概率专题二　讲义——2024届高三数学二轮专题复习

高中数学 人教A版数学--概率专题二 知识点一 由频率分布直方图估计平均数,利用二项分布求分布列 典例1、2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共有32支球队获得比赛资格．赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，世界杯周边商品七成“义乌造”．某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷．该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示： （1）若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m的值，并计算这200人得分的平均值（同一组数据用该区间中点值作为代表）； （2）该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为，未抽中奖的概率为，现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动，记Y为他获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望． 随堂练习：青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表： 分数 频率 0.15 0.25 0.30 0.10 （1）试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在的人数，求的分布列与数学期望． 典例2、第届冬季奥林匹克运动会，于年月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为、、、、五个等级，分别对应的分数为、、、、．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示． （1）根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明） （2）求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数； （3）若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为分并且乙的成绩为分或分的次数为，求的分布列（频率当作概率使用）． 随堂练习：“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）； （2）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率； （3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列. 典例3、某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格，从中随机抽测100个零件的长度d（单位：）．该样本数据分组如下：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．经检测，样本中d大于61的零件有13个，长度分别为61.1，61.1，61.2，61.2，61.3，61.5，61.6，61.6，61.8，61.9，62.1，62.2，62.6. （1）求频率分布直方图中a，b，c的值及该样本的平均长度（结果精确到，同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）视该批次样本的频率为总体的概率，从工厂生产的这批新零件中随机选取3个，记ξ为抽取的零件长度在的个数，求ξ的分布列和数学期望； 随堂练习：新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在内，按区间分组为，，，，，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于分（百分制）为优秀． （1）求这名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）； （2）按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取名学生座谈，再在这名学生中，选名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量，求的分布列和期望． 知识点二 计算古典概型问题的概率,利用互斥事件的概率公式求概率,写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值 典例4、甲、乙两个学校进行球类运动比赛,比赛共设足球、篮球、排球三个项目,每个项目胜方得100分,负方得0分,没有平局,三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.5,各项目比赛互不影响. （1）求乙获得冠军的概率; （2）用表示甲校的总得分,求的分布列与期望. 随堂练习：有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏. （1）分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率； （2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望. 典例5、我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． （1）求甲公司至少答对2道题目的概率； （2）请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 随堂练习：某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为. （1）求该社区能举行4场音乐会的概率； （2）求该社区举行音乐会场数的分布列和数学期望. 典例6、足球比赛两队踢平，需要通过点球决胜。 1、扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望； 2、好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知． ①试证明：为等比数列； ②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小． 随堂练习：为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下： ①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表： 容易题 中等题 难题 答对概率 0.7 0.5 0.3 答对得分 3 4 5 （1）若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题并说明理由； （2）甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X，求随机变量X的数学期望． 人教A版数学--概率专题二答案 典例1、答案：（1）， （2）分布列见解析， 解：（1），解得. . 由题知：， ，， ，， 的分布列 . 随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析 解：（1）由频率分布表可得，解得， 所以这200份问卷得分的平均值为：； 由题意可得的可能取值为，则， 又， 则的分布列为： 典例2、答案： （1）乙比甲的单板滑雪成绩更稳定 （2）众数为分，平均数为分 （3）分布列答案见解析 解：（1）由图可知，乙比甲的单板滑雪成绩更稳定. （2）因为甲单板滑雪项目测试中分和分成绩的频率之和为， 分成绩的频率为，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为分， 测试成绩分的频率为， 所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为. （3）由题意可知，在每次测试中，甲的成绩为分， 并且乙的成绩为分或分的概率为：， 依题意，，所以，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 随堂练习：答案： （1）41.5（岁）． （2） （3）分布列见解析 解：（1）由小矩形面积和等于1可得：， ∴ a＝0.035 ∴平均年龄为（岁）． （2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30 故用分层抽样后，第1组抽取人，第2组抽取人 ∴再从这5人中抽取3人， 设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为：. （3）由题意可知X服从二项分布X～B（3，） ，， ，. ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P 典例3、答案：（1），，，60 （2）分布列见解析，2.1 解：（1）由题意可得， ， 所以，，. . （2）由（1）可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件， 长度d在的概率 且随机变量ξ服从二项分布， 所以， ， ， ， 所以随机变量ξ分布列为 ξ 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 . 随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析；期望 解：（1）名学生的平均成绩为. （2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为， 则非优秀学员对应的频率为， 抽取的名学生中，有优秀学生人，非优秀学生人； 则所有可能的取值为， ； ； ；； 的分布列为： 数学期望. 典例4、答案： （1）0.5 （2）分布列见解析,150 解:（1）由题知,乙获得冠军时,需要乙在两个项目中获胜或三个项目均获胜, 乙在两个项目中获胜的概率, 乙在三个项目均获胜的概率, 故乙获得冠军的概率; （2）由题分析可得,的所有可能取值为0,100,200,300, , , , , 所以的分布列如下： 0 100 200 300 0.12 0.38 0.38 0.12 的期望. 随堂练习：答案： （1）；. （2）分布列见解析，. 解：（1）设“3轮获胜”为事件，“5轮获胜”为事件， 3轮：白黑黑：，黑白黑：， 所以，先摸球者3轮获胜的概率为 若进行5轮，前四个球的情况为：黑白白白：， 白黑白白：，白白黑白：，白白白黑：， 所以，先摸球者5轮获胜的概率为 （2）由（1）得先摸球者获胜的概率为. X的所有可能取值为：0､1､2､3， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则. 典例5、答案： （1）； （2）甲公司竞标成功的可能性更大． 解：（1）由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对两题或者答对三题； 所求概率 （2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为． ． 则的分布列为： 1 2 3 ， ； 设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为． ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 ． ． 由可得，甲公司竞标成功的可能性更大． 随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析， 解：（1）由已知可得，，又，解得 设表示第i天可以举行音乐会，B表示该社区能举行4场音乐会 则 （2）的可能取值为0，1，2，3，4，5 ； 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 P 从而数学期望为： 典例6、答案： （）1分布列见解析；期望为 （2）①证明见解析 ；② 解：（1）方法一：的所有可能取值为， 在一次扑球中，扑到点球的概率， 所以， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为， 门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知， 所以， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以的期望． （2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为， 则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为， 第次传球之前球不在甲脚下的概率为， 则， 即，又， 所以是以为首项，公比为的等比数列． ②由①可知，所以， 所以， 故． 随堂练习：答案： （1）后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析 （2） 解：（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为分，要进入决赛，还需要得分， 所以甲后两轮的选择有三种方案： 方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为； 方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为； 方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：； 因为，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题. 依题意，X的可能取值为3、7、8、11、12、16， 则， ， ， 所以X的分布列为： X 3 7 8 11 12 16 P 所以. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$