精品解析：山东省东营市利津县高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2023-2024学年度高二数学5月月考卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的单调递增区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，令，解不等式即可得答案. 【详解】解：因为函数，所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 故选：C. 2. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由在有2个不同的零点，结合二次函数的性质可求． 【详解】解：因为有两个不同的极值点， 所以在有2个不同的零点， 所以在有2个不同的零点， 所以， 解可得，． 故选：． 3. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 4. 记为等比数列的前项和.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本量法可求公比,从而可求. 【详解】设等比数列的公比为，则， 故，从而， 故选：B. 5. 数列满足 且，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，等出是等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得，所以是以1为首项，4为公比的等比数列， 则，所以，所以. 故选：B. 6. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 140 B. 70 C. 154 D. 77 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果. 【详解】等差数列的前n项和为， . 故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题. 7. 设函数的导数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先求函数的导数，令求出即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故选：B 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答. 【详解】令函数，求导得，令，则，故，单调递减，又，故，即，而，则，即，所以， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的极值点是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求导数得到单调区间，根据增减性求出极值点． 【详解】由题意，， 所以，令，得，即，即， 解得或或， 所以当或时，； 当或时，， 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增， 所以与为极小值点，为极大值点， 综上，函数的极值点为或或． 故选：ABC． 10. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】首先构造函数利用导数求出最值，即可判断A，B正确，利用特殊值即可判断C，D错误. 【详解】对选项A，设，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，即，故A正确. 对选项B，设，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即，故B正确. 对选项C，当时，，此时，故C错误. 对选项D，当时，，故D错误. 故选：AB 11. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若，则数列为递增数列 D. 若数列为等差数列，，则最小 【答案】BC 【解析】 【分析】借助等差数列、等比数列的概念、数列的递推关系逐项计算即可得. 【详解】对于选项A，，，， ，不满足是等差数列，故选项A错误； 对于选项B，当时，， 当时，， 因为时也满足上式，所以，则， 所以是等比数列，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以， 因为，所以， 因此数列为以为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，故选项C正确； 对于选项D，设数列的公差为，因为，所以， 即，当时，没有最小值，故选项D错误. 故选：BC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据单调性求出函数极值点，根据极值点的位置列不等式求解. 【详解】由已知， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减， 所以在时取最大值，所以 解得. 故答案为： 13. 已知数列的前n项和为，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由求得，求出，由等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意得，又，则， 故数列是以6为首项，为公比的等比数列，则. 故答案为：. 14. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为 __． 【答案】, 【解析】 【分析】将在上单调递增，转化为恒成立即可，设，求导确定单调性即可得最值，从而可得实数的取值范围． 【详解】，， 若在上单调递增，则只需在上恒成立， 即在上恒成立，令，， 在上单调递增， ，则，解得， 则实数的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点为的中点， （1）求直线与平面的夹角的正弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的方向向量和平面的法向量后可求线面角的正弦值. （2）求出平面的法向量后可求面面角的余弦值. 【小问1详解】 不妨设，则， ，故， 故，， 设平面的法向量为， 则由可得，取，则， 设直线与平面所成的角为， 则. 【小问2详解】 由长方体的性质可得平面, 又，故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列；． （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前项的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组求出和，可求数列的通项公式； （2）求出数列的通项，利用错位相减法求和. 【小问1详解】 由题意，可得，即， 解得或，又， ，所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 则， 有， 两式相减得， ， . 17. 已知数列的前项和为，. （1）证明：数列是等比数列，并求出通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） 因为， 所以，（）， 两式相减得，即， 所以数列是以4为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易得，进而易求数列的通项公式； （2）求得，进而可得，可求. 【小问1详解】 由， 所以. 【小问2详解】 因为， ， 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定最值；（2）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值点，注意讨论与的大小关系. 【小问1详解】 当时，则函数，， 令，解得或， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，函数在上单调递增， ∴在时取得极小值为，且， 故在上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 ∵，则 ①当时，，函数单调递增，无极值，不合题意，舍去； ②当时，令，得或， ∴在，上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，在时取得极小值， ∴； ③当时，令，得或， ∴在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，在时取得极小值， ∴，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求整数k的最大值. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； （2）1 【解析】 【分析】（1）求导，分、和三种情况，利用导数判断函数单调性； （2）参变分离可得对恒成立，构建，利用导数求其最值，并结合零点代换分析求解. 【小问1详解】 . 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 【小问2详解】 当时，， 则对于恒成立，即对恒成立， 令，则. 令，则， 所以在上单调递增. 又，， 所以存在，使得， 且在上单调递减，在上单调递增，所以. 又，所以， 所以，所以整数k的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度高二数学5月月考卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的单调递增区间（ ） A. B. C. D. 2. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 记为等比数列的前项和.若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 数列满足 且，则 （　　） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，则（ ） A. 140 B. 70 C. 154 D. 77 7. 设函数的导数为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的极值点是（ ） A. B. C. D. 10. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若，则数列为递增数列 D. 若数列为等差数列，，则最小 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是__________． 13. 已知数列的前n项和为，，，则___________. 14. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为 __． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点为的中点， （1）求直线与平面的夹角的正弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列；． （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前项的和． 17. 已知数列的前项和为，. （1）证明：数列是等比数列，并求出通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值； （2）若函数在区间内存在极小值，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，恒成立，求整数k的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $