概率专题九讲义-2024届高三数学二轮专题复习

高中数学 人教A版数学--概率专题九 知识点一 求回归直线方程,相关系数的意义及辨析,相关系数的计算,根据回归方程进行数据估计 典例1、某产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 （1）求回归直线方程； （2）据此估计广告费用为10时销售收入的值. 附：线性回归方程中系数计算公式， ，其中，表示样本均值. 随堂练习：某景区对2018年1-5月的游客量x与利润y的统计数据如表： 月份 1 2 3 4 5 游客量（万人） 4 6 5 7 8 利润（万元） 19 34 26 41 45 （1）根据所给统计数据，求y关于x的线性回归方程； （2）据估计6月份将有10万游客光临，请你判断景区上半年的总利润能否突破220万元？ （参考数据：，） ，． 典例2、为打造“四态融合、产村一体”的望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府在近几年中任选了5年，经统计，年份代号x与景区农家乐接待游客人数y（单位：万人）的数据如下表： 年份代号x 2 3 5 7 8 接待游客人数y（万人） 3 3.5 4 6.5 8 （1）根据数据说明变量x与y是正相关还是负相关； （2）求相关系数r的值，并说明年份与接待游客数的相关性的强与弱； （3）分析近几年中该景区农家乐接待游客人数y的变化情况，求该景区农家乐接待游客人数关于年份代号的回归直线方程；并预测在年份代号为10时该景区农家乐接待游客的人数（单位：万人，精确到小数点后2位）. 附：一般地，当r的绝对值大于0.75时认为两个变量之间有很强的线性关系. , . 随堂练习：下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：，， ，≈2.646. 参考公式：相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 典例3、目前直播带货已经席卷全国了，不论老人小孩、男生女生，大家都听说或是尝试过直播购物，它所具有的能突破时间、空间限制的特点已经吸引了越多越多的人.由此可见，它的受众非常广泛，是大势所趋.不管是什么行业领域，都可以去从事直播带货.直播带货的兴起为人们提供了更多就业岗位.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近4个月的家乡特产收入（单位：万元）情况，如表所示. 月份 5 6 7 8 时间代号 1 2 3 4 家乡特产收入 3.9 3.3 2.2 1.8 （1）根据5月至8月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.01），并判断相关性； （2）求出y关于t的回归直线方程，并预测9月收入能否突破1万元，请说明理由. 附：①相关系数公式：； （若，则线性相关程度非常强，可用线性回归模型拟合） ②一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式 分别为，； ③参考数据：，，. 随堂练习：某公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 12.5 222 3.5 157.5 4.5 1854 270 表中，. （1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （3）已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 知识点 独立事件的乘法公式,独立重复试验的概率问题,求离散型随机变量的均值 典例4、甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时，乙只投了1个球的概率. 随堂练习：某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子，广场舞，投篮，射门等体育活动.在一次“定点投球”的游戏中，规则如下：每小组两位选手，每位选手投球两次，投中一次得2分，否则得0分，得分累加，得分之和不低于6分则称两人为“黄金搭档”.甲，乙两人一组，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，假设甲，乙两人是否投中互不影响. （1）若，，求甲，乙两人累计得分之和为4的概率； （2）若，求甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值. 典例5、甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记0分；一人投中而另一人未投中，则投中的记1分，未投中的记分设每轮比赛中甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响． （1）经过1轮比赛，记甲的得分为，求的分布列和期望； （2）经过3轮比赛，用表示第n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现点均在函数的图象上，求实数m，s，t的值． 随堂练习：“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲、乙在相同的条件下轮流射击，每轮中甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分已知甲、乙每次射中的概率分别为，且各次射击互不影响. （1）经过1轮射击打靶，记甲、乙两人的得分之和为，求的分布列和数学期望； （2）经过3轮射击打靶后，求甲的累计得分高于乙的累计得分的概率. 典例6、11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响. （1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列； （2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求；②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式. 随堂练习：足球比赛全场比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时成绩持平，且该场比赛需要决出胜负，则需进行30分钟的加时赛：若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②若在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如第4轮结束时，双方进球数比为2：0．则不需再踢第5轮了，③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方获胜． （1）已知小明在点球训练中踢进点球的概率是．在一次赛前训练中，小明踢了3次点球，且每次踢点球互不影响，记X为踢进点球的次数，求X的分布列与期望； （2）现有甲，乙两支球队在冠军赛中相遇，比赛120分钟后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负．设甲队每名球员踢进点球的概率为，乙队每名球员踢进点球的概率为．每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．求甲队在点球大战中比赛4轮并以3∶1获得冠军的概率． 人教A版数学--概率专题九答案 典例1、答案： （1） （2）82.5 解：（1）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对， ∵，， ∴， ∴， ∴所以回归直线方程为. （2）当时，预报的值为. 随堂练习：答案： （1）； （2）能，理由见解析. 解：（1）， ， ， （2）当时，， 上半年景区总利润为：万元， 据估计景区上半年的总利润能突破220万元. 典例2、答案： （1）正相关； （2）0.959，年份与接待游客数的相关性很强； （3），9.04万人. 解：（1）由表中数据可得，， 则， 由于变量y的值随x的值的增加而增加（）， 因此x与y之间是正相关； （2）因为， 所以年份与接待游客数的相关性很强； （3）因为， 所以景区农家乐接待游客人数y关于年份代号x的回归直线方程为， 当x=10时，， 由此预测在年份代号为10时该景区农家乐接待游客人数约为9.04万人. 随堂练习：答案： (1)答案见解析；(2)答案见解析. 解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得：，，， ， . 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高， 从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）由及（1）得， . 所以，关于的回归方程为：. 将2016年对应的代入回归方程得：. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 典例3、答案： （1）；认为y与t之间有很强的相关性. （2）y关于t的回归直线方程为：，不能. 解：（1）由表格数据可知：，， 则：， 由题意知：， ， 代入相关系数公式可得：， 因为，所以认为y与t之间有很强的相关性. （2）由题意可得：， ，，， 所以，则， 所以y关于t的回归直线方程为：， 把代入可得：， 所以预测9月收入不能突破1万元. 随堂练习：答案： （1）； （2）； （3）30万元. 解：（1）由散点图可以判断更适宜作为年研发费x的回归方程类型； （2）令，先建立y关于的线性回归方程， 因为， ， 所以y关于μ的线性回归方程， （3）因此，γ关于x的回归方程为； 由（2）可知， ， 当时，；当时，， 所以当研发费为30万元时，年利润z的预报值最大 典例4、答案： （1） （2） 解：（1）设，分别表示甲､乙在第次投篮时投中， 则，，， “甲获胜”为事件， 则； （2）记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件. 则. 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）由题意得甲，乙两人累计得分之和为4的概率为： （2）他们在一轮游戏中获得“黄金搭档”的概率为： ， 因为，所以， 令，由，及，得， ， 当时，P的最大值为. 故甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值. 典例5、答案：（1）答案见解析 （2），， 解：（1）的可能取值为， 则；；， 的分布列为： 0 1 ． （2）由（1）知， 经过两轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有两种情况： 一是甲两轮得分都为；二是两轮中甲有一轮得0分，另一轮得分， 则． 经过三轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有四种情况： 三轮中甲得分都为；三轮中甲有两轮得分，另一轮得0分； 三轮中甲有一轮得分，另两轮得0分；三轮中甲有两轮得分，另一轮得1分， 则， 由题意，点均在函数的图象上， 则， ②－①得④， ③－②得⑤， ⑤÷④得⑥， 将⑥代入④得⑦， 将⑥⑦代入①得， 综上，，，． 随堂练习：答案： （1）分布列见解析，；（2）. 解:（1）的可能取值为0，1，2， 由题意可知， ， ， 所以X的分布列为： X 0  1  2 P   . （2）经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有三种情况： 一是甲累计得3分，此时乙的累计得分低于3分， 二是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分， 三是甲累计得1分，此时乙累计得0分， 所以 典例6、答案：（1）分布列见解析；（2）①；②，. 解:（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立， 由题意，，甲的得分的取值为， ， ， ， ∴的分布列为： －1 0 1 （2）由（1）， ， 同理，经过2轮投球，甲的得分取值： 记，，，则 ，，，， 由此得甲的得分的分布列为： －2 －1 0 1 2 ∴， ∵，， ∴，，∴， 代入得：， ∴， ∴数列是等比数列，公比为，首项为， ∴． ∴． 随堂练习：答案： （1）分布列见解析， （2） 解：（1）由题意可知小明踢进点球的次数，所以X的取值可能是0，1，2，3． 因为； ； ；． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． （2）设“甲队在点球大战中比赛4轮并以3:1获得冠军”为事件A． 当甲队前三个点球都进时，乙队前三个点球必进一个球， ﹔ 当甲队前三个点球有一个没进时， 所以. 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