精品解析：2024年黑龙江省哈尔滨市萧红中学九年级中考三模数学试卷

2024年初中毕业考试数学学科试卷 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 36的算术平方根是（ ） A. B. 6 C. D. 5. 反比例函数的图象经过点(－2，3)，则k的值为（ ） A. 6 B. －6 C. D. 6. 如图所示的几何体是由五个小正方体搭建而成的．它的主视图是 A. B. C. D. 7. 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．则向上的一面的点数大于4的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为 A. B. C. D. 10. 小明的爸爸早晨出去散步，从家走了20分到达距离家800米的公园，他在公园休息了10分，然后用30分原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离S（单位：米）与离家的时间t（单位：分）之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 地球与太阳之间的距离约为149600000千米，科学记数法表示为_______千米． 12. 函数的自变量的取值范围是_______． 13. 把分解因式为_______． 14. 若点在第四象限内，则a的取值范围是________ 15. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为______． 16. 如图，BC是⊙O的弦，圆周角 ∠BAC=50°，则∠OCB的度数是_____ 度． 17. 已知扇形的面积为，圆心角为，则它的半径为_________． 18. 四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE=，则CE的长为______． 19. 某商店足球的零售价为每个元，若足球按8折降价销售，仍可获利，则这种足球的进价为每个______元． 20. 如图，在中，，是角平分线，E是边的中点，于点F，于点G，若，，则线段的长为______． 三、解答题（其中19--22题各5分，23--25题各6分，26题8分，27--28题各10分共60分） 21. 先化简，再求代数式的值．其中． 22. 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形； （2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形； （3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 23. 网瘾低龄化已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对岁的网瘾人群进行了随机抽样调查，得到了下面两个不完全统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求条形统计图中的值； （2）求扇形统计图中岁部分的圆心角的度数； （3）目前我国岁网瘾人数约为万，请估计其中岁的人数． 24. 在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF． （1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形； （2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）． 25. 某商品经销店欲购进两种纪念品，用160元购进的种纪念品与用240元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比种纪念品的进价贵10元． （1）求两种纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若该商店种纪念品每件售价24元，种纪念品每件售价35元，这两种纪念品共购进1000件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于4900元，问种纪念品最多购进多少件？ 26. 已知：是的直径，弦交于点，连接，． （1）如图，求证：弧弧； （2）如图，连接，求证：； （3）如图，在（）的条件下，点在上，连接，且，点在上，连接且，连接，，若，．求的长． 27. 在平面直角坐标中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求的值； （2）如图，是第四象限抛物线上一动点，连接，为抛物线的顶点，过点作x轴的垂线交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（）的条件下，为上一点，连接，，当，时，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中毕业考试数学学科试卷 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的倒数是5． 故选A． 【点睛】本题考查倒数的定义，掌握乘积是1的两个数互为倒数是本题的解题关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法和除法，积的乘方和合并同类项，根据同底数幂乘法和除法，积的乘方和合并同类项运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 4. 36的算术平方根是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，利用定义即可求出结果． 【详解】解：∵6的平方为36， ∴36算术平方根为6． 故选B． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误． 5. 反比例函数的图象经过点(－2，3)，则k的值为（ ） A. 6 B. －6 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，反比例函数的图象经过点(－2，3)，则当x＝－2时，y＝3，∴．故选C． 6. 如图所示的几何体是由五个小正方体搭建而成的．它的主视图是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体画出其主视图即可判断． 【详解】解：从正面看可得到从左往右三列正方形的个数依次为：1，1，2． 则主视图形状为： 故选：C． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，是基础题，会画简单几何体的三视图是关键． 7. 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．则向上的一面的点数大于4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据等可能条件下的概率的公式可得：小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数大于4的概率为． 故选B． 考点：概率公式． 8. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动，根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”，顶点（－1，0）→（0，－2）．因此，所得到的抛物线是．故选D． 9. 如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解:∵M，N分别是边AB，AC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN∥BC，且MN=BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴， ∴△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为1：3． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出MN是△ABC的中位线，判断△AMN∽△ABC，要掌握相似三角形的面积比等于相似比平方． 10. 小明的爸爸早晨出去散步，从家走了20分到达距离家800米的公园，他在公园休息了10分，然后用30分原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离S（单位：米）与离家的时间t（单位：分）之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题是分段函数的图象问题，要根据行走，休息，回家三个阶段判断． 【详解】解：第0-20分，离家的距离随时间的增大而变大；20-30分，时间增大，离家的距离不变，函数图象与x轴平行；30-60分，时间变大，离家越来越近． 故选D． 【点睛】此题主要考查了函数图形，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 地球与太阳之间的距离约为149600000千米，科学记数法表示为_______千米． 【答案】1.496×108． 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：149 600 000=1.496×108， 故答案为：1.496×108． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】函数是分式形式时，分式的分母是不能为0的，所以x＋2≠0，即可求得x的取值范围． 【详解】由题意可知：x＋2≠0， 解得：x≠−2； 所以，函数y＝的自变量x的取值范围是x≠−2． 故答案为：x≠−2 【点睛】此题考查函数自变量的取值范围.（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0. 13. 把分解因式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 若点在第四象限内，则a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数． 【详解】解：∵点M（1，2a-1）在第四象限内， ∴2a-1＜0， 解得：a＜． 故答案为a＜． 【点睛】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求a的取值范围． 15. 如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意得，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ， 解得：． ∴． 故答案为：． 16. 如图，BC是⊙O的弦，圆周角 ∠BAC=50°，则∠OCB的度数是_____ 度． 【答案】40 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得∠COB=2∠BAC，再根据等边对等角可得∠OBC=∠OCB，进而得到∠OCB=（180°-∠COB）÷2，即可得到答案． 【详解】解：∵∠BAC=50°， ∴∠COB=2∠BAC=50°×2=100°， ∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OCB=（180°-∠COB）÷2=（180°-100°）÷2=40°． 故答案为：40． 【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 17. 已知扇形的面积为，圆心角为，则它的半径为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，可得答案． 【详解】解：设半径为r，由题意，得 πr2× =12π， 解得r=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，利用扇形面积公式是解题关键． 18. 四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE=，则CE的长为______． 【答案】或 【解析】 【详解】试题解析：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=6，∴OB= BD=3， ∴OC=OA= =3， ∴AC=2OA=6， ∵点E在AC上，OE=， ∴CE=OC+或CE=OC﹣， ∴CE=4或CE=2． 故答案为4或2 19. 某商店足球的零售价为每个元，若足球按8折降价销售，仍可获利，则这种足球的进价为每个______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，找对数量关系是解题关键． 根据利润等于售价减去进价，设进价为每个元，可列出方程求解． 【详解】解：设足球的进价为每个元． 故答案为：． 20. 如图，在中，，是角平分线，E是边的中点，于点F，于点G，若，，则线段的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】如图，延长交于，连接，则，由是的角平分线，可得，证明，则，，为的中点，可得，，由，可得，设，则，由勾股定理得，，计算求解，进而可求． 【详解】解：如图，延长交于，连接， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，为的中点， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，正切等知识．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，正切是解题的关键． 三、解答题（其中19--22题各5分，23--25题各6分，26题8分，27--28题各10分共60分） 21. 先化简，再求代数式的值．其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值和分母有理化，先根据分式的混合运算化简，再根据特殊角的三角函数值求得的值代入，进行计算即可求解，解题的关键是熟练运用分式的运算法则， 【详解】解： ， ， ， ， ∵， ∴， ∴原式． 22. 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形； （2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形； （3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 【答案】 （1）如图所示， △DCE为所求作； （2）如图所示， △ACD为所求作； （3）如图所示 △ECD为所求作． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的定义画图即可. （2）根据轴对称的定义画出图形，注意与已知三角形有公共边. （3）明白顺时针的方向，根据要求画图即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题是一道画图题，考查动手能力，解题关键是掌握轴对称，中心对称等定义． 23. 网瘾低龄化已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对岁的网瘾人群进行了随机抽样调查，得到了下面两个不完全统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求条形统计图中的值； （2）求扇形统计图中岁部分的圆心角的度数； （3）目前我国岁网瘾人数约为万，请估计其中岁的人数． 【答案】（1）； （2）； （3）万人． 【解析】 【分析】（）用岁的人数除以所占的百分比求出被调查的人数，然后列式计算即可得解； （）用乘以岁的人数所占的百分比计算即可得解； （）用网瘾总人数乘以岁的人数所占的百分比计算即可得解； 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 【小问1详解】 （人） （人） 答：图中的值为； 【小问2详解】 ， 答：圆心角度数为； 【小问3详解】 （万） 答：估计有万人． 24. 在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF． （1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形； （2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）． 【答案】 （1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠EDC， ∵E是AC中点， ∴AE＝EC， 在△AEF和△CED中， ， ∴△AEF≌△CED， ∴EF＝DE，∵AE＝EC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是矩形． （2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形． （2）根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定即可找出图中的所有平行四边形． 【详解】（1）略 （2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC， ∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC， ∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 25. 某商品经销店欲购进两种纪念品，用160元购进的种纪念品与用240元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比种纪念品的进价贵10元． （1）求两种纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若该商店种纪念品每件售价24元，种纪念品每件售价35元，这两种纪念品共购进1000件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于4900元，问种纪念品最多购进多少件？ 【答案】（1）纪念品每件进价20元；纪念品每件进价30元；（2）最多购进纪念品100件． 【解析】 【分析】（1）设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意列出分式方程，然后解方程并检验即可得出答案； （2）设种纪念品最多购进a件，根据“两种纪念品全部售出后总获利不低于4900元”列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意有 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴A种纪念品的进价为20元，则B种纪念品的进价为元； （2）设A种纪念品最多购进a件，根据题意有 解得 ， ∴A种纪念品最多购进100件． 【点睛】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意列出方程和不等式是解题的关键． 26. 已知：是的直径，弦交于点，连接，． （1）如图，求证：弧弧； （2）如图，连接，求证：； （3）如图，在（）的条件下，点在上，连接，且，点在上，连接且，连接，，若，．求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴弧弧； （2） 证明：如图，过点作的垂线交的延长线于点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 由（）得弧弧， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）连接，证明即可； （）构造全等三角形，过点作的垂线交的延长线于点，则 ，得到为等腰直角三角形，即可得证； （）由，可得，过作，，延长交延长线于点，连接，过作的垂线，交延长线于点，构造，，过点作，垂足为，设，再利用和勾股定理建立关于的方程，可求得，，过作于，作于，构造和等腰直角三角形，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， 连接，在中， ，即，得， 设，， ∴， 过作，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 延长交延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，则垂直平分， ∴， 由（）得， ∵， ∴， ∴， 过作的垂线，交延长线于点， ∴， 由上可知， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 过点作，垂足为， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 解得：， （不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得：， 即， ∴， ∴， 过作于，作于点，由上得平分， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，全等三角形性质及判定，相似三角形性质及判定，等腰直角三角形性质，勾股定理，角平分线性质等知识点，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 27. 在平面直角坐标中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求的值； （2）如图，是第四象限抛物线上一动点，连接，为抛物线的顶点，过点作x轴的垂线交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（）的条件下，为上一点，连接，，当，时，求点坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由（）可知，求出，过作轴于点，设与轴于点，证明，再通过性质即可求解； （）过作于点，交抛物线于点，则点关于对称，则，求出，过作于点，可得垂直平分，过作于点，过作交延长线于点，证明，然后根据性质证明四边形是矩形即可求解． 【小问1详解】 ∵抛物线与轴交于点，， ∴，解得， 【小问2详解】 由（）得，， ∴抛物线解析式为：， ∴， ∴顶点， 如图，过作轴于点，设与轴于点， ∴，， ∴，， ∵，点的横坐标为， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的长度为， ∴； 【小问3详解】 过作于点，交抛物线于点， ∴点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴垂直平分， 连接， ∴， ∴， ∴， 过作于点，过作交延长线于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵关于直线对称， ∴， 由（）得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴，解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，三角形的内角和，矩形的判定与性质等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判断与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $