江苏省南京市玄武外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年江苏省南京市玄武外国语学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.今年我市有近2万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是(    ) A. 这1000名考生是总体的一个样本 B. 近2万名考生是总体 C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 1000名学生是样本容量 3.下列事件中属于必然事件的个数是(    ) ①检查生产流水线上的一个产品，是合格品； ②三条线段组成一个三角形； ③a是实数，则； ④367个人中至少有2个人生日相同． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4.对下列分式约分，正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，，CA、CB是等腰的两腰，将绕点A顺时针进行旋转，得到当点B恰好在DE的延长线时，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边、，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论：①≌；②；③是等边三角形；④一定正确的有个．(    ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.近年以来，食品安全问题备受人们的关注，市场监督部门为了检验某品牌食品的防腐剂含量是否符合国家标准，这种调查适合用__________填“普查”，“抽样调查” 8.不透明的袋子里装有5只红球，3只白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1只球．则摸出可能性较大的是__________球填颜色 9.如果若分式的值为0，则实数a的值为__________. 10.已知，则=__________. 11.在平面直角坐标系中，点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是__________. 12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接若，则__________. 13.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若，则__________. 14.如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点若，，则的大小为__________ 15.对于代数式m、n，定义运算“*”；，例如： 若+，则__________. 16.如图，菱形ABCD的边长为2，，对角线AC、BD交于点点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段即，DF长度的最小值为__________. 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 17.化简： ； . 四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题8分 先化简，再求值：，从的范围内选一个合适的整数作为x代入求值． 19.本小题8分 环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测扯数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，结果如下每组含起点值，不含终点值： 请解答下列问题： 请补全频数分布直方图； 在扇形统计图中C组对应的扇形圆心角的度数是________； 若城区共有400个噪声测量点，请估计该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数． 20.本小题8分 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满50元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与！”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与！”区域的频率 a 填空：_________，_______； 若继续转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与！”区域的频率将会接近多少？若晓慧去转动该转盘一次，则她转到“谢谢参与！”的概率约是多少？结果保留一位小数 21.本小题8分 已知：，. 当时，计算的值； 当时，判断P与Q的大小关系，并说明理由； 设，若x、y均为非零整数，求xy的值． 22.本小题8分 如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论． 23.本小题8分 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，， 求证：四边形OEFG是矩形； 若，，求OE和BG的长． 24.本小题8分 如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点 求证：≌； 连接BE、 ①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论； ②若BC长为2，则AB的长为______________时，四边形 BEHC为菱形． 25.本小题8分 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． 在图中，作▱ABDC； 在图中，将线段CB绕C逆时针旋转至点E为点B的对应点；过点E作于可以写出必要的文字说明 26.本小题8分 【定义】：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”． 如图1，四边形ABCD为“等角线四边形”，即， 【判定探究】：下列语句能判断四边形是“等角线四边形”的是______填序号 ①对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为的平行四边形； 【性质探究】：以AC为边，向下构造等边三角形ACE，连接BE，如图2，判断与AC的大小关系是____填“>，<，或”，并说明理由； 【学习应用】：若“等角线四边形”的对角线长为2，的最小值为_______________. 27.本小题8分 【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，则 如图②，将边长为40的正方形ABCD折叠，使得点B落在CD上的点E处．若折痕，则____. 【继续探索】 如图③，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD， DC于点M，E，F，求证： 如图④，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作于M，在MF上截取， 连接BN，G为BN中点，连接CG，请依题意补全图形，若，则_______________. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项正确； B、是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项错误； 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义对各选项判断即可． 【解答】解：A、这1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故此选项错误； B、近2万名考生的数学成绩是总体，故此选项错误； C、每位考生的数学成绩是个体，故此选项正确； D、1000是样本容量，故此选项错误； 故选： 3.【答案】B  【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品，是随机事件； ②三条线段组成一个三角形，是随机事件； ③a是实数，则，是随机事件； ④367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件； 故选： 4.【答案】D  【解析】【分析】分别根据分式的基本性质进行化简即可得出答案． 【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、不能约分，故本选项错误，不符合题意； C、=，故本选项错误； D、=，故本选项正确； 故选： 5.【答案】C  【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得，再根据旋转的性质得，，，接着利用等腰三角形性质得，则可判断，根据平行线的性质得，然后计算的度数． 【解答】解：， ， 绕点A顺时针进行旋转，得到点B恰好在DE的延长线上， ，，， ， ， ， ， 故选： 6.【答案】B  【解析】【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项． 【解答】解：、是等边三角形， ，， ，， ，， ，， ， ≌，故①正确； ， ， ，故②正确； 同理可得：， ，， ≌， ， ， ， ， 是等边三角形，故③正确； 在等边三角形ABE中， 等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段， 如果，则G是AE的中点，，，题目缺少这个条件，不能求证，故④错误． 故选： 7.【答案】抽样调查  【解析】【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，由此分析得出答案即可． 【解答】解：由于食品数量庞大，且抽测具有破坏性，适用抽样调查． 故答案为：抽样调查． 8.【答案】红  【解析】【分析】分别计算出摸出的是红球和白球的概率，然后根据概率的大小进行判断． 【解答】解：从中任意摸出1只球．摸出的是红球的概率=， 摸出的是白球的概率=， 而>， 所以摸出的是红球的可能性大于摸出的是白球的可能性． 故答案为：红． 9.【答案】  【解析】【分析】根据分式值为零的条件可得，且，再解即可． 【解答】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为： 10.【答案】  【解析】【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求值． 【解答】解：设，则，，，则===. 故答案为. 11.【答案】  【解析】【分析】根据成中心对称的两个点之间的坐标关系即可解决问题． 【解答】解：因为点和点B关于点成中心对称， 所以，， 所以，， 即点B的坐标是 故答案为： 12.【答案】3  【解析】【分析】由可得点F为AO中点，从而可得EF为的中位线，进而求解． 【解答】解：在矩形ABCD中，AC，， ， AO， 点F为AO中点， 点E为边AD的中点， 为的中位线， 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出和的度数，即可解决问题． 【解答】解：是线段AB的垂直平分线， ， ， 四边形ABCD是菱形，， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 14.【答案】32  【解析】【分析】由三角形外角的性质可得，由折叠的性质可得，即可求解． 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 将沿AE折叠至处， ， ， 故答案为： 15.【答案】5  【解析】【分析】根据定义运算表示出的式子，再将进行运算，便得到A和B的值，最后代入中，求出结果即可． 【解答】解：=， =+ = = =， =， ，， 解得，， ， 故答案为： 16.【答案】  【解析】【分析】连接BE，作，由旋转的性质可得≌，把求DF的最小值转化为求BE的最小值，再根据垂线段最短可得答案． 【解答】解：连接BE，作交DA的延长线于H， 菱形ABCD中，， ， ， 由旋转可得：， 在和中， ， ≌， ， 即求DF的最小值转化为求BE的最小值． 在中，，， ， 当E与H重合时，BE最小值是， 的最小值是. 故答案为：. 17.【答案】解：解：原式= = ； 解：原式= = =.   【解析】【分析】先通分，再因式分解约分，化到最简即可得到答案； 先通分计算括号里的分式，再因式分解约分化到最简即可得到答案； 18.【答案】解： = = =， ，， ，， ， 可以为，0，1， 当时，原式=.   【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 19.【答案】【解答】解：样本容量为， 组频数为：， 补全频数分布直方图如图： 在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是， 故答案为：； 估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为个 答：估计该城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点有260个．   【解析】【分析】先由B组频数及其对应的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他组的频数可得C组频数，即可补全频数分布直方图； 用乘以C组频数所占比例即可； 用总个数乘以样本中噪声声级低于70dB的测量点的个数所占比例即可． 20.【答案】【解答】解：；； 故答案为：；148； 若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，晓慧转到“谢谢参与”的概率约是   【解析】【分析】根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； 利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可． 21.【答案】【解答】解：当时， = =， 的值为； 当时，，理由如下： = =， ， 或， 当且时，， 当时，， 当时，； ，， ==， 、y均为非零整数， 时，，则； 时，，则； 时，，则； 时，，则； 综上所述：xy的值为或   【解析】【分析】将代入计算的值即可； 先求差，再比较差与0的大小关系； 先表示y，再求x，y的整数值，进而可以解决问题． 22.【答案】【解答】解：由题意得：，理由如下： 连接DE、 是平行四边形， ，， ，F分别是OA，OC的中点， ， 是平行四边形， ，   【解析】【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，，利用中点的意义得出，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出， 23.【答案】【解答】证明：四边形ABCD为菱形， ， 点E为AD中点， 为的中位线， ， ， 四边形OEFG为平行四边形， ， ， 平行四边形OEFG为矩形； 解：四边形ABCD是菱形， ，，， 点E为AD的中点，， ， 由可知，四边形OEFG是矩形， ，，， =，   【解析】【分析】证OE为的中位线，则，再证四边形OEFG为平行四边形，然后证，即可得出结论； 根据菱形的性质得到，，，根据点E为AD的中点，，得到，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，于是得到 24.【答案】【解答】证明：四边形FECG是矩形， ， ， 四边形FECG是矩形， ，， 在和中， ， ≌； 解：①四边形BEHC是平行四边形． ≌， ， 矩形FECG由矩形ABCD旋转得到， ，， 四边形BEHC为平行四边形． ② 当时，四边形BEHC是菱形，理由如下： 连接 四边形BEHC为菱形， 由旋转的性质可知 为等边三角形． ：： 又， . 故答案为：.   【解析】【分析】依据题意可得到，，，利用平行线的性质可证明，然后依据AAS证明≌即可； ①由全等三角形的性质可知，由旋转的性质可得到，从而可证明，最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可； ②连接可证明为等边三角形，则，利用特殊锐角三角函数值可得到答案． 25.【答案】【解答】解：如图1中，平行四边形ABCD即为所求； 如图2中，直线EF即为所求． 方法：取CD是中点J，连接BJ，延长BJ交直线AC于点T，则，，取格点W，连接CW交DT于点Q，作直线EQ交AB一点F，直线EF即为所求．   【解析】【分析】根据平行四边形的定义画出图形； 利用的三条高交于一点，作出直线EF即可． 26.【答案】【解答】解：【判定探究】：矩形的对角线相等，中点四边形是菱形的四边形的对角线相等， 对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形是“等角线四边形”；对角线所夹锐角为的矩形是“等角线四边形”； ①②是“等角线四边形”． 故答案为：①②； 【性质探究】：如图2中， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 四边形BDCE是平行四边形， ， ， ， 故答案为：； 【学习应用】：如图3中，过点C作，且，连接DT， ，， 四边形BDTC是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， 过点C作于点M， AT， 在中，AC， AC， AC， ， AC， ， ， 的最小值为2， 故答案为：2.   【解析】【分析】【判定探究】根据“等角线四边形”的定义判断即可； 【性质探究】证明四边形BDCE是平行四边形，推出，根据，可得结论； 【学习应用】如图3中，过点C作，且，连接DT，证明四边形BDTC是平行四边形，推出，再证明AC，根据，可得结论； 27.【答案】【解答】解：四边形ABCD是正方形， ，， 作于P，连接BE， 则四边形AFPB是矩形， ， 由翻折知，， ， ， ≌， ， 在中，由勾股定理得=， 故答案为：9； 证明：如图2，连接FA，FP，FC， 正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点， ， 又垂直平分AP， ， ， ， ， ， ， ， ， AP， 由【模型呈现】知，， ， ； 解：根据题意补全图形如图所示： 连接MG并延长使得， 点G为BN的中点， ， 又， ≌， ，，，则， ， 四边形ABCD是正方形， ，， ，， 又， ， ， ， ， ， ， 由正方形的性质可知，， ≌， ，，， 则， 是等腰直角三角形， ， ，则也是等腰直角三角形，则， =. 故答案为：2.   【解析】【分析】利用ASA证明≌，得，再利用勾股定理可得答案． 证出AP，由【模型呈现】知，，则可得出结论； 连接MG并延长使得，利用SAS可证≌，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明≌，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 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