数学午练4　两角和与差的正弦，余弦，正切公式——2025届高三数学一轮复习

江苏省泗阳实验高级中学2024-2025学年高三一轮复习精品午练专题训练篇 编号0032 两角和与差的正弦，余弦，正切公式专题训练 一单选题（共8小题，每题5分，满分为40分） 1.已知角α的终边过点A（1，），则cos（α＋）＝（　　） A.－　 B.0　　 C.　 D. 2.已知sin α＝，α∈（，π），tan（π－β）＝，则tan（α－β）＝（　　） A.－　 B.　　 C.　 D.－ 3．已知,,则的值为( ) A. B. C. D. 4.3sin x＋3cos x＝（　　） A.6cos（x＋）　 B.3cos（x－） C.6sin（x＋）　 D.3sin（x－） 5.设sin（α＋）＝－cos α，则cos（－2α）＝（　　） A.－　 B.　　 C.－　 D. 6已知sin（α－β）＝，cos αsin β＝，则cos（2α＋2β）＝（　　） A.　 B. C.－　 D.－ 7若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2cossin β，则（　　） A.tan（α－β）＝1　 B.tan（α＋β）＝1 C.tan（α－β）＝－1　 D.tan（α＋β）＝－1 8.已知x，y∈（0，），sin（x＋y）＝2sin（x－y），则x－y的最大值为（　　） A.　　　　　　　 B. C.　 D. 二多选题（共3小题，每题6分，满分为18分） 9.下列等式能够成立的为（　　） A.sin 15°cos 15°＝ B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1 C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1 D.sin 15°＋cos 15°＝1 10．已知cos（α＋β）＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则下列各式正确的是（　　） A.sin 2α＝　 B.cos（α－β）＝ C.cos αcos β＝　 D.tan αtan β＝3 11.已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos（α＋β）＝－，则（　　） A.cos α＝－　 B.sin α－cos α＝ C.β－α＝　 D.cos αcos β＝－ 三填空题（共3小题，每题5分，满分为15分） 12．化简______. 13若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β＝　　. 14.已知α，β，γ∈（0，），sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α＝　　. 四解答题（共2小题，每题15分，满分为30分） 15.已知0＜β＜＜α＜，cos（－α）＝，sin（－β）＝. （1）求cos α的值； （2）求sin（α－β）的值. 16.已知sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝. （1）证明：tan α＋5tan β＝0； （2）计算的值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 两角和与差的正弦，余弦，正切公式专题训练答案 1解析：B　∵角α的终边过点A（1，），∴sin α＝＝，cos α＝＝，则cos（α＋）＝cos α－sin α＝×－×＝0，故选B. 2解析：A　∵sin α＝，α∈（，π），∴cos α＝－，tan α＝－，又tan（π－β）＝，∴tan β＝－，∴tan（α－β）＝＝＝－. 3答案：C 解析：因为,, 所以,可得, 所以, 则, 故选:C. 4解析：C　3sin x＋3cos x＝6（sin x＋cos x）＝6sin（x＋），故选C. 5解析：D　sin（α＋）＝sin α·＋cos α·＝－cos α，即sin α·＋cos α·＝，所以sin α·＋cos α·＝，即cos（－α）＝，所以cos（－2α）＝2cos2（－α）－1＝2×－1＝，故选D. 6解析：B　因为sin（α－β）＝，所以sin αcos β－cos αsin β＝.因为cos αsin β＝，所以sin αcos β＝＋＝，所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos（2α＋2β）＝cos[2（α＋β）]＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×＝.故选B. 7解析：（1）由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×（cos α－sin α）·sin β，整理，得sin α·cos β－sin βcos α＋cos α·cos β＋sin αsin β＝0，即sin（α－β）＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C. 8解析：B　由sin（x＋y）＝2sin（x－y）得，sin xcos y＋cos xsin y＝2sin xcos y－2cos xsin y，则tan x＝3tan y，所以tan（x－y）＝＝＝≤，当且仅当tan y＝时等号成立，由于f（x）＝tan x在x∈（0，）上单调递增，又x，y∈（0，），则x－y的最大值为. 9解析：BC　对于A：sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，A错误；对于B：sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin（75°＋15°）＝sin 90°＝1，B正确；对于C：cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos（105°＋75°）＝cos 180°＝－1，C正确；对于D：sin 15°＋cos 15°＝2sin（15°＋30°）＝2sin 45°＝，D错误.故选B、C. 10解析：ABD　因为cos 2α＝－，且0＜α＜，所以0＜2α＜π，所以sin 2α＝＝，故A正确；因为cos（α＋β）＝－，0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋β＜π，所以sin（α＋β）＝＝，所以cos（α－β）＝cos[2α－（α＋β）]＝cos 2αcos（α＋β）＋sin 2αsin（α＋β）＝－×（－）＋×＝，故B正确；cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝①，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－②，由①＋②，得2cos αcos β＝，解得cos αcos β＝，故C不正确；由①－②，得2sin αsin β＝，解得sin αsin β＝，则tan αtan β＝＝＝3，故D正确.故选A、B、D. 11解析：BC　因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝＞0，故有≤2α≤π，≤α≤，解出cos 2α＝－＝2cos2α－1⇒cos2α＝⇒cos α＝，故A错误；（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝，又≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又cos（α＋β）＝－＜0，所以≤α＋β≤，解得sin（α＋β）＝－，所以cos（β－α）＝cos[（α＋β）－2α]＝－×＋×＝－，又因为≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，有β－α＝，故C正确；由cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－，cos（β－α）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误.故选B、C. 12答案： 解析：原式. 故答案为:. 13∵α＋β＝，∴tan（α＋β）＝＝tan（π－）＝－，∴tan α＋tan β＝－（1－tan αtan β），∴tan αtan β－tan α－tan β＝. 14解析：由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝（sin β－sin α）2＋（cos α－cos β）2＝2－2（sin βsin α＋cos βcos α），∴cos（β－α）＝，∵γ∈（0，），∴sin γ＝sin β－sin α＞0，又α，β∈（0，），∴β＞α，∴0＜β－α＜，∴β－α＝. 15解：（1）因为＜α＜，所以－＜－α＜0， 又cos（－α）＝，所以sin（－α）＝－， 所以cos α＝cos［－（－α）］＝coscos（－α）＋sinsin（－α）＝×＋×（－）＝－. （2）因为0＜β＜，所以0＜－β＜， 又sin（－β）＝，所以cos（－β）＝， 所以sin（α－β）＝sin［（－β）－（－α）］＝sin（－β）cos（－α）－cos（－β）sin（－α）＝×－×（－）＝. 16解：（1）证明：法一　由条件sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝，得2sin（α－β）＝3sin（α＋β）， 即2sin αcos β－2cos αsin β＝3sin αcos β＋3cos αsin β， 整理得sin αcos β＝－5cos αsin β， 即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证. 法二　由条件sin（α－β）＝，sin（α＋β）＝， 即sin αcos β－cos αsin β＝，　① sin αcos β＋cos αsin β＝，　② 由①②，得sin αcos β＝，cos αsin β＝－， 从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证. （2）由于tan（α－β）＝⇒tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）， 所以＝ ＝ ＝－＝. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$