专项素养巩固训练卷（求一次函数解析式的常见类型以及与几何图形的综合应用）-2023-2024学年人教版八年级数学下册

2023～2024学年下学期八年级数学新课标测试 专项素养巩固训练卷 【求一次函数解析式的常见类型以及与几何图形的综合应用】 (一) 求一次函数解析式的六种类型 类型一 定义型 1.已知函数y＝(k2－9)x2+(k+3)x+17(k为常数).当k为何值时，该函数为一次函数？并求此时函数的解析式. 2.已知y＝(k－1)x｜x|+k2－4(k为常数)是一次函数. (1)求该一次函数的解析式； (2)求x＝3时，y的值； (3)求y＝0时，x的值. 类型二 两点型 3.一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B(0,2).已知点C(－1,3)在该图象上，连接OC. (1)求函数y＝kx+b的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)点P为x轴上一动点，若S△ACP＝3S△AOB,求点P的坐标. 类型三 平移型 4.在平面直角坐标系xOy中，直线m:y＝2x+6与x轴的交点为A,与y轴的交点为B.将直线m向右平移3个单位长度得到直线l. (1)求点A,点B的坐标，画出直线m及直线l； (2)求直线l的解析式； (3)直线l还可以看作是由直线m经过其他方式的平移得到的，请写出一种平移方式. 5.如图，平面直角坐标系中，函数y＝kx+2的图象过点A(3,0),将图象向上平移2个单位后与x轴交于点B,与y轴交于点C. (1)求图象经过点B和点C的一次函数的解析式； (2)求△OBC的面积. 类型四 面积型 6.已知直线y＝kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为18. (1)当这条直线与直线y＝x+1平行时，求其解析式； (2)当这条直线与y轴的交点坐标为(0,6)时，求其解析式. 类型五 图象型 7.某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为5L在整个过程中，油箱里的油量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示. (1)机器每分钟加油量为_______L,机器工作的过程中每分钟耗油量为_______L； (2)求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值. 类型六 实际应用型 8.某物流公司计划向货车生产厂家购买A,B两种类型的货车共30辆.已知购买2辆A型货车，1辆B型货车共需55万元，购买3辆A型货车，2辆B型货车共需90万元. (1)求1辆A型货车，1辆B型货车的价格各是多少万元. (2)若物流公司计划用不超过500万元的资金购买这两种类型的货车，则至少可以购买多少辆B型货车？ (3)在(2)的条件下，设购买B型货车x辆(x≤26)，购买A,B型货车的总费用为y万元. ①求y关于x的函数解析式； ②该物流公司应该如何安排购买方案，才能使购买A,B型货车的总费用最少？最少是多少万元？ (二)一次函数与几何图形的四种综合应用 类型一 利用一次函数解决线段长度问题 1.直线y＝－x,直线y＝x+2与x轴围成图形的周长为_______(结果保留根号) 2.如图,在平面直角坐标系中,直线l:yx+1交x轴于点A,交y轴于点B,点A1,A2,A3,……在x轴上，点B1,B2,B3,……在直线l上.若△OB1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,……均为等边三角形，则OAn的长为______________。 类型二 利用一次函数解决图形面积问题 3.如图①，在平面直角坐标系中，□ABCD在第一象限，且BC∥x轴.直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被□ABCD截得的线段长度n与直线平移的距离m的函数图象如图②所示.那么□ABCD的面积为( ) A.3 B.3 C.6 D.6 4.正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于如图所示的平面直角坐标系中，使AB边落在x轴的正半轴上，且点A的坐标是(1,0). (1)直线经过点C,且与x轴交于点E,求四边形AECD的面积； (2)若直线l经过(1)中的点E,且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式； (3)若直线l1经过点,且与直线y＝3x平行，将(2)中直线l沿着y轴向上平移个单位交x轴于点M,交直线l1于点N,求△NMF 的面积. 类型三 利用一次函数解决图形变换问题 5.如图，以正方形ABCD的边BC的中点O为原点建立平面直角坐标系，沿过点N(4,3)的一条直线MN将正方形进行折叠，点D恰好与点O重合，求直线MN的解析式. 类型四 利用一次函数解决线段和差的最值问题 6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2,1),B(6,2),点P是x轴上一动点.求： (1)PA+PB的最小值及此时点P的坐标； (2)|PA－PB|的最大值及此时点P的坐标. 【参考答案及解析】 (一)求一次函数解析式的六种类型 1.解析：由y＝(k2－9)x2+(k+3)x+17是一次函数，得k2－9＝0,且k+3≠0，解得k＝3, 此时，函数解析式为y＝6x+17. 2.解析：(1)由题意得|k|＝1,k－1≠0，解得k＝－1, 所以一次函数的解析式为y＝－2x－3. (2)当x＝3时，y＝－2×3－3＝－9. (3)当y＝0时，0＝－2x－3,解得 3.解析：(1)把B(0,2)、C(－1,3)代入y＝x+6得，∴。 ∴函数y＝kx+b的解析式为y＝－x+2. (2)把y＝0代入y＝－x+2,可得x＝2,即A(2,0), ∵B(0,2),∴ (3)设点P的坐标为(m,0),∵A(2,0),∴AP＝|m－2|, ,m＝6或m＝－2, ∴点P的坐标为(6,0)或(－2,0). 4.解析：(1)直线m：y＝2x+6与x轴的交点为A,与y轴的交点为B. 令x＝0,得y＝6,令y＝0,得x＝－3, ∴A(－3,0),B(0,6). 直线m 与直线l如图所示. (2)∵将直线m向右平移3个单位长度得到直线l, ∴直线l的解析式为y＝2(x－3)+6,即y＝2x. (3)直线l:y＝2x可看作是由直线m:y＝2x+6向下平移6个单位得到的(答案不唯一). 5.解析：(1)将A(3,0)代入y＝kx+2,得3k+2＝0, 将函数y＝－x+2的图象向上平移2个单位后得到的图象的解析式为y＝－x+2+2,即y＝－x+4, 故图象经过点B和点C的一次函数的解析式为y＝x+4 (2)在y＝－x+4中,令x＝0,得y＝4；令y＝0,得x＝6,∴B(6,0),C(0,4),∴OB＝6,OC＝4, 故△OBC的面积为12. 6.解析：(1)∵直线y＝kx+b与直线y＝x+1平行，.∴k＝1, ∴ y＝x+b,令x＝0,得 y＝b,令y＝0,得x+b＝0,解得x＝－b, ∴b2＝18,解得b＝±6，∴直线解析式为y＝x+6或y＝x－6. (2)设直线与x轴的交点到原点的距离为a,则a×6＝18,解得a＝6, ∴直线与x轴的交点坐标为(6,0)或(－6,0)， ∵直线与y轴的交点坐标为(0,6)， ∴直线解析式为y＝kx+6,把(6,0)代入，得k＝－1,把(－6,0)代入，得k＝1, ∴直线解析式为y＝－x+6或y＝x+6. 7.解析：(1)由图象可得，机器每分钟加油量为30÷10＝3(L),机器工作的过程中每分钟耗油量为(30－5)÷(60－10)＝0.5(L),故答案为3；0.5.(2)当10<x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b,则解得即机器工作时y关于x的函数解析式为y＝－0.5x+35(10<x≤60). (3)当3x＝30÷2时，得x＝5,当－0.5x+35＝30÷2时，得x＝40,即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40. 8.解析：(1)设1辆A型货车价格是a万元，1辆B型货车的价格是b万元， 根据题意得解得， ∴1辆A型货车的价格是20万元，1辆B型货车的价格是15万元. (2)设购买B型货车m辆，则购买A型货车(30－m)辆， 根据题意得20(30－m)+15m≤500，解得m≥20， ∴至少可以购买20辆B型货车. (3)①根据题意得y＝20(30－x)+15x＝－5x+600.（20≤x≤26） ②在y＝－5x+600中， ∵－5<0，∴y随x的增大而减小， ∴x＝26时，y取最小值，最小值为－5×26+600＝470， 此时30－x＝30－26＝4. 答：购买B型货车26辆，购买A型货车4辆，总费用最少，最少为470万元. （二）一次函数与几何图形的四种综合应用 1.答案：2+2 解析：如图，直线y＝x+2与x轴的交点为A(－2,0),直线y＝－x与x轴交于原点O,直线y＝－x与直线y＝x+2的交点为B(－1,1),过B作BC⊥OA于C,则三角形ABO的边AO长为2，其上的高BC为1， ∵点B的坐标为(－1,1)，∴OC＝AC＝1, ∴BA＝BO＝，.∴直线y＝－x,直线y＝x+2与x轴围成图形的周长是2++＝2+2. 2.答案： 解析:∵直线l:y＝x+1交x轴于点A,交y轴于点B,∴∠BAO＝30°，A(－3,0). ∵△OB1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,……均为等边三角形， ∴∠AB1O＝∠AB2A1＝∠AB3A2＝……＝30°，∠AB1A1＝∠AB2A2＝∠AB3A3＝……＝90°， ∴OA1＝OA,OA2＝OA1+A1A2＝OA1+AA1＝3OA,OA3＝OA2+A2A3＝OA2+AA2＝7OA,OA4＝OA3+A3A4＝OA3+AA3＝15OA,……, ∴OAn＝(2n－1)OA＝(2n－1). 3.B 如图，过B作BM⊥AD于点M,分别过B,D作直线y＝x的平行线，交AD于E,D,由图象和题意可得，AE＝6－4＝2,DE＝7－6＝1,BE＝2,∴AD＝2+1＝3,∵直线BE平行于直线y＝x,∴BM＝EM＝，∴平行四边形ABCD的面积是AD·BM＝3×＝3.故选 B. 4.解析:(1)在中,令y＝0,即 解得x＝2,则E的坐标是(2,0). (2)设直线l与CD的交点为P,则必有CP＝AE＝1,则P的坐标是(4,4). 设直线l的解析式是y＝kx+b(k≠0)， 则，解得，则直线l的解析式是y＝2x－4. (3)∵直线l1与直线y＝3x平行，设直线l1的解析式是y＝3x+b1, 将代入得,解得b1＝, ∴直线l的解析式是 直线l沿着y轴向上平移个单位，所得的直线的解析式是y＝2x－4+,即y＝2x－, 当y＝0时, 解方程组，得即 5.解析：如图，延长NO、AB 交于点H. 在 Rt△ONC中，∵OC＝4,CN＝3, ∴ON＝＝5, 在△ONC 和△OHB 中， ∴△ONC≌△OHB(ASA), ∴ON＝OH＝5,BH＝CN＝3, ∵AB∥CD,∴∠HMN＝∠MND, 又∠MND＝∠MNH, ∴∠HMN＝∠HNM, ∴HN＝HM＝10,∴BM＝7,∴M(－4,7), 设直线 MN 的解析式为y＝kx+b(k≠0)， ∴解得 ∴线MN的解析式为y＝－x+5. 6.解析：(1)如图，作点A关于x轴的对称点A′,连接A′B交x轴于P,连接PA,此时PA+PB 的值最小. ∵A(－2,1),∴A′(－2,－1), 设直线 A′B的解析式为y＝k1x+b1(k1≠0)， 则解得 ∴直线A′B的解析式为 当y＝0时， ∵A′(－2,－1),B(6,2), ∴A′B＝＝， 即 PA+PB 的最小值为. (2)作直线AB交x轴于点P(图略)，由题意可知，此时点P到A、B两点距离之差的绝对值最大，且|PA－PB|的最大值为AB＝＝， 设直线AB 的解析式为y＝k2x+b2(k2≠0)， ∵A(－2,1),B(6,2), ∴解得 ∴直线AB的解析式为 令y＝0,得,解得x＝－10. ∴点P的坐标是(－10,0). 学科网（北京）股份有限公司 $$