2023-2024学年人教版数学七年级下期末培优专题复习专题十三 二元一次方程组

2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题十三 二元一次方程组 （知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷） 1、 知识点精讲 知识点1 二元一次方程及有关概念 1. 二元一次方程的定义： 含有两个未知数，并且未知数项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程。 2. 一般形式：ax+by=c（a≠0,b≠0） 3.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解（通常情况下有无数组解）。书写形式： 特定情形有有限的解. 名师点拨 1. 含有未知数项的次数都是1，是指含有未知数的单项式的次数是1.不能理解为含有的每个未知数的次数是1。 2.二元一次方程必须具备的条件 （1） 两个未知数 （2） 含有未知数项的次数都是1 （3） 整式方程 知识点2 二元一次方程组 1.二元一次方程组的定义： 含有两个未知数，含有未知数项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。 2.二元一次方程组必须具备的条件 （1） 含有两个未知数 （2） 一共两个方程，每个方程都是一次方程。 （3） 两个方程都是整式方程 3.二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。也就是说二元一次方程组的解必须同时满足两个方程。书写形式： 名师点拨 1.注意判断一组方程是二元一次方程组，必须满足以下条件：（1）共含有两个未知数；（2）两个一次整式方程所组成的。 2.二元一次方程组解的情况：若二元一次方程的一般式为，则（1）若≠有唯一解；（2）若＝＝有无数组解；（3）若＝≠有无数组解； 知识点3二元一次方程组的解法 1. 代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。简称代入法。 2.加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相同或相反时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法。 名师点拨 1.用代入消元法解二元一次方程组一般步骤 （1） 变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数。变形为y=ax+b或x=ay+b的形式。 （2） 代入：把y=ax+b或(x=ay+b)代入另一个方程中 （3） 求解：解消元后的一元一次方程 （4） 同代：把求得的未知数的值代入变形后的方程中，求另一个未知数的值。 （5） 写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。 2.用加减消元法解二元一次方程组的步骤 （1） 变形：根据绝对值较小的同一个未知数的系数的最小公倍数，将方程两边同乘以一个适当的数，使这个未知数系数相等或相反。 （2） 加减：两个方程的同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减，当两个方程的同一个未知数系数相反时，将两个方程相加。 （3） 求解：解消元后的一元一次方程。 （4） 回代：把求得的未知数的值代入方程组中系数较简单的方程中，求出另一个未知数的值， （5） 写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。 知识点4 二元一次方程组的特殊解法 1.整体代入 数学中所谓“整体”是从问题的性质出发，寻找问题体现的共同特点，突出对问题的整体结构的分析和改造，抓住整体特征，建立并把握它们之间的关系，进行有目的、有意识的整体处理的数学思想。整体思想需要用"集成"的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。 2.换元 引入一个或几个新变量,代替原式中的某些量,使得原式中仅含有这些新变量,从而使问题得到简化,然后对新变量求出结果,再代回原变量求其结果,这种解决问题的方法叫作换元法。 名师点拨 整体代入或换元法解方程实质就是（1）整体代入（2）整体设元（3）换元 2、 易错点点拨 易错点1 二元一次方程的定义及二元一次方程的解 例1-1．如果2xa+2b-3ya-3b+1=0是二元一次方程，那么a,b的值分别是（　　） A. 1，0 B. 0，1 C. -1，2 D. 2，-1 易错点点拨 根据二元一次方程的概念可知，需满足条件：含有未知数项的次数都是1，且含有未知数项的系数都不为0，通过这些条件列式可得相关字母参数的方程和不等式，由此可求得相应字母参数的值 变式训练1 1．下列各式是二元一次方程的是（　　） A. B. C. x+y-3 D. x+xy=8 2．若是关于x、y的方程2x﹣y+2a＝0的一个解，则常数a为（　　 ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．下列是二元一次方程的解为（ ） A. B. C. D. 易错点2 二元一次方程组的解法 例2-1 .解下列方程组： （1）（代入消元法） （2）（加减消元法） 易错点点拨 1. 用代入消元法解二元一次方程组时，将系数的绝对值为1的未知数用含另一个未知数的代数式表示比较简单。 2. 用加减消元法解二元一次方程组时，将系数相等或互为相反数的未知数相加或相减比较简单。 例2-2 .数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． （1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为：      ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． （3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 易错点点拨 认真阅读提供的方法，利用方法进行知识的迁移、拓展。（1）整体代入（2）整体设元（3）换元 变式训练2 1．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（　　） A. x-2+2x=4 B. x-2-2x=4 C. x-2+x=4 D. x-2-x=4 2．在用加减消元法解二元一次方程组时，经过某个变化可得5x=-5．则这个变化是（　　） A. ①×2+②×3 B. ①×2-②×3 C. ①×3-②×2 D. ①×3+②×2 3．解方程组： （1）（代入法）； （2）； （3）． 4．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为　 　； （2）如何解方程组呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为　 　； （3）由此请你解决下列问题： 若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 5．嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下． 解：将方程②变形，得． 将①代入③，得． 解这个方程，得． 把代入①，得．所以原方程组的解为 嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题． （1）解方程组 ①把方程①代入方程②，则方程②变为______________________； ②原方程组的解为____________________； （2）解方程组 易错点3 二元一次方程组的同解 例3-1.已知关于x,y的方程组与有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求m,n的值； （3）小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x,y的方程（3+a）x+（2a+1）y=5的解．”这句话对吗？请你说明理由． 易错点点拨 1.解答一个二元一次方程组与一个二元一次方程同解问题两种方法 （1）将待定字母k看作已知数，求出方程组的解，然后将方程组的解代入二元一次方程中，求出k的值。 （2）由方程组的两个方程消去未知字母k，得到关于x、y的二元一次方程，再与另一个二元一次方程联立得方程组，求出x、y的值，进而求出未知字母的值。 2.解答两个方程组的同解问题的方法：因为两个方程组共有四个二元一次方程，且有公共解，所以它们中任意两个联立组成的方程组都可以求得两个方程组的公共解，进而可以求得参数的值。 变式训练3 1．二元一次方程组的解也是方程的解，求k的值． 2．若关于x,y的二元一次方程组 与方程组有相同的解. （1）求这个相同的解； （2）求的值. 3．已知方程组的解也是方程组的解求的值． 3、 专题检测卷 一、选择题(共10题，每小题3分，共30分) 1．若方程3x2m+1-2yn-1=7是二元一次方程，则m、n的值分别为（　　） A. m=1，n=1 B. m=1，n=2 C. m=0，n=1 D. m=0，n=2 2．方程2x+y=8的正整数解的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3．若是关于x,y的二元一次方程3x-my=10的解，则m的值为（　　） A. 4 B. -7 C. 7 D. -4 4．由x-3y=5，得到用x表示y的式子为（　　） A. y=3x-15 B. C. D. y=-3x+15 5．下列方程组：①，②，③，其中是二元一次方程组的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③ 6．设方程组的解是，那么a,b的值分别为（　　） A. -2，3 B. 3，-2 C. 2，-3 D. -3，2 7．用加减消元法解方程组，下列解法错误的是（　　） A. ①×3-②×2，消去x B. ①×2-②×3，消去y C. ①×（-3）+②×2，消去x D. ①×2-②×（-3），消去y 8．由方程组可得出x与y的关系是（　　） A. 2x+y=4 B. 2x-y=4 C. 2x+y=-4 D. 2x-y=-4 9．若-3xy2m与5x2n-3y8的和是单项式，则m、n的值分别是（　　） A. m=2，n=2 B. m=4，n=1 C. m=4，n=2 D. m=2，n=3 10．已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y=4，则m的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题(共5题，每小题3分，共15分) 11．若方程：是关于、的二元一次方程，则______，_____． 12．若关于x，y的方程组的解是一对负数，则＝_____． 13．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是____． 14．已知与互为相反数，则x＋y＝______． 15．已知3x2a+b-3-5y3a-2b+2=-1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b=_____． 三、解答题(共8题，共75分) 16．（10分）用合适的方法解方程组： （1） （2）． 17．（9分）如果2x2a-b-1+3y3a+2b-16=14是一个二元一次方程． （1）求a,b的值； （2）在（1）的前提下用含x的式子表示y； （3）直接写出满足（2）的所有x,y的正整数解． 18．（7分）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，求原方程组中a的值． 19．（7分）已知方程组的解、的值之和等于2，求的值． 20．（9分）请阅读下列材料： 我们规定一种运算：=ad-bc,例如：=2×5-3×4=10-12=-2．按照这种运算的规定，请解答下列问题：（1）直接写出的计算结果； （2）当x取何值时，=0； （3）若==-7，直接写出x和y的值． 21．（9分）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m-3|-|m+2|； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1． 22．（10分）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？ 23．（13分）若点P（x,y）的坐标满足． （1）当a=1，b=1时，求点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，求b的取值范围； （3）若点P（x,y）为不在x轴上的点，且满足x+4=-y,求关于t的不等式at＞b的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题十三 二元一次方程组（解析版） （知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷） 1、 知识点精讲 知识点1 二元一次方程及有关概念 1. 二元一次方程的定义： 含有两个未知数，并且未知数项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程。 2. 一般形式：ax+by=c（a≠0,b≠0） 3.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解（通常情况下有无数组解）。书写形式： 特定情形有有限的解. 名师点拨 1. 含有未知数项的次数都是1，是指含有未知数的单项式的次数是1.不能理解为含有的每个未知数的次数是1。 2.二元一次方程必须具备的条件 （1） 两个未知数 （2） 含有未知数项的次数都是1 （3） 整式方程 知识点2 二元一次方程组 1.二元一次方程组的定义： 含有两个未知数，含有未知数项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。 2.二元一次方程组必须具备的条件 （1） 含有两个未知数 （2） 一共两个方程，每个方程都是一次方程。 （3） 两个方程都是整式方程 3.二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。也就是说二元一次方程组的解必须同时满足两个方程。书写形式： 名师点拨 1.注意判断一组方程是二元一次方程组，必须满足以下条件：（1）共含有两个未知数；（2）两个一次整式方程所组成的。 2.二元一次方程组解的情况：若二元一次方程的一般式为，则（1）若≠有唯一解；（2）若＝＝有无数组解；（3）若＝≠有无数组解； 知识点3二元一次方程组的解法 1. 代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。简称代入法。 2.加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相同或相反时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法。 名师点拨 1.用代入消元法解二元一次方程组一般步骤 （1） 变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数。变形为y=ax+b或x=ay+b的形式。 （2） 代入：把y=ax+b或(x=ay+b)代入另一个方程中 （3） 求解：解消元后的一元一次方程 （4） 同代：把求得的未知数的值代入变形后的方程中，求另一个未知数的值。 （5） 写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。 2.用加减消元法解二元一次方程组的步骤 （1） 变形：根据绝对值较小的同一个未知数的系数的最小公倍数，将方程两边同乘以一个适当的数，使这个未知数系数相等或相反。 （2） 加减：两个方程的同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减，当两个方程的同一个未知数系数相反时，将两个方程相加。 （3） 求解：解消元后的一元一次方程。 （4） 回代：把求得的未知数的值代入方程组中系数较简单的方程中，求出另一个未知数的值， （5） 写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。 知识点4 二元一次方程组的特殊解法 1.整体代入 数学中所谓“整体”是从问题的性质出发，寻找问题体现的共同特点，突出对问题的整体结构的分析和改造，抓住整体特征，建立并把握它们之间的关系，进行有目的、有意识的整体处理的数学思想。整体思想需要用"集成"的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。 2.换元 引入一个或几个新变量,代替原式中的某些量,使得原式中仅含有这些新变量,从而使问题得到简化,然后对新变量求出结果,再代回原变量求其结果,这种解决问题的方法叫作换元法。 名师点拨 整体代入或换元法解方程实质就是（1）整体代入（2）整体设元（3）换元 2、 易错点点拨 易错点1 二元一次方程的定义及二元一次方程的解 例1-1．如果2xa+2b-3ya-3b+1=0是二元一次方程，那么a,b的值分别是（　　） A. 1，0 B. 0，1 C. -1，2 D. 2，-1 易错点点拨 根据二元一次方程的概念可知，需满足条件：含有未知数项的次数都是1，且含有未知数项的系数都不为0，通过这些条件列式可得相关字母参数的方程和不等式，由此可求得相应字母参数的值 【答案】A 【解析】依据二元一次方程的未知数的次数为1列出方程组求解即可． 解：∵2xa+2b-3ya-3b+1=0是二元一次方程， ∴， 解得a=1，b=0． 故选：A． 变式训练1 1．下列各式是二元一次方程的是（　　） A. B. C. x+y-3 D. x+xy=8 【答案】A 【解析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 解：A．方程符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即A选项符合题意； B．方程不是整式方程，即B选项不符合题意； C．x+y-3不是方程，即C选项不符合题意； D．方程x+xy=8中所含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，即D选项不符合题意； 故选：A． 2．若是关于x、y的方程2x﹣y+2a＝0的一个解，则常数a为（　　 ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】将代入2x﹣y+2a＝0解方程即可求出a． 将x=-1，y=2代入方程2x-y+2a=0得：-2-2+2a=0， 解得：a=2． 故选B． 3．下列是二元一次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将各选项代入方程的左边计算，看是否等于5，如果等于5就是方程的解，如果不等于5，就不是方程的解． 解：A．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意； B．把代入得：，即是二元一次方程的解，故本选项符合题意； C．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意； D．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 易错点2 二元一次方程组的解法 例2-1 .解下列方程组： （1）（代入消元法） （2）（加减消元法） 易错点点拨 1. 用代入消元法解二元一次方程组时，将系数的绝对值为1的未知数用含另一个未知数的代数式表示比较简单。 2. 用加减消元法解二元一次方程组时，将系数相等或互为相反数的未知数相加或相减比较简单。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）直接把①式代入②式，求出b的值，再将b的值代入①式，求出a的值即可； （2）用①式加上②式，即可消去b，求出m的值，再将m的值代入①式，求出b的值即可． 【小问1详解】 解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，具有消元的思想． 例2-2 .数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． （1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为：      ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． （3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 易错点点拨 认真阅读提供的方法，利用方法进行知识的迁移、拓展。（1）整体代入（2）整体设元（3）换元 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【小问1详解】 设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； 【小问3详解】 设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 变式训练2 1．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（　　） A. x-2+2x=4 B. x-2-2x=4 C. x-2+x=4 D. x-2-x=4 【答案】A 【解析】将方程①代入方程②得出x-2（1-x）=4，再去掉括号即可． 解：， 将方程①代入方程②，得x-2（1-x）=4， x-2+2x=4， 故选：A． 2．在用加减消元法解二元一次方程组时，经过某个变化可得5x=-5．则这个变化是（　　） A. ①×2+②×3 B. ①×2-②×3 C. ①×3-②×2 D. ①×3+②×2 【答案】C 【解析】分别利用加减消元法求出四个选项中的操作结果即可得到答案． 解：， ①×2+②×3得：12x-13y=40； ①×2-②×3得：5y=-20； ①×3-②×2得：5x=-5； ①×3+②×2得：13x-12y=35； ∴四个选项中，只有C选项符合题意； 故选：C． 3．解方程组： （1）（代入法）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）应用代入法消去y，即可算出x的值，再把x的值代入①，即可求出y的值，即可得出答案； （2）根据等式的性质整理后，应用加减消元的方法消去x，即可算出y的值，再把y的值代入①，可求出x的值，即可得出答案； （3）根据等式的性质整理后，应用加减消元的方法消去x，即可算出y的值，再把y的值代入①，可求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 把①代入②，得x+2（2x-1）=-7， 解得：x=-1， 把x=-1代入①，得y=-3， ∴这个方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程组可化为， 由①-②得，4y=24， 解得：y=6， 把y=6代入①得，x=， ∴这个方程组的解为； 小问3详解】 解：原方程组可化为， 由②-①得，y=2， 把y=2代入①得，x=2， ∴这个方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 4．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为　 　； （2）如何解方程组呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为　 　； （3）由此请你解决下列问题： 若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 【答案】（1）；（2）；（3）a＝3，b＝2． 【解析】（1）利用加减消元法，可以求得； （2）利用换元法，设m+5=x，n+3=y，则方程组化为（1）中的方程组，可求得x，y的值进一步可求出原方程组的解； （3）把am和bn当成一个整体利用已知条件可求出am和bn，再把bn代入2m-bn=-2中求出m的值，然后把m的值代入3m+n=5可求出n的值，继而可求出a、b的值． 解：（1）两个方程相加得， ∴， 把代入得， ∴方程组的解为：； 故答案是：； （2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为， 由（1）可得：， ∴m+5＝1，n+3＝2， ∴m＝-4，n＝-1， ∴， 故答案是：； (3)由方程组与有相同的解可得方程组， 解得， 把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2， 解得m＝1， 再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5， 解得n＝2， 把m＝1代入am＝3得：a＝3， 把n＝2代入bn＝4得：b＝2， 所以a＝3，b＝2． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，重点是考查整体思想及换元法的应用，解题的关键是理解好整体思想． 5．嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下． 解：将方程②变形，得． 将①代入③，得． 解这个方程，得． 把代入①，得．所以原方程组的解为 嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题． （1）解方程组 ①把方程①代入方程②，则方程②变为______________________； ②原方程组的解为____________________； （2）解方程组 【答案】（1）①；② （2）原方程组的解为 【解析】（1）结合已知条件，可知把方程①代入方程②，则方程②变为，进行求解即可； （2）利用条件中给出的“整体换元法”，先将①进行变形为，再进行整体换元解方程即可． 【小问1详解】 解：把方程①代入方程②，则方程②变为， 解得：， 将代入①，得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 由题意可知：①×2得：， 将③代入②，得， 解得：， 将代入①，得， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程解法中的特殊方法：整体换元法，重点在于找出“整体”进行消元，部分题型需要先进行转化，再进行整体换元． 易错点3 二元一次方程组的同解 例3-1.已知关于x,y的方程组与有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求m,n的值； （3）小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x,y的方程（3+a）x+（2a+1）y=5的解．”这句话对吗？请你说明理由． 易错点点拨 1.解答一个二元一次方程组与一个二元一次方程同解问题两种方法 （1）将待定字母k看作已知数，求出方程组的解，然后将方程组的解代入二元一次方程中，求出k的值。 （2）由方程组的两个方程消去未知字母k，得到关于x、y的二元一次方程，再与另一个二元一次方程联立得方程组，求出x、y的值，进而求出未知字母的值。 2.解答两个方程组的同解问题的方法：因为两个方程组共有四个二元一次方程，且有公共解，所以它们中任意两个联立组成的方程组都可以求得两个方程组的公共解，进而可以求得参数的值。 【解析】（1）联立，解方程组即可； （2）把代入另外两个方程中得，解方程组即可； （3）将代入（3+a）x+（2a+1）y=5，等式恒成立． 解：（1）联立， 解得； （2）把代入另外两个方程中得， 解得； （3）对，理由如下： 将代入（3+a）x+（2a+1）y=5， 得到5=5， ∴小明的话是对的． 变式训练3 1．二元一次方程组的解也是方程的解，求k的值． 【答案】 【解析】先用含k的代数式表示方程组的解，再代入得到关于k的方程，求出解即可． 解： ，得. 将代入①，得． ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等，掌握解方程（组）的步骤是解题的关键． 2．若关于x,y的二元一次方程组 与方程组有相同的解. （1）求这个相同的解； （2）求的值. 【答案】（1）这个相同的解为；（2）1 【解析】（1）根据两个方程组有相同解可得方程组，解此方程组即可得出答案； （2）将（1）求解出的x和y的值代入其余两个式子，解出m和n的值，再代入m-n中即可得出答案. 解：（1）∵关于x,y的二元一次方程组与有相同的解， ∴ 解得 ∴这个相同的解为 （2）∵关于x,y的二元一次方程组与相同的解为， ∴ 解得 ∴m-n=3-2=1 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的同解问题：将两组方程组中只含有x和y的方程组合到一起，求解即可. 3．已知方程组的解也是方程组的解求的值． 【答案】 【解析】根据题意可知两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组，再根据二元一次方程组解的定义，即可求出答案． ① ②，①×（-5）－②得，，解得， 把代入①得，，解得， 所以方程组的解是， 把代入方程组，得，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组解的定义及二元一次方程组的解法，解答此题的关键是要弄清题意，两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组． 3、 专题检测卷 一、选择题(共10题，每小题3分，共30分) 1．若方程3x2m+1-2yn-1=7是二元一次方程，则m、n的值分别为（　　） A. m=1，n=1 B. m=1，n=2 C. m=0，n=1 D. m=0，n=2 【答案】D 【解析】二元一次方程满足的条件：只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 解：根据题意，得 2m+1=1且n-1=1， 解得m=0，n=2． 故选：D． 2．方程2x+y=8的正整数解的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】由于二元一次方程2x+y=8中y的系数是1，可先用含x的代数式表示y,然后根据此方程的解是正整数，那么把最小的正整数x=1代入，算出对应的y的值，再把x=2代入，再算出对应的y的值，依此可以求出结果． 解：∵2x+y=8， ∴y=8-2x, ∵x、y都是正整数， ∴x=1时，y=6； x=2时，y=4； x=3时，y=2． ∴二元一次方程2x+y=8的正整数解共有3对． 故选：B． 3．若是关于x,y的二元一次方程3x-my=10的解，则m的值为（　　） A. 4 B. -7 C. 7 D. -4 【答案】D 【解析】将x与y的值代入方程计算即可求出m的值． 解：把代入方程3x-my=10，得6-m=10，解得m=-4． 故选：D． 4．由x-3y=5，得到用x表示y的式子为（　　） A. y=3x-15 B. C. D. y=-3x+15 【答案】B 【解析】把x看作已知数求出y即可． 解：方程x-3y=5， 3y=x-5， 解得y=， 故选：B． 5．下列方程组：①，②，③，其中是二元一次方程组的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③ 【答案】D 【解析】解：①是三元一次方程组，故错误． ②中的第一个方程不是整式方程，故错误． ③符合二元一次方程组的定义，故正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 6．设方程组的解是，那么a,b的值分别为（　　） A. -2，3 B. 3，-2 C. 2，-3 D. -3，2 【答案】A 【解析】把代入方程组，得到关于a,b的方程组，再进一步解方程组． 解：把代入方程组，得 ， 解得 ． 故选：A． 7．用加减消元法解方程组，下列解法错误的是（　　） A. ①×3-②×2，消去x B. ①×2-②×3，消去y C. ①×（-3）+②×2，消去x D. ①×2-②×（-3），消去y 【答案】D 【解析】用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元． 解：A、①×3-②×2，可消去x,故不合题意； B、①×2-②×3，可消去y,故不合题意； C、①×（-3）+②×2，可消去x,故不合题意； D、①×2-②×（-3），得13x-12y=31，不能消去y,符合题意． 故选：D． 8．由方程组可得出x与y的关系是（　　） A. 2x+y=4 B. 2x-y=4 C. 2x+y=-4 D. 2x-y=-4 【答案】A 【解析】把②中m的值代入①即可求出x与y的关系式． 解：， 把②代入①得2x+y-3=1，即2x+y=4． 故选：A． 9．若-3xy2m与5x2n-3y8的和是单项式，则m、n的值分别是（　　） A. m=2，n=2 B. m=4，n=1 C. m=4，n=2 D. m=2，n=3 【答案】C 【解析】两个单项式的和为单项式，则这两个单项式是同类项再根据同类项的定义列出方程组，即可求出m、n的值． 解：由题意，得， 解得． 故选：C． 10．已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y=4，则m的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】把方程组的两个方程相减得到2x-2y=2m+6，结合x-y=4，得到m的值． 解：∵关于x、y的二元一次方程组为， ①-②，得： ∴2x-2y=2m+6， ∴x-y=m+3， ∵x-y=4， ∴m+3=4， ∴m=1． 故选：B． 二、填空题(共5题，每小题3分，共15分) 11．若方程：是关于、的二元一次方程，则______，_____． 【答案】 ①. -1 ②. 1 【解析】根据二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程，求出m，n的值即可得出答案． 解：依题意可得2m+3=1，5n-4=1 解得m=-1，n=1， 故答案为：-1，1． 【点睛】此题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是根据二元一次方程的概念得出m，n的值． 12．若关于x，y的方程组的解是一对负数，则＝_____． 【答案】##1-8m 【解析】先将方程组中的两个方程相加可得，相减可得，再根据解是一对负数可得，，然后化简绝对值，计算整式的加减即可得． 解：， 由①②得：，即， 由①②得：， 关于的方程组的解是一对负数， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、整式的加减、化简绝对值，熟练掌握二次一次方程组的解法是解题关键． 13．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是____． 【答案】m＞﹣2 【解析】解：， ①+②得2x+2y=2m+4， 则x+y=m+2， 根据题意得m+2＞0， 解得∶m＞﹣2． 故答案为∶ m＞﹣2 14．已知与互为相反数，则x＋y＝______． 【答案】1 【解析】利用互为相反数两数之和为0列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出x+y的值． 解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴ 可得， ①+②得：6x＝6， 解得：x＝1， 把x＝1代入①得：y＝0， 则x+y＝1+0＝1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了绝对值的非负性的应用、相反数的定义、解二元一次方程组，代数式求值，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 15．已知3x2a+b-3-5y3a-2b+2=-1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b=_____． 【答案】9 【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面考虑，求得a、b的值，代入（a+b）b中即可求出． 解： 因为3x2a+b-3-5y3a-2b+2=-1是关于x、y的二元一次方程， 则， 利用代入法求出a=1，b=2． 把a=1，b=2代入，得（a+b）b=9． 三、解答题(共8题，共75分) 16．（10分）用合适的方法解方程组： （1） （2）． 【解析】（1）先把①代入②求出y的值，再把y的值代入①即可求出x的值； （2）先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可． 解：（1）， 把①代入②得，4y-3y=2， 解得y=2， 把y=2代入①得，x=4， 故此方程组的解为：； （2）， ①×3+②得，14x=-14， 解得x=-1， 把x=-1代入①得，-3+2y=3， 解得y=3． 故此方程组的解为：． 17．（9分）如果2x2a-b-1+3y3a+2b-16=14是一个二元一次方程． （1）求a,b的值； （2）在（1）的前提下用含x的式子表示y； （3）直接写出满足（2）的所有x,y的正整数解． 【解析】（1）利用二元一次方程的定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； （2）表示x看作已知数求出y即可； （3）求出方程的正整数解即可． 解：（1）根据题意得：， 解得：； （2）方程为2x+3y=14， 解得：y=； （3）方程的正整数解为或． 18．（7分）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，求原方程组中a的值． 【答案】 【解析】把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 解：将、代入得： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 19．（7分）已知方程组的解、的值之和等于2，求的值． 【答案】k=4 【解析】由原方程组中两个方程相减可得 与结合成新的方程组，求解的值，再求解即可. 解： 方程组， ①②得：③， 又由题意得：④， 由③和④组成新的方程组， 解得：， ． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，结合已知条件熟练的构建新的二元一次方程组是解本题的关键. 20．（9分）请阅读下列材料： 我们规定一种运算：=ad-bc,例如：=2×5-3×4=10-12=-2．按照这种运算的规定，请解答下列问题：（1）直接写出的计算结果； （2）当x取何值时，=0； （3）若==-7，直接写出x和y的值． 【解析】（1）根据运算的规定，可知=-1×0.5-（-2）×2，然后根据有理数的混合运算法则，得出结果； （2）根据运算的规定，可知=2x2-1×（0.5-x），从而可列出关于x的方程2x2-1×（0.5-x）=0，解这个方程，即可求出结果； （3）根据运算的规定，可知=3（0.5x-1）-8y,=-x+0.5y,从而可列出方程组，解这个方程组，即可求出x和y的值． 解：（1）∵=ad-bc, ∴=-1×0.5-（-2）×2=-0.5+4=3.5；（2分） （2）由题意，得2x2-1×（0.5-x）=0，（4分） 整理，得4x2+2x-1=0， 解之，得．（5分） ∴当或时，=0； （3）∵=ad-bc, ∴=3（0.5x-1）-8y,=-x+0.5y, 由题意，得组， 解得． 故x=8，y=2．（8分） 21．（9分）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m-3|-|m+2|； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1． 【解析】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围，然后再化简（2），最后求得m的值． 解：（1）解原方程组得：， ∵x≤0，y＜0， ∴， 解得-2＜m≤3； （2）|m-3|-|m+2|=3-m-m-2=1-2m； （3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1， ∵x＞1，∴2m+1＜0， ∴m＜-， ∴-2＜m＜-， ∴m=-1． 22．（10分）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？ 【解析】根据“如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗，小组数目不变”列方程求解． 解：设学校这次共买了x棵树苗， 则：=， 解得：x=81， 答：学校这次共买了81棵树苗． 23．（13分）若点P（x,y）的坐标满足． （1）当a=1，b=1时，求点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，求b的取值范围； （3）若点P（x,y）为不在x轴上的点，且满足x+4=-y,求关于t的不等式at＞b的解集． 【解析】（1）将a=1，b=1代入方程组求解． （2）用含a,b的代数式表示x,y,通过点P在第二象限求出a的取值范围进而求解． （3）由x+4=-y求出a与b的等量关系，再分类讨论b的符号进而求解． 解：（1）把a=1，b=1代入方程组得： ， 解得， ∴点P坐标为（-3，0）． （2）由得， ∵点P在第二象限， ∴， 解得b＜a＜4， ∴符合要求的整数a为1，2，3， ∴0≤b＜1． （3）∵点P坐标为（a-4，a-b），且点P不在x轴上， ∴a-b≠0，即a≠b. 将代入x+4=-y得a=（a-b）， 整理得a=b, ∴a=b, 将a=b代入at＞b得＞b, 当b＞0时，＞1， 解得t＞， 当b＜0时，＜1， 解得他t＜． 综上所述，t≠． 学科网（北京）股份有限公司 $$