专项训练8 概率-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册期末复习

高一下学期数学期末【考前专项训练】【08】概率 题型探究 【题型01】事件的关系和运算 【题型02】古典概率 【题型03】概率的基本性质 【题型04】互斥事件 【题型05】相互独立事件 【题型06】频率与概率 知识点总结 各个击破 【题型01】事件的关系和运算 一、事件的关系 定义 符号表示 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B)   相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A=B   二、交事件与并事件 定义 符号表示 图示 并事件 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B)   交事件 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 【专项训练】 一、单选题 1．对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．对于两个事件，则事件表示的含义是（    ） A．A与B同时发生 B．A与B有且仅有一个发生 C．A与B至少一个发生 D．A与B不能同时发生 3．设为同一试验中的两个随机事件，则“”是“事件互为对立事件”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（    ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与不可能互斥 【题型02】古典概率 1. 古典概型的定义：某些随机试验的样本点及样本空间具有以下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 　　我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 2. 古典概型的概率公式 　　一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件 A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)= =其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 【专项训练】 5．甲在微信群中发出5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则x，y满足的概率为（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．将四枚完全相同且质地均匀的硬币（每个硬币都有正反两面）分别拋掷一次，则恰有两枚硬币正面向上且这两枚硬币不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型03】概率的基本性质 一、概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(⌀)=0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)，此性质可以推广到 多个事件的情况，即如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+ P(A2)+…+P(Am). 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 二、利用概率的性质求事件的概率 1. 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1)将要求概率的事件表示为彼此互斥的几个事件之和； (2)分别求各事件的概率，再求各概率之和. 2. 运用对立事件的概率公式解题的一般方法 (1)求正面思考较为困难的事件的概率，可以转化为求其对立事件的概率； (2)利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断所求事件的对立事件. 3. 已知简单事件的概率求复杂事件的概率的一般步骤 (1)事件表示：将已知概率的事件、要求概率的事件用适当的字母表示出来； (2)事件运算：将已知概率的事件进行适当的运算得到要求概率的事件； (3)求概率：利用互斥事件、对立事件等的概率公式求相关概率. 【专项训练】 9．设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知随机事件和互斥，且，，则事件的对立事件的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 12．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 13．已知随机事件A和B互斥，且，则等于（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2 14．已知随机事件和互斥,且,,则等于（    ） A． B． C． D． 【题型04】互斥事件 1. 准确理解互斥事件与对立事件的含义 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生； (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. 2. 互斥事件、对立事件的判断方法 (1)判断两个事件是不是互斥事件，先对样本点进行逻辑划分，再看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件. (2)判断两个事件是不是对立事件，先对样本点进行逻辑划分，再看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生. 如果这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，如果这两个条件中有一个不成立，那么这两个事件就不是对立事件. (3)利用Venn图进行分析，类比集合的关系进行判断. (4)对于较难判断的关系，可考虑列出全部样本点，再进行分析. 【专项训练】 二、解答题 15．在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 16．某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为，请问他有可能乘何种交通工具去？ 17．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是.求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？ 【题型05】相互独立事件 一、事件相互独立的定义 1. 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 二、相互独立事件的性质 1. 如果事件A与B相互独立，那么A与与B， 与也都相互独立. 2. 必然事件Ω、不可能事件⌀都与任意事件相互独立. 三、判断事件的独立性 1. 判断两个事件是否相互独立的方法 (1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件的发生. (2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，即两个事件同时发生的概率是否等于每个事件发生的概率的乘积. (3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与或与B或与 是否相互独立. 四、利用事件的独立性求复杂事件的概率 　　由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. 解题时要注意： (1)对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率；另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生(乘法)求出概率. (2)已知两个事件A，B，那么 ①A，B中至少有一个发生为事件A∪B. ②A，B都发生为事件AB. ③A，B都不发生为事件. ④A，B恰有一个发生为事件∪B. ⑤A，B中至多有一个发生为事件A∪B∪. 概率关系如下表： 概率 A、B互斥 A、B相互独立 P(A∪B) P(A)+P(B) 1-P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P() 1-[P(A)+P(B)] P()P() P(A∪B) P(A)+P(B)(A、B互斥时，A=A， B=B) P(A)·P()+P()·P(B) P(∪A∪B) 1 1-P(A)P(B) (3)求较复杂事件的概率的一般步骤 ①列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示出来. ②理清事件之间的关系(事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式. ③根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. ④当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 【专项训练】 18．为普及安全知识，某单位举办了一场安全知识竞赛，经过初赛、复赛，有甲、乙两个代表队（每队三人）进入决赛，决赛规则如下：共进行三轮比赛，每轮比赛中每人各答一题，每答对一题得 10 分，答错不得分. 假设甲队每人答题正确的概率均为，乙队三人答题正确的概率分别. (1)若决赛中三轮总得分大于70分就能获得特别奖，求乙队获得特别奖的概率; (2)因两队在决赛中得分相同，现进行附加赛. 规则如下：甲，乙两队抽签决定谁先答题，每队每人各答题一次为一轮，有两人及以上答对就算成功答题，并继续下一轮答题，否则换另一队答题，连续两轮成功答题的队伍获胜，比赛结束. 求附加赛中甲队恰好在第5轮结束时获胜的概率. 19．甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率； (2)求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率． 20．作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．求该局打个球甲赢的概率； 21．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率． 【题型06】频率与概率 一、频率的随机性与稳定性 1. 频率的随机性：大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性. 2. 频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. 因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 二、随机模拟 1. 随机模拟方法：用频率估计概率，需要做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速进行大量重复试验了. 我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 2. 随机模拟方法估计频率的步骤 (1)建立概率模型； (2)进行模拟试验(可用抽签法或随机数法)； (3)统计试验结果； (4)用频率估计概率. 三、用频率估计概率 1. 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 因此可以用频率估计概率. 四、用随机模拟方法估计事件的概率 1. 用随机模拟方法求事件概率的方法 (1)在使用整数随机数进行模拟试验时，要确定随机数的范围和随机数代表的试验结果. 试验的基本结果等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件. (2)研究等可能事件的概率时，用比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数. 当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理. 【专项训练】 22．某地区有高中生7200人，初中生11800人，小学生12000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层随机抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，得到高中生、初中生、小学生的近视率分别为80%、70%、36%. (1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为310，那么在高中生、初中生、小学生中分别抽取了多少人？在这种情况下，请估计该地区全体中小学生的近视率（精确到1%）； (2)如果从高中生、初中生、小学生中抽取的样本量分别为60，100和150，那么在这种情况下，抽取的样本的近视率是多少？该地区全体中小学生的近视率约为多少（精确到1%）? 23．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当临界值时，求漏诊率和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最大值． 24．为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示． (1)根据直方图作频率分布表； (2)估计数据落在中的概率为多少； (3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数． 25．鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）： 甲款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 10% 8% 4% 频数 10 60 30 乙款鲁班锁玩具 一等品 二等品 三等品 单件成本利润率 7.5% 5.5% 3% 频数 50 30 20 (1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率； (2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据事件之间的关系与运算对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确； 对于选项B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确； 对于选项C，由题意知C正确； 对于选项D，由于＝D＝{至少有一次击中目标}，不是必然事件； 而为必然事件，所以，故D不正确． 故选：D. 2．C 【分析】根据事件之间的和事件关系，可得答案. 【详解】由表示的是与中至少一个发生. 故选：C. 3．B 【分析】根据对立事件概率的性质可以说明条件是必要的，容易给出反例说明条件不是充分的. 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种及以上，其中表示概率为的两个不同事件， 则不互为对立事件，此时，故条件不是充分的. 故选：B. 4．B 【分析】用图示法，集合表示事件，集合表示事件，选项A，由图知不是全集，可判断选项A错误，选项B，由图知，即可判断出选项B的正误，因为可能为空集，也可能不为空集，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】如图所示，集合表示事件，集合表示事件， 对于选项A，如图，因为不是全集，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，即是必然事件，所以选项B正确， 对于选项C，由图知不一定是空集，即与可以同时发生，所以选项C错误， 对于选项D，由图知，若，则与互斥，所以选项D错误， 故选：B. 5．A 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】设乙领到元，丙领到元，丁领到元，则可用表示1个样本点， 可得，所以样本点总数个， 设乙获得“最佳手气”为事件，则包含的样本点有，，，共3个， 即，所以概率为． 故选：A． 6．B 【分析】根据题意，由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】所有的样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)， (3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12个． 满足的样本点有(2，3)，(3，2)，(4，1)，共3个， 所以所求事件的概率． 故选：B 7．C 【分析】根据题意先求出次传球的路线总数,再求出次传球后球在甲手中的路线种数,再利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】根据题意次传球总的传球路线种数为种, 满足题意的有:甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、甲-丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲-丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲,共有种, 所以次传球后球在甲手中的概率为. 故选:C. 8．A 【分析】列出将四枚完全相同且质地均匀的硬币分别抛掷一次的所有事件发生的情况，再结合古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】将四枚完全相同且质地均匀的硬币分别抛掷一次， 共有（正，正，正，正），（正，正，正，反），（正，正，反，正），（正，反，正，正）， （反，正，正，正），（正，正，反，反），（正，反，反，正），（正，反，正，反）， （反，反，正，正），（反，正，反，正），（反，正，正，反），（正，反，反，反）， （反，正，反，反），（反，反，正，反），（反，反，反，正），（反，反，反，反），16种情况，其中恰有两枚硬币正面向上且这两枚硬币不相邻， 共有（正，反，正，反），（正，反，反，正），（反，正，反，正），3种情况， 所以恰有两枚硬币正面向上且这两枚硬币不相邻的概率为. 故选：A. 9．A 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为，故， 因为与为互斥事件，故， 所以 ，故，故. 故选：A 10．C 【分析】先计算出，利用互斥事件概率加法公式求出答案. 【详解】∵，， ∴， ∵事件A，B是互斥事件， ∴． 故选：C 11．D 【分析】借助互斥事件的概率公式及对立事件的定义计算即可得． 【详解】根据题意，因为，事件和互斥， 所以， 所以， 所以事件的对立事件发生的概率为. 故选：D. 12．B 【分析】利用互斥事件性质以及已知数据代入公式计算即可求得，再由对立事件性质可得. 【详解】由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得， 又和对立，可得，解得. 故选：B 13．C 【分析】利用互斥事件加法公式和对立事件概率公式计算即可. 【详解】因为随机事件A和B互斥，且， 所以，所以. 故选：C. 14．B 【分析】因为和互斥,由求出,再由即可得到答案. 【详解】因为和互斥, 所以, 又, 所以, 因为, 所以. 故选:B. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概率模型，先求出所有基本事件的总数，再求出满足事件条件的基本事件数，从而确定事件的概率； （2）根据题意取得两个同颜色的球分为取得两个红球和取得两个绿球两种情况，根据互斥事件概率计算公式，计算即可； （3）求出至少取得一个红球事件的对立事件即事件的概率，根据，为对立事件，有. 【详解】（1）设取得两个红球为事件，取得两个绿球为事件，至少取得一个红球为事件， 易知，为互斥事件，，为对立事件；7个红玻璃球，3个绿玻璃球， 从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有（个）， 其中事件发生所包含的的基本事件有（个）， 事件发生所包含的的基本事件有（个）， 所以， 所以取得两个红球的概率为：. （2）取得两个同颜色的球的概率为：. （3）至少取得一个红球的概率为：. 16．(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由互斥事件的和事件的概率公式的计算可得结果； （2）由对立事件的概率公式的计算可得结果； （3）由互斥事件的和事件的概率公式和对立事件的概率公式的计算可判定结论. 【详解】（1）记“他乘火车去”为事件，“他乘轮船去”为事件，“他乘汽车去”为事件，“他乘飞机去”为事件，这四个事件任意两个都不可能同时发生，故它们彼此互斥， 故，即他乘火车或乘飞机去的概率为. （2）设他不乘轮船去的概率为P， 则. （3）由于， 故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． 17．得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，， 【分析】设出事件，由已知条件得出事件的概率，根据对立事件以及互斥事件的概率性质，即可得出答案. 【详解】从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥. 由已知可得，，，， 则，即， 所以，，. 故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，. 18．(1) (2) 【分析】（1）由独立乘法、互斥加法公式先求出、，进一步即可求解； （2）分别求出甲、乙两队成功答题的概率，分甲先答第一轮、乙先答第一轮两种情形讨论即可求解. 【详解】（1）设乙队每轮得分为， ， ， 轮积分超过70分， . （2）其中甲队成功答题的概率为， 其中乙队成功答题的概率为， 若甲先答第一轮： 甲（胜）甲（负）乙（负）甲（胜）甲（胜）   ， 甲（负）乙（胜）乙（负）甲（胜）甲（胜） ， 若乙先答第一轮： 乙 （负）甲（负）乙（负）甲（胜）甲（胜） ，， 甲队恰好在第5轮结束获胜的概率为. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式求解； （2）所求事件可分为甲猜对2个乙猜对1个，甲猜对1个乙猜对2个两互斥事件的和求解. 【详解】（1）一轮活动乙猜对且甲没有猜对的概率为； （2）两轮活动甲都猜对的概率为，甲仅猜对一个的概率为， 乙都猜对的概率为，乙仅猜对一个的概率为， 则两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率为． 20． 【分析】先设甲发球甲赢为事件，乙发球甲赢为事件，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解； 【详解】设甲发球甲赢为事件，乙发球甲赢为事件，该局打4个球甲赢为事件， 由题知，，， ∴， ∴， ∴该局打4个球甲赢的概率为． 21．(1) (2) 【分析】（1）先设事件，然后利用事件的相互独立性的乘法公式列方程组求解即可； （2）利用相互独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式计算. 【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”， 由于相互独立，所以和相互独立， 则，解得， 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为； （2）因为相互独立，且相互互斥， 所以 ， 所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为． 22．(1)72；118；120；59% (2)55%；59%. 【分析】（1）利用分层抽样比为，可计算每层抽样的人数：高中生、初中生、小学生中分别抽取了人，人，人．再求样本容量为的学生的近视率为，利用样本估计总体，可以估计该地区全体中小学生的近视率为； （2）如同方法（1）求新样本的近视率约为，求该地区全体中小学生的近视率约为. 【详解】（1）分配比例为，所以在高中生、初中生、小学生中分别抽取了（人），（人），（人）． 总样本量为的学生的近视率为, 在比例分配的分层随机抽样中，我们直接用样本平均数估计总体平均数， 所以可以估计该地区全体中小学生的近视率为. （2）抽取的样本的近视率是, 由于总体中的个体数为， 得该地区全体中小学生的近视率为 即该地区全体中小学生的近视率约为. 23．(1)0.5%，3.5%； (2)，0.07. 【分析】（1）根据题意，由第一个图求出的矩形面积，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出. （2）根据题意，确定分段点100，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出. 【详解】（1）依题意，， . （2）当时， ， 当时，； 当时， ， 当时，， 所以，在区间上的最大值为0.07. 24．(1)答案见解析 (2)0.47 (3)2000 【分析】（1）根据小矩形面积为各组频率求出频率列表即可； （2）数据落在中的概率即为之间矩形面积之和； （3）根据分层抽样的比例关系即可得到答案. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表 分组 频率 0.05 0.20 0.28 0.30 0.15 0.02 （2），所以数据落在中的概率约为0.47. （3）设水库中鱼的总条数约为条，则， 即，所以水库中鱼的总条数约为2000条. 25．(1) (2)甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元 【分析】（1）用频率估计概率,利用频率公式即可求； （2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润. 【详解】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为． （2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）． 乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元）， 二等品的利润为（元）， 三等品的利润为（元）， 故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$