期末复习专项训练3复数-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一下学期数学期末【考前专项训练】【03】复数 题型探究 【题型01】复数的基本概念 【题型02】复数的几何意义 【题型03】复数的加减运算 【题型04】复数的乘除运算 知识点总结 1.复数的模 |z|=|a+bi|= 2.复数的加法与减法 　　设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 3.复数的乘法法则 （1）设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2. 复数乘法的运算律 ①交换律：z1z2=z2z1；②结合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)；③分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 9.复数的除法运算 复数的除法法则：(a+bi)÷(c+di)= +i(a，b，c，d∈R，且c+di≠0). 10. 共轭复数的性质 (1)z·=|z|2=||2；(2)如果z=，则z， 为实数； (3)共轭复数的和为实数，即z+=2a； (4) =+；(5) =  . 11.in(n∈N)的周期性及其应用 虚数单位i的乘方具有周期性，最小正周期为4，有以下结论 (1)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N)，其中i0=1，i-n= (n∈N). (2)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N). 各个击破 【题型01】复数的基本概念 一、单选题 1．设，则的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 3．已知复数（）的实部大于虚部，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型02】复数的几何意义 5．已知复数z在复平面内对应的点在第三象限，，，若，则z的虚部为（    ） A．-3 B．3 C．-4 D．4 6．下列命题： ①实数在复平面内所对应的点在实轴上； ②虚轴上的点所对应的数是纯虚数； ③若，则为虚数； ④，则． 其中正确命题的个数是（    ）． A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．设则是纯虚数的充要条件是 B．复数与在复平面中对应的点分别在轴上方和下方 C．设复数与满足，则 D．若复数与满足，则 8．已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型03】复数的加减运算 9．已知，为方程的两个虚根，则（   ） A． B． C． D． 10．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 11．已知复数满足，则复数在复平面里位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【题型04】复数的乘除运算 13．已知，则（    ） A． B． C．4 D．2 14．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 15．已知关于的方程的一个根为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 16．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 17．已知复数的实部为2，且，则虚部为（　　） A． B． C． D． 18．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．下列命题为真命题的是（    ） A．若，互为共轭复数，则为实数 B．若，则 C．复数的共轭复数为 D．关于复数的方程（）有实数根，则 20．设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．“”的充要条件是“” B．若，则的最大值为3 C．若，，则 D．方程在复数集中有6个解 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 1．A 【分析】根据化简复数，即可根据虚部概念求解. 【详解】由于，所以的虚部为1， 故选：A 2．B 【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性. 故选：B 3．B 【分析】利用复数的定义及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由已知可得，即，解得或， 因此，实数a的取值范围是． 故选：B. 4．D 【分析】由复数相等可列出方程组求解. 【详解】由题意， 所以，解得，所以. 故选：D. 5．A 【分析】 根据复数的模定义可求得值，从而可得，即可得出结论. 【详解】 由题意得， 所以，解得或， 因为复数z在复平面内对应的点在第三象限，所以舍去， 故，虛部为-3． 故选：A. 6．D 【分析】根据实数对应点的坐标的特征可知①正确；通过反例可知②③④错误. 【详解】对于①，实数在复平面内所对应的点的坐标为，均在实轴上，①正确； 对于②，点在虚轴上，但所对应的数为实数，②错误； 对于③，当时，为实数，③错误； 对于④，当，时，，④错误； 故选：D. 7．C 【分析】A.由一个复数是纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0判断；B.由实数与其共轭复数对应的点都在实轴上判断；C.由得到与都是实数判断；D.分实数和虚数判断. 【详解】解：一个复数是纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0，故A选项错误； 实数与其共轭复数对应的点都在实轴上，故B选项错误； 说明与都是实数，所以C正确； 选项对实数成立，但对虚数未必成立．如但不成立. 故选：C 8．A 【分析】 根据已知条件，结合复数的几何意义得出对应点的坐标，即可求出实数的取值范围. 【详解】将整理化简可得， 所以复数在复平面内对应的点坐标为， 由点位于第四象限可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 9．B 【分析】由已知可求解方程的根，，然后利用复数的加法和模的运算求解即可. 【详解】因为，解得，， 所以，， 所以. 故选：. 10．C 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：C. 11．A 【分析】设，根据复数模公式化简可得，然后可判断复数所在象限. 【详解】设，则， 即， 所以，点在以为圆心，1为半径的圆上，位于第一象限. 故选：A 12．B 【分析】根据共轭复数的定义以及复数的减法运算即可求解. 【详解】设，则，由可得，所以， 故z的虚部为， 故选：B 13．A 【分析】根据复数的四则运算可得，，即可得模长. 【详解】由题意可得，则， 所以. 故选：A. 14．C 【分析】利用复数的运算求解. 【详解】, 则. 故选：C. 15．C 【分析】解复数范围内方程可得及的值即可得解. 【详解】由可得， 故，，即. 故选：C. 16．B 【分析】根据复数的四则运算法则和求复数的模长公式，化简已知条件，得到复数z，再求复数z的共轭复数，得 【详解】因为，所以， 则，则 故选：B 17．B 【分析】根据复数的计算公式，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由条件可知，，则， 则，则， 所以的虚部为. 故选：B 18．D 【分析】根据复数的乘方和复数的除法运算求得复数，从而可得共轭复数，即可得其虚部. 【详解】解：因为，所以，其虚部为. 故选：D. 19．ABD 【分析】根据题意，结合复数的运算及性质，依次分析选项是否正确，即可得答案． 【详解】设，，则为实数，A选项正确． 设，，则，正确． ，其共轭复数是，C选项错误． 设是方程的实根， 则，，．D选项正确． 故选：ABD． 20．ABD 【分析】根据共轭复数的概念及性质，结合充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；根据复数模的几何性质，可判定B正确；根据复数乘方的运算规律，可判定C不正确；设为方程的解，得到，分、两种情况讨论，即可求解. 【详解】对于A中：若，则成立，若，可得，解得， 所以成立，所以A正确； 对于B中：若，则表示以原点为圆心，半径为的圆上的点到点的距离， 因为原点到点的距离为，所以的最大值为，所以B正确； 对于C中：若，， 则，所以C不正确； 对于D中：设为方程的解， 代入方程得，即， 若，则，即， 所以或，解得或，即是原方程的解； 若，则，即， 所以，解得或；或，解得或； 即，，，也是原方程的解. 综上可得，原方程有6个解，分别为，，，，，，所以D正确. 故选：ABD. $$