题知地区共抽取400名用户，其中有240名用户对该公司产品的评分不低于60分， 故抽取的人数为, （2）由（1）知：不低于60分的人抽取了6人，这6人中， 评分在的人数为，记这4个人分别为， 评分在的人数为，记这2人分别为, 故从6个人中选取2人的全部基本事件有： , 共有15种，恰有1名低于80分包含的基本事件有： 共有8种， 因此2名用户的评分恰有1名低于80分的概率为, ，理由如下：， ， 所以， 因为，两地区人数比为，故地区抽取人数占总数的，地区抽取人数占总数的， 则， 所以． 典例3、答案： （1），估计该校2022年高考地理科的平均成绩为 （2） 解：（1）由题意可得：，解得， 估计该校2022年高考地理科的平均成绩为： （2）该校2022年所有参加高考的学生中任选1名，记“选到历史类考生”为事件A， “选到物理类考生”为事件B，“选到选考地理的考生”为事件C， 则有 ∴， 记“选到高考地理成绩不低于90分”为事件D，则， ∴ 故， 若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流， 选到历史类考生的概率. 随堂练习：答案： （1）（万件） （2）①0.6；②乙方案. 解：（1）年销量的平均数（万件）. （2）①该产品的销售利润为15元/件， 由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万， 所以年销售利润不低于270万的概率. ②设甲方案的年销售量为X万件，由（1）可知甲方案的年销售量的期望， 所以甲方案6年的净利润的期望值为（万元）. 设乙方案的年销售量为Y万件，则乙方案的年销售量的分布列为 Y 12 16 20 P 0.05 0.35 0.6 所以乙方案的年销售量期望（万件）， 所以乙方案6年的净利润的期望值为（万元）， 因为乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值， 所以企业应该选择乙方案. 典例4、答案： （1）分布列见解析， （2） 解：（1）甲队参加两场比赛后积分的取值为0，1，2，3，4，6， 则， ， ， ， ， ， 所以随机变量X的分布列为： 0 1 2 3 4 6 随机变量的数学期望： . （2）由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分； 6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分. 若每支球队得3分： 则6场比赛都出现平局，其概率为：； 若每支球队得4分：则每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负， 其概率为：﹒ 所以四支球队积分相同的概率为. 随堂练习：答案： （1）； （2）分布列见解析， 解：（1）设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下: 1 2 3 4 5 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05 A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”， 则事件A对应三种情形： ①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟； ②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟； ③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟. 所以 . （2）X所有可能的取值为0，1，2. 对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟， 所以; 对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟， 所以； 对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟， 所以； 所以X的分布列为： 0 1 2 0.5 0.4975 0.0025 所以 典例5、答案：（1） （2）分布列见解析， 解：（1）由题意，甲乙丙在3分钟以上且不超过6分钟还车的概率分别为，，， 设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件， 则； （2）随机变量所有可能取值有2，2.5，3，3.5，4， 则， ， ， ， ， 所以，甲乙丙三人所付费用之和的分布列为 2 2.5 3 3.5 4 ∴ 随堂练习：答案： （1） （2）分布列详见解析，数学期望为 解：（1）顾客获得两个奖品的概率为：. （2）个顾客没有获奖的概率为， 所以，则的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. 典例6、答案： （1） （2）分布列见解析， 解：（1）记事件表示“乙只赢局且甲赢得比赛”， 表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”，则，. 则，事件与事件互斥，各局比赛结果相互独立. 由概率加法公式和乘法公式，有 ． （2）的可能取值为， ， ， ． 故的分布列为 2 3 4 5 所以. 随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析， 解：（1）由已知可得，，又，解得 设表示第i天可以举行音乐会，B表示该社区能举行4场音乐会 则 （2）的可能取值为0，1，2，3，4，5 ； 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 P 从而数学期望为： ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$