期末复习考点专训4.3公式法2023-2024学年北师大版数学 八年级下册

北师大版八年级下册数学期末复习考点专训 第四章《因式分解》 4.3 公式法 考点1：公式法分解因式 考点2：公式法解决问题 一、知识清单 概念： 公式法 根据因式分解与整式乘法的关系，利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 公式： 利用平方差公式分解因式 a2−b2=(a+b)(a−b). 利用完全平方公式分解因式 a2+2ab+b2=(a+b)2， a2−2ab+b2=(a−b)2. 二、考点专训 一、单选题专训 1．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　） A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4） 2．下列因式分解正确的是（　　） A．2x+6xy＝x（2+6y） B．x2y+6xy2+9y3＝y（x2+6xy+9y2） C．x2+2x﹣8＝x（x+2）﹣8 D．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y） 3．已知x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　） A．﹣6 B．3 C．6 D．±6 4．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 5．若2x﹣3是多项式2x2+mx﹣12（m为系数）的一个因式，则m的值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 6．已知实数n满足n2﹣n+1＝0，则4n3﹣5n2+5n+11的值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 7．已知a，b，c为△ABC三边，且满足ab﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 8．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为x cm，y cm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（　　）cm2． A． B． C．15 D．16 9．小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b） B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b） 10．设正整数a，b，c＞100，满足c2﹣1＝a2（b2﹣1），则的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 二、填空题专训 11．已知a+b＝2，ab＝3，代数式a2b+ab2的值为 　 　． 12．分解因式：﹣9+6x﹣x2＝　 　． 13．已知ab＝7，a+b＝6，则多项式a2b+ab2的值为 　 　． 14．若x2﹣mx+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为　 　． 15．若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于　 　． 16．若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+2）（x﹣3），则a+b的值为 　 　． 17．已知a，b，c为△ABC的三条边，如果a2+2ab＝c2+2bc，那么请判断△ABC的形状是 　 　． 18．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数M，如果将它的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数A，再将M的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数B，如果A＝2B，则称这个四位正整数为“耄耋数”；把一个“耄耋数”M的千位与个位交换后得到的新数记为M′，记，若是整数，请求出所有符合条件的“耄耋数”M的最大值为 　 　． 19．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为　 　． 20．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝5，延长BC到点E，使CE＝1，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动．设点P运动的时间为t s，则当△ABP和△DCE全等时，t的值为 　 　． 三、解答题专训 21．因式分解： （1）3x2﹣27； （2）x3y﹣2x2y+xy； （3）（a﹣b）2﹣4b2； （4）a3（x﹣3）﹣a（x﹣3）． 22．把下列多项式分解因式： （1）a3﹣25a； （2）﹣2a3b﹣2ab3+4a2b2． 23．先分解因式，再求值： 4a2（x+7）﹣3（x+7），其中a＝﹣5，x＝3． 24．阅读下列材料： 常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： x2﹣4y2+2x﹣4y ＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组 ＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式 ＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：9x2﹣9x+3y﹣y2； （2）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由． 25．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式：　 　； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式， 如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：（a+b）3＝a3+b3+3ab（a+b）． 利用上面所得的结论解答下列问题： （1）已知，求（x﹣y）2的值； （2）已知a+b＝6，ab＝7，求a3+b3的值． 26．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）通过图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式 　 　； （2）通过图2中阴影部分的面积能解释的因式分解的公式 　 　； （3）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：　 　． （4）根据（3）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知a﹣b＝5，ab＝﹣4，求代数式（a+b）2的值． 27．【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． ①用配方法分解因式 例1：分解因式x2+4x﹣5． 解：x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5 ＝（x+2）2﹣9 ＝（x+2+3）（x+2﹣3） ＝（x+5）（x﹣1） ②用配方法求值 例2：已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值． 解：原方程可化为：x2﹣2x+1+y2+4y+4＝0，即（x﹣1）2+（y+2）2＝0． ∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴x+y＝﹣1． ③用配方法确定范围 例3：M＝x2﹣2x﹣1，利用配方法求M的最小值． 解：M＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣2＝（x﹣1）2﹣2． ∵（x﹣1）2≥0， ∴当x＝1时，M有最小值﹣2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法分解因式a2﹣2a﹣3； （2）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣8a﹣10b+41＝0，求边c的取值范围； （3）已知P＝2m2+4n+13，Q＝m2﹣n2+6m﹣1，试比较P，Q的大小． 28．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2 的结果． 【形成结论】 （1）探究2中（a+b+c）2＝　 　； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，求的值． 29．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　 　． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　． （3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形图形，则x+y+z＝　 　． （4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG和GE，若两正方形的边长满足a+b＝12，ab＝20，你能求出阴影部分的面积吗？ 30．阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣3的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 参考答案 一、单选题专训 1．D． 2．D． 3．D． 4．C． 5．C． 6．A． 7．C． 8．A． 9．B． 10．C． 二、填空题专训 11．6． 12．﹣（x﹣3）2． 13．42． 14．±10． 15．4． 16．﹣7． 17．等腰三角形． 18．9246． 19．3． 20． 　0.5或6　． 三、解答题专训 21．解：（1）原式＝3（x2﹣9） ＝3（x+3）（x﹣3）； （2）原式＝xy（x2﹣2x+1） ＝xy（x﹣1）2； （3）原式＝（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b） ＝（a+b）（a﹣3b）； （4）原式＝a（x﹣3）（a2﹣1） ＝a（x﹣3）（a﹣1）（a+1）． 22．解：（1）原式＝a（a2﹣25）＝a（a+5）（a﹣5）； （2）原式＝﹣2ab（a2+b2﹣2ab）＝﹣2ab（a﹣b）2． 23．解：原式＝（x+7）（4a2﹣3）， 当a＝﹣5，x＝3时，原式＝（3+7）（4×25﹣3）＝970． 24．解：（1）9x2﹣9x+3y﹣y2 ＝（9x2﹣y2）+（﹣9x+3y） ＝（3x+y）（3x﹣y）﹣3（3x﹣y） ＝（3x﹣y）（3x+y﹣3）； （2）△ABC为等腰三角形． 理由：∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0， ∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∴a﹣b＝0或a+b﹣c＝0， ∵△ABC三边a、b、c都大于0， ∴a+b﹣c＞0． ∴a﹣b＝0，即a＝b， ∴△ABC为等腰三角形． 25．：【知识生成】 如图1，方法一：已知边长直接求面积为（a﹣b）2； 方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积， ∴面积为（a+b）2﹣4ab， ∴由阴影部分面积相等可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； 【知识迁移】 方法一：正方体棱长为a+b， ∴体积为（a+b）3， 方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即a3+b3+3a2b+3ab2， ∴（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2， （1）∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy， ∴62＝（x﹣y）2+4， ∴（x﹣y）2＝25； （2）∵（a+b）3＝a3+b3+3ab（a+b）， ∴63＝a3+b3+3×7×6， ∴a3+b3＝90． 26． 解：（1）通过图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）通过图2中阴影部分的面积能解释的因式分解的公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （3）阴影部分的面积：小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个长方形的面积， 即：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （4）根据（3）发现的结论，可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ∵a﹣b＝5，ab＝﹣4， ∴（a+b）2＝52+4×（﹣4）＝9． 27．解：（1）a2﹣2a﹣3 ＝a2﹣2a+1﹣1﹣3 ＝（a﹣1）2﹣4 ＝（a﹣1+2）（a﹣1﹣2） ＝（a+1）（a﹣3）； （2）∵a2+b2﹣8a﹣10b+41＝（a2﹣8a+16）+（b2﹣10b+25）＝（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣5＝0， ∴a＝4，b＝5， ∴5﹣4＜c＜4+5， ∴边c的取值范围为1＜c＜9； （3）P﹣Q＝2m2+4n+13﹣（m2﹣n2+6m﹣1） ＝2m2+4n+13﹣m2+n2﹣6m+1 ＝m2﹣6m+9+n2+4n+4+1 ＝（m﹣3）2+（n+2）2+1＞0， ∴P＞Q． 28． 解：（1）∵等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方， ∴等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和． ∵组成大正方形的各个部分的面积分别为：a2，ab，ac，ab，b2，bc，ac，bc，c2， ∴它们的和为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． 故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ∴2（ab+bc+ca）＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）． ∴ab+bc+ca． ∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4， ∴ab+bc+ca＝﹣2； （3）由（1）得：（ab+bc+ca）2＝a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc， ∴a2b2+b2c2+c2a2＝（ab+bc+ca）2﹣2ab2c﹣2abc2﹣2a2bc ＝（﹣2）2﹣2abc（a+b+c） ＝4﹣2abc×0， ＝4． ∵a+b+c＝0， ∴c＝﹣a﹣b． ∵a2+b2+c2＝4， ∴a2+b2+（﹣a﹣b）2＝4． 即 2a2+2b2+2ab＝4 ∴a2+b2+ab＝2 ∴原式2． 29. 解：（1）∵大正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 又∵大正方形的面积＝（a+b+c）2， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （2）由（1）得a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac）， ∵a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35， ∴a2+b2+c2＝225﹣2×35＝155， 故答案为：155． （3））∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2， ∴x＝2，y＝2，z＝5， ∴x+y+z＝9， 故答案为：9． （4）由图可知，S阴影＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG， ∴S阴影， 将a+b＝12，ab＝20代入， 得原式． ∴阴影部分的面积为42． 30．解：（1）x2+2x﹣8 ＝x2+2x+1﹣1﹣8 ＝（x+1）2﹣9 ＝（x+1﹣3）（x+1+3） ＝（x﹣2）（x+4）； （2）设y＝x2+4x﹣3， y＝x2+4x+4﹣4﹣3， y＝（x+2）2﹣7， ∴多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣7． （3）a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c， 即a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0， （a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2﹣9﹣16﹣25+50＝0， （a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴△ABC的周长为3+4+5＝12． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/26 10:54:40；用户：李徐敏；邮箱：XFS-7399796175549436.42133300；学号：54744617 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$