精品解析：甘肃省陇南市武都区城关中学2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题

2023-2024学年度下学期期中试题八年级数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 2. 能使等式成立的x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 直角三角形两边长分别为和，则第三条边长为(　　) A. B. C. 或 D. 或10 5. 如图，，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（ ） ​ A. 北偏东40° B. 北偏东50° C. 东偏北60° D. 东偏北70° 6. 如图所示，中，于，若，，，则的长为（ ） A B. C. D. 7. 在平行四边形ABCD中，,则的度数为（ 　 ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 在矩形纸片中，．如图所示，折叠纸片，使点A落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在线段、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若式子有意义，则k取值范围是______． 12. 在△ABC中，三边长分别为1、、，则它的面积为_______． 13. 如图，在中，点D、E、F分别是各边的中点，若的面积为，则的面积是_______． 14. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是__________． 15. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，，则BD的长为______． 16. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接并延长至点F，使，连接并延长至点G，使，连接．若，，则的度数为________． 三、解答题（共46分） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 19. 已知：在中，，于，，．求： （1）求的面积； （2）求线段的长： （3）求高的长． 20. 如图，在平行四边形中，点分别在延长线上，且．求证：四边形为平行四边形． 21. 如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少处？ 22. 计算： （1）先化简，再求值，其中a＝+1． （2）已知x＝2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值． 四、解答题（共50分） 23. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 24. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，． （1）求证：； （2）连接，若，试探究四边形的形状． 25. 如图，中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，是的平分线，若，求的长度． 26. 如图，已知，， （1）求证∶； （2）若平分， ，求的长度 27. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）______________； （2）化简； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期期中试题八年级数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的含义，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法法则逐项进行计算即可得． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法，掌握以上运算是解题的关键． 2. 能使等式成立的x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 故选：C． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含分母，不含能开的尽方的数或因式解答即可. 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，是最简二次根式； D、，不是最简二次根式； 故选：C. 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础概念题型，熟知最简二次根式的概念是关键. 4. 直角三角形的两边长分别为和，则第三条边长为(　　) A. B. C. 或 D. 或10 【答案】D 【解析】 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为， ①当是直角边，则，解得：， ②当是斜边，则，解得． ∴第三边长为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 5. 如图，，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（ ） ​ A. 北偏东40° B. 北偏东50° C. 东偏北60° D. 东偏北70° 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出40°的余角即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由题意得：， ∴点B在点O的北偏东50°方向， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，与方向角有关的计算．解题的关键是利用勾股定理逆定理得到． 6. 如图所示，中，于，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于CD⊥AB，CD为Rt△ADC和Rt△BCD的公共边，在这两三角形中利用勾股定理可求出BD的长． 【详解】解：∵CD⊥AB， ∴∠CDA=∠BDC=90° 在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2， 在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2， ∴AC2-AD2=BC2-BD2， ∵AD=2BD，AC=5，BC=4， ∴52-（2BD）2=42-BD2 解得：BD=． 故选B． 【点睛】仔细分析题目是解题关键，本题中有一直角边为公共边，只要充分利用这一点及勾股定理，则容易解题． 7. 在平行四边形ABCD中，,则的度数为（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合题目条件对角的和为，即可求得的度数． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等的性质是解题关键． 8. 如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可．掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 【详解】解：A、， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、， ，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 9. 如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的的长度，进而根据公式可得出菱形的面积． 【详解】解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1， ∴AC＝2OA＝2， ∵菱形的边长为， ∴AB＝， ∴， ∴BD＝2BO＝4， ∴S菱形ABCD＝BD•AC＝×4×2＝4． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形面积的计算，掌握菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键． 10. 在矩形纸片中，．如图所示，折叠纸片，使点A落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在线段、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据翻折的性质，①当P与B重合时，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，②当Q与D重合时，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：①当P与B重合时，BA′＝BA＝6， CA′＝BC−BA′＝10−6＝4， ②当Q与D重合时，由勾股定理，得 CA′＝=＝8， CA′最大是8，CA′最小是4，点A′在BC边上可移动的最大距离为8−4＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若式子有意义，则k取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件可知k-1≥0，零次幂底数不能为0可得k-2≠0，再解不等式可得答案． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得， ∴， 由0次幂有意义的条件得， ∴， 综合得且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式，零次幂有意义的条件是解题的关键． 12. 在△ABC中，三边长分别为1、、，则它的面积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理先得到三角形是直角三角形，在求面积即可 【详解】解：∵， ∴△ABC是直角三角形， ∴面积为， 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形面积的求解，熟练掌握知识点是解题关键. 13. 如图，在中，点D、E、F分别是各边的中点，若的面积为，则的面积是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理判定四边形BEFD是平行四边形，然后可证明△BDE≌△FED，同理可证：△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，从而这四个三角形彼此全等，它们的面积也相等，所以可求得△DEF的面积． 【详解】解：∵点D、F分别是AB，AC的中点， ∴DF//BC，DF＝BC， ∴DF//BE， ∵E是BC的中点， ∴BE＝BC， ∴DF＝BE， ∴四边形BEFD是平行四边形， ∴BD＝EF， 在△BDE和△FED中， ∴△BDE≌△FED（SSS）， 同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED， 即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED， ∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形的中位线定理、三角形全等的判定等知识，做题的关键是证△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED． 14. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝2，即可得出答案． 【详解】解：∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB＝2， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴AC＝2AO＝4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长． 15. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若，，则BD的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可得，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， 故答案为：8． 16. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接并延长至点F，使，连接并延长至点G，使，连接．若，，则的度数为________． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是是中位线， ∴， ∴． 故答案为：35． 三、解答题（共46分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式计算，二次根式的平方化简，再计算加减法； （2）先化简，计算乘法，再计算加减法． 【小问1详解】 解：原式= ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据整式运算，乘法公式的变形，再代入计算，即可求解； （2）根据整式的运算，先通分，再进行加减，最后代入计算，即可求解． 【小问1详解】 解： 当，， ∴原始． 【小问2详解】 解： 当，， ∴原始． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握完全平方公式，平方差公式的变形是解题的关键． 19. 已知：在中，，于，，．求： （1）求的面积； （2）求线段的长： （3）求高的长． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）利用直角三角形的面积公式计算即可求解； （）根据勾股定理计算即可求解； （）利用三角形面积即可求解； 本题考查了直角三角形的面积，勾股定理，掌握勾股定理及三角形面积计算公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 ∵，，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在平行四边形中，点分别在延长线上，且．求证：四边形平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，由平行四边形的性质可得，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点分别在延长线上，且， ∴，， 即， ∴四边形是平行四边形． 21. 如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少处？ 【答案】 【解析】 【分析】先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． 22. 计算： （1）先化简，再求值，其中a＝+1． （2）已知x＝2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值． 【答案】（1）1+；（2）2+． 【解析】 【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2）根据x的值，可以求得题目中所求式子的值． 【详解】（1）原式＝+ ＝+ ＝， 当a＝+1时， 原式＝； （2）∵x＝2﹣， ∴x2＝（2﹣）2＝7﹣4， ∴（7+4）x2+（2+）x+ ＝（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+ ＝1+1+ ＝2+． 【点睛】本题考查分式与二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确分式与二次根式化简求值的方法． 四、解答题（共50分） 23. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 （1）求的长； （2）求证：是直角三角形． 【答案】（1）5 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理， （1）在中，根据勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 【小问2详解】 证明：∵在中，， ∴直角三角形． 24. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，． （1）求证：； （2）连接，若，试探究四边形的形状． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再利用等式的性质可得，然后再利用判定即可； （2）根据可得四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形为菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； 【小问2详解】 解：四边形为菱形， 理由：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 25. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，是的平分线，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合证明为矩形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，结合矩形的性质可得，，再解求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵， ∴且 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵是的平分线，， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，综合应用上述知识是解题的关键． 26. 如图，已知，， （1）求证∶； （2）若平分， ，求的长度 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得出，则，又，从而，则可证明． （2）由角平分线的性质得，结合平行线性质可得，则有，再结合同角的余角相等得，则有，利用勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是角度的代换． 27. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）______________； （2）化简； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）12 （3）4 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 故答案为： 【小问2详解】 解：原式＝ ； 【小问3详解】 ， a−2＝， ∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5． ∴a2−4a＝1． ∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3 ＝a2×1−4a＋3 ＝a2−4a＋3 ＝1＋3 ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$