2023-2024学年高一数学下学期期末考试模拟卷01（范围：必修第二册）-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年下学期期末考试模拟卷01 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 5．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（    ） A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立 C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立 7．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（    ） A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82 8．已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． B．若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥． C．设样本数据的平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32 D．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分 10．在中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则是在方向上的投影向量 D．若点P是线段AD上的动点，目，则的最大值为 11．在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线是异面直线 B．直线与直线是相交直线 C．存在点，使，，，四点共面 D．存在点，使平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数 . 13．某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为 . 14．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形的两条对角线，，，则面积的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； (2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 16．（15分） 如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面，    (1)求证：平面.； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 17．（15分） 已知向量，， (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)若，求实数k的值． 18．（17分） 在中，内角的对边分别为的面积为，且． (1)证明：； (2)若，求． 19．（17分） 如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体    (1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S， （ⅰ）求证：共面； （ⅱ）求多边形的面积； (2)求该八面体体积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年下学期期末考试模拟卷01 高一·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第二册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B 3．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为， 则，∴. 又，则， ∴. 故选：B. 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】在中，由及正弦定理，得， 于是，而，则， 所以是等腰三角形. 故选：A 5．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设球的半径为，则，解得， 所以球的表面积为， 故选：A. 6．袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（    ） A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立 C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立 【答案】B 【解析】有放回摸出两张卡片的样本空间： ，共25个结果， 事件，共10个结果，， 事件，共5个结果，， 事件，共3个结果，， 事件，共5个结果，， 对于A，，，，事件M与Q不相互独立，A错误； 对于B，，，，事件N与R相互独立，B正确； 对于C，，，，事件N与Q不相互独立，C错误； ，，，事件Q与R不相互独立，D错误. 故选：B 7．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（    ） A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82 【答案】D 【解析】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人， 从乙队中抽取人， 这人答对题目的平均数为， 所以这人答对题目的方差为. 故选：D. 8．已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以中点为原点，建立如图所示坐标系， 则， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． B．若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥． C．设样本数据的平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32 D．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分 【答案】ACD 【解析】对于A，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的； 对于B，若A、B为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，所以不正确； 对于C，设样本数据的均值为，则，方差为，则， 所以新样本的均值为，方差为，故C正确； 对于D，由题意，可得高一年级抽取的样本量为×450＝90， 高二年级抽取的样本量为×350＝70. 高一和高二数学竞赛的平均分约为×80＋×90＝84.375(分)，故D正确. 故选：ACD. 10．在中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则是在方向上的投影向量 D．若点P是线段AD上的动点，目，则的最大值为 【答案】BD 【解析】如图所示： 对选项A，，故A错误； 对选项B， ，故B正确； 对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量， 由平面向量加法可知：为的角平分线表示的向量. 因为，所以为的平分线， 又因为为的中线，所以，如图所示： 所以是在的投影向量，故选项C错误； 对选项D，如图所示： 因为在上，即三点共线， 设，. 又因为，所以. 因为，则，. 令， 当时，取得最大值为.故选项D正确. 故选：BD. 11．在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线是异面直线 B．直线与直线是相交直线 C．存在点，使，，，四点共面 D．存在点，使平面 【答案】AD 【解析】连接，，分别是，的中点，所以， 由，可确定平面，平面平面， 而平面内点直线，故平面， 故与、、三点不共面，所以直线MP与直线BN是异面直线，故A正确，B错误； 因是的中点，所以，故，，三点确定平面， 平面与直线仅有一个公共点，但不与重合，故不存使得平面，故C错误； 由选项A知平面，故平面，只需为中点，有， 则平面，故D正确． 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数 . 【答案】或(写出其中一个即可，答案不唯一) 【解析】设，由， 可得，解得，又是纯虚数， 设且，则，则， 解得，所以或. 故答案为：或.(写出其中一个即可，答案不唯一) 13．某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为 . 【答案】 【解析】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为： 甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元， 即甲答对2题且乙答对3题，或甲答对3题且乙答对2题， 又每位顾客答对2题的概率为， 每位顾客答对3题的概率为， 所以两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为： . 故答案为： 14．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆的内接四边形的两条对角线，，，则面积的最大值为 . 【答案】 【解析】如图，可知，由诱导公式可得, 又， 故， 在中，由正弦定理可得， 所以设， 由余弦定理可得， 因为，所以，故， 则由托勒密定理可得， 所以，所以， 又， 当且仅当时取等号. 故面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； (2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 【解析】（1）依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得 成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：； 成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：； 所以，解得， 所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人. （2）由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为， 则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件， 其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件， 故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为. （3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为， 所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为， 故，解得， 所以成绩良好的最低分数线为. 16．（15分） 如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面，    (1)求证：平面.； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1）∵平面，平面， ∴， ∵二面角为直二面角，且交线为,，平面， ∴平面，平面 ∴平面， ∴平面. （2）设的中点为，过点O平行于AD的直线，因为，平面，则过点O的平行线也垂直于底面， 则以线段AB的中点为原点O，OE, AB所在直线为x轴，y轴，过点O平行于AD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵平面，平面，∴, 在中，，为的中点， ， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 又平面的法向量为， ∴， 设二面角的平面角为，则， ∴二面角的正弦值为. （3）∵轴，，∴， ∴点到平面的距离：. 17．（15分） 已知向量，， (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)若，求实数k的值． 【解析】（1）. （2）由，得，解得. （3），， 因为，所以， 解得. 18．（17分） 在中，内角的对边分别为的面积为，且． (1)证明：； (2)若，求． 【解析】（1）因为的面积，又． 所以， 又．所以．所以． 所以，又，所以． （2）因为．所以， 所以．所以， 所以． 19．（17分） 如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体    (1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S， （ⅰ）求证：共面； （ⅱ）求多边形的面积； (2)求该八面体体积的最大值． 【解析】（1）（ⅰ）证明：由基本事实1，三点共面，设这三点确定的平面为， 因为，且平面，平面， 所以平面，同理，平面， 又因为平面由棱柱上底面绕中心旋转得到， 所以平面平面，因为平面，所以平面， 若平面与平面相交，设平面平面，则至少与中一条直线相交， 不失一般性，设，则平面，且，由基本事实3知，与矛盾，故平面平面， 若平面，则与平面相交，由平面平面，则与平面相交， 因为平面，所以与相交，与矛盾，所以平面， 即四点共面；同理， 综上，六点共面. （ⅱ）旋转后俯视图形如下，由条件知， 且， 旋转前与夹角为，旋转后夹角为， 由平行关系，得，同理， 联结，所以全等且均为等腰直角三角形， 所以，又因为为正三角形且边长为， 所以，所以截面的面积为 （2）(3)利用割补法，分别由向平面作垂线，垂足为， 由向平面作垂线，垂足为； 将八面体补成六棱柱，则八面体的体积为六棱柱的体积扣去六个全等的四面体，即， 易知这些棱柱与棱锥的高均为三棱柱的高，设， 则， 其中，的外接圆也是的外接圆， 设其圆心为O，由正弦定理，其半径为 则，当时，距离最远，此时， 所以八面体体积的最大值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$