28.2 解直角三角形及其应用-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（人教版）广西专版

吃透教材九下·第二十八章 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 教材知识梳理 1.解直角三角形的概念：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即① 条 边和② 个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直 角三角形 2.直角三角形中五个元素之间的关系： 如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,那么除直角∠C 外的五个元素之间有如下关系： (1)三边之间的关系：③ (勾股定理)； (2)两锐角之间的关系：④ (3)边角之间的关系：sinM=cosB=4,cosA=sinB=⑤ tanA=⑥ ,tanB=⑦ 利用这些关系，知道其中的⑧ 个元素（至少有一个是⑨ ),就可以求出其余 0 个未知元素. 教材经典母题变式 教材母题1)已知两边解直角三角形 例1（教材P77习题T1变式）在△ABC中，∠C=90°，a=2√3，b=2,解这个直角三角形. 【方法总结】已知两边解直角三角形的步骤： (1)由勾股定理求出第三边 (2)求出其中一个锐角的某一个三角函敏值： (3)由三角函数值求角度（一般题目设置的是30°，45°和60°的特殊角，如果是非特殊角，需要借助 计算器)： (4)另一锐角=90°-该锐角. 9100 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九下·第二十八章 教材母题2)已知一边和一锐角解直角三角形 例2（教材P77习题TI变式）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5,求∠B及b, c的值， 【方法总结】已知一边和一锐角解直角三角形的步骤： (1)由直角三角形中两锐角互余求出另一锐角： (2)利用三角函数或特殊三角形的边角关系或勾股定理求出其余两边长 教材母题【③已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形 例3（教材84习题卫变式）在△ABC中，∠C=90,c4=2,AB=2,解这个直角三 角形. 【方法总结】已知一边和一锐角的三角函效值解直角三角形的步骤： (1)由三角函数值得出该锐角的度数，则另一锐角的度数可求； (2)利用锐角三角函数的概念列式求得一条边的长，然后由勾股定理求出第三边的长 易错剖析 易错点无图时，忽略直角三角形的边不确定而出错 例4在△ABC中，in∠ABC=,AB=22,AC=5,则BC边的长为 易错提醒在几何问题中，若题千无图，在自己画图时，一定要考虑全面，避免漏解。 众相原创分层练·广西数学() 9101 吃透教材九下·第二十八章 28.2.2 应用举例 第1课时视角 教材知识梳理 仰角、俯角的概念：如图，在视线与水平线所成的锐角中， 视线 铅 视线在水平线① 方时，视线与水平线所成的角是仰角： 垂 丁仰角 水平线 、俯角 视线在水平线② 方时，视线与水平线所成的角是俯角. 线 袍线 教材经典母题变式 教材母题1)一般的应用问题 例1（教材74例3变式）如图，是一个匀速旋转（指每分钟旋转的弧长或圆心角相同）的 摩天轮的示意图，0为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80米， 最低点C离地面6米，旋转一周所用的时间为6分钟，小明从点C乘坐摩 天轮（身高忽略不计），经过2分钟，小明离开地面的高度大约是 米 教材母题2)与仰角、俯角有关的应用问题 例2（教材P75例4变式）如图，无人机爱好者小明在家附近放无人机，当 飞行方向 无人机飞行到小明头顶一定高度D点时，无人机测得楼房BC顶端点C D文3 处的俯角为30°，已知小明A和小区楼房BC之间的距离为36米，楼房 BC的高度为12√3米.求此时无人机离地面的高度. B 易错剖析 易错点对仰角、俯角的识别出错 例3如图，∠BCA=∠DEB=90°，FB∥DE∥AC. 从A看B的仰角是 ;从B看A的俯角是 从B看D的俯角是 :从D看B的仰角是 易错提醒(1)视角是视线与水平线的夹角，视线是由观察，点到被观察，点所连 的射线，水平线是过观察，点的水平直线：(2)视角一定是锐角. 水平线0 9102 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九下·第二十八章 第2课时 方位角，坡度、坡角 教材知识梳理 1,方位角的概念：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 北 为起始方向，旋转到目标的方向所成的角（一般指锐角），通常表述为 d45 北（南）偏东（西）几度 东 如图1，点A位于点0的① 方向，点B位于点O的 60、B ② 方向，点C位于点0的北偏西45°方向，也称 图1 为③ 方向 2.坡度、坡角的概念：如图2，坡面与水平面的夹角叫做④ ,用字 铅肯 坡面 母α表示：坡面的铅直高度h和水平宽度1的⑤ 叫做坡度（坡 高废 比)，用字母i表示 水平宽度 3.解直角三角形的实际应用问题的一般过程： 图2 (1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形： (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 教材经典母题变式 教材母题【①与方位角有关的应用问题 例1（教材77习题T1变式）如图，海中有一小岛P,在距小岛P16√2海里范围内有暗礁， 一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向，且A、P之间的距离 为32海里.若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明.如 果有危险，轮船自A处开始至少向南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？ 北 60 一东 众相原创分层练·广西数学() 9103 吃透教材九下·第二十八章 教材母题2)与坡度、坡角有关的应用问题 例2（教材P77练习T2变式）如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，（图中i=1:W3是指 坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比)，∠B=60°，AB=6米，AD=4米，求拦水坝的 横断面ABCD的面积.（结果保留整数.参考数据：w3≈1.732,2≈1.414） i=1:3 易错剖析 易错点对坡度的概念理解有误而出错 例3如图，在一个坡度i=1:3的斜坡上栽种两棵树A,B,要求它们之间的水平距离AC为 6m,则A,B两棵树之间的坡面距离（即AB的长）为 m. 易错提醒注意分清楚，坡度是谁和谁的比（铅直高度与水平宽度的比）： 9104 众相原创分层练·广西数学(J)侧-样+合解得一文浙数的的析式为)。 第二十七章相似 制之解：位，理由复下： 7》在面的中，由匀量定月.图幼■√G-C万4 设小正方用的边长为1，由匀解定理，得AB正，佩，2正， 4特(-小，)代人-红c0.每m-3 27.1图形的相银 请，hL①，2.4 用状2边数3相等车慢比得5相标国比6相蒂 例23例3,0 人反比时有数的析式为y一子：<。 成比倒， 又：∠是ea∠F=日5，六△AnG,△ 第2课时像角的余这、正切 214 到1.律交 例支例41 深边具迪家边斜拉6石边邻边 第5课时两角分别相海的两个三尾形 (5)观察闲象，当：<0时.天T年的不等式红+《一的加 制2照125mA4m小-5m1m,学 对边邻边山 好刷及直角三角形相的判定 集是《-3成-1C30 子本它门是线比斜夏 工再2域比钢 例1昌刚二：压 例头C例48 例1.证用：在△C中，LA40,上青✉知 例2解：(1)在BAC中，G年阳C6 26.2实际判海有反比例南数 第【课时用反比货公书解法实问领 一合六它阳不是成比例段 ∠G。1m-∠A-∠N 雀△球灯中，∠有加，∠F间 m以景领子解碧想 (3]?线厚a,,c,d域比例，a=m-h=认2m=2m 1时2单像信黄事4其位商高 ∠雀m∠R,∠C■LP,÷△A0C△ 根素与股定原，得以。yW一C。√可一行35 例1.解：出题童可科从甲始到乙地的高程为：面×1.5 +=0n 例2（例3G刚43或3正 15m一t美于的而数解新式为：，圆 27,2.2相m三角形的住质 （4件小是成t州n共-号 工相其忧2相比3相白比主相自比的平方 第3课时特殊角的三抢④酸值 (2)当汽车匀速行维的流度为闭4n%.率：=0% 在，②4.令：0得0.回都得115 到15m是m)号4中5 1华号号对停15 制三证明：△A一8w6m广分剩屋LA,∠A'G的 养：小车匀速行收的速度为0mh时，只乙地运润甲地 什算器 6=6已 周3,5 剑头工中4布 器·带借亮-式W以：剧 倒L解：草式一 州二船：6刊做酒鱼，得识马 例4留春座内料边峰呢形成的同个里毛相，写可以得司 高矩形长之比与宽之住相等 2肖-3时，号-3，解一倍+2-0号 A0 M 在w一a本春，+7"m容N石 m是 )刃一鲜干1中约而数)的情不装取到长5 保嘴用或的西个形相显 例(1)1000(2)104话 例2C例及3 到4新1n3=0.258:m20r-0.307,t36-0.7265 例头解：（山设反比钢函数解新次为一法时， 制天知用鳞4万%，：Fm收 m线行 27,2.3相m三角彩位用攀例 例5解：1)∠4-35157”.(2)24-5811” 到1,2m2B 43》2A1239w“ 点(1司A5)在反比例函数5象上，41闭×45一0 27.2相很三角形 制s解：？∠结=CC球=0，∠IEB CCED,△8 ·y美于，哈函数新偶式为，知，3， 27.2.1相（三角形的判定 6一”-总普-营-16新教学大楼m 级.2解直角三角形及其成用 (2)105 第1津肘平行线分线悦成比列 商度A情是6米 28,2.1解直角三角形 (3)州y30元-3万现时.国9c成3.丽特23. 例喜射做 过学明+=2用乙A+B=9w8华 管：主比划每月伦业价教不槿过30元，侧少害要四 个月运清 135别22刚亭是制 27.3位很 第1课时位图形 刚4.C 制天篇：设m周my球形C品莞牌 ①位里图形位敏心例1D例2降 例1解：在用△4中，由2定用，得：。家+=4 第2课时利用反比例差数解决挡学料得题 第2射平置直角坐标系中的位税 D电肝电则这及力售因 ,与)或(-，- -厚4wr 刚1都61-是 -A0■40+W0■2+1■3（■l.Y,6限 侧1.(6.-2)(421.2)【式131 期2解：在面&4面中，∠G0,240,年=5.之香 (2)小灯物的度特出源来的灯出更意：厘由凯下： 倒2(3,2减-3，-2)【变式11461 T产2410.六各。7-05 与民<0时高即1,3，一小物的充度锋世聚的 例1路.例4.《62)成(-6，一2) 甘货亮 第2课时三边气比例城两边压比侧目 第二十八章锐角三角函数 夹角相得的两个三角形相双 LA4:业t业：vW-C:, 2级.1锐角三角雨数 例41说3 卵银商可建，=1的组4 到1.解：1)6AG和△成不相 露1误到锐角的正第 28.2,2应用举例 勇1国时视角 2当p0时-品=2寺r阳 计地斜道迪不的边零号 :AC程△DEF不面做 ①上 例解：DL,∠g∠W0 01,导=48)0，骑V的增大减小 (2)么ABC和△F射就 例1转 越不2W,1.过，时r02, 上.4m-4意-w-…情=由∠=指 例2解：如解丽，过丝C作C3L也千点￡， 意的中经皇少为Q2时，气非东会整 调∠=∠=2=上0C=, 年辆加钱，轮的体室小，面内气压惜大导登爆的 AC拜AEF相程 国边包A0E是即那 卧考答离 A悲==23来.图，w=3站米 飞分考向于左花用工长财正且高平齐度相司 21.2.2公式法 第二十二章二次函数 由题意得上E=3T,品。E 到1.路例2C倒3B例4.路.例支日 鬼！时一兄二瓷方程银的陶式 题2津时由三祝图想业出直体图形 1.A2D3A4.A5.m<04. 22.1二次南数的图象和性周 制，大装住B 7.解11)号5=(-3)-4×4g1-1)=25>0 22.1,1二次角2 ADA+（米》， 例二据：这个物体昆一个横黄的空心两住，现实生请中常这种 :方N有肉个不相等的影数制 111B人2g 管：夫时无人机离地自的底度为 几阿休的物体有，相园，本管等 (2):1=(-222-4m1×2-0, 243米 制去各 去方程有构个相等的实数根 4是子31是303量3-20量1 例玉LG4FLF0L 第3课时由三视匹确定立体买形西积线体积 (33￥1-21-4m2×1=-4c0 =1✉1 第2课时方信角，铵度、枝角 到. ·方程汉有实数， 5解：(1)由思意.鲜别-20.解得库*2 (4)周方假精理.群6句4：43=0 位当样一2叫.该通数是二次函自， 1k编东知这南编东01料北4宣角5社 制1，解：该儿体是一十到住叠胶在一个长左体上虚 (2)由港意，得m-2=0H和*0，钢得m=2 例1，解：解图，过点P售呢44干点及 所以减儿门体的体积为3.14.(20+2)·0+25文30 女1=8,4x63=-280.品青程性有实数起 0箱250m 题2深时公式法 放当m2时，该面数是一次函数 在鱼五m中，由题意得， (3)南函数的冷数明整-3.不国佳为0 乙P■0-0°■0， 流风利体的表面阳为是14x20×)+1%(25×0+0 么选属数不可能是正民例属数 0◆25x40)=7361 1614k64323=3 2 六嘴=”6（为第 22.1.2二次的数y=的阅像和性质 293果题学 制作立体楨型 53r-52-055-2wg1} 6 L目上D及题心04事=（容紫不睡一） 16162 例1.幅：1》空心辉柱 5.(112351)1430&4 :轮图有触题西 (2)解相城球 64- 为了安全，成攻变飘行向，用 17解：山里童，料“解将得工一， L星证点“到敏线的师肉不小1道酸的学社162待里，同 25, 六当鲜。一1时，数，=一的闲象是口序下的物线 (个真案少为16,2海里 州2解：正火陵任 2略 212.3因式分解活 22.1.3二次角y=x-h12+的 设安全航有为C,连点P作山⊥C于当 (31面为6，余指为+3 L U 2A 图像和性质 由道能P双海里，m:里n上C一学 1(g+)00+400- 见1时二次区技￥■2+业的图取和性两 课堂10分钟 (2)(x+a(g-)0+a=0-= LD2A3B4(0,-3)5上n 2-号Pc, (3):±a-0-4a 6y+3答案不滩一) 九年咽上删 7解：(1)将(02)代人y=2+本.料k=去y抛物规的表状及 ÷∠且c=LG-L=5”-0■5 容，若彩断保峡科E东为向制行，轮有触具他典.轮解日A 第二十一章一元二次方程 4是西 F口向与装物钱产一宁同“车一之 处师的至少向面5直方向航行，德发金通过江一海城 5(1141g万，年五(2114-5：%w3 例2解：虹解置，这点4作4F4,每昆为 2L.1一元二次方程 (21由1)样，制物的第析式为一一宁2，画箱间对 在△AF中，∠8= 6无=0=-3 21- 第2课时二艾的数，“(：一》'的要家和性质 W=6米 k解：如下气 (3,=1=✉3 1A2G3D4A5右4-4 2.AF AB rsir 21,2.4一元二次方程的根与表数的关系 3(米)U生出·省= 方型 一程形式 二改有系替 7(1二衣函数的解析式为7一方+5 1.1非支非46天4-7k-3-5 3(米 1-14- (2引当≤一5时，随的帽大自增大 5-1 3 AD,AF⊥C,球⊥G.去边形AFED量距毛 1=0 7(104=51==4 (2~的取值喜国为行心子 第3误时二欢到粒)=（红-A)了+k跑图象即性周 4球=A球=3百来，招=地=4米 +231, 2L3实际利题与一元二次方程 1A213.04A5Gk.向F. 116 器周中围物视的解新式为力主一（年一2+0 ,E=3Em9(米).配■时+以+ 第1课时传避、循环，数字问场 4-72=0-144=0 22,1,4二次通旋y=+r+的图像和性质 1.B1.C3.A4.D5g CE=制米)： 第1课时二发数y=+斯+C的图象和性圆 8号+们·碳=勤，万-2（平方米 21.2解一元次方型 6与屁代播中平均一个人会停事常4个人，库客料不到有效 21.21配方怯 控制.三轮传递野有2物人益塔染 1B1A支D4C5> 6解：[15■-22+4+3m-3(4-1》5+5. 里.这个得位数是2成 例32，而 第1时直楼开平方法 去抛物域岭口向下，对称有为自线喜=顶点坐标为15 第上课时平查化率、销国周间问题 L A Z D S D 4 A S D (2由1)如，箱物线的开口向下，对轴为直线4■， 第二十九章投影与棍图 1.D2151-4移40% k-5与·-8 云当时，y随·的增大的减小：当<1时y圈+的增大 线每柱室装烧降情的元 可培大， 29.1投影 (2以学 长气每个辰千的再角为3无时，福市料无的罚丙科国为0元 第2时用情定系荒法求二的故的解析式 售体的议都 授影找5投斯有平行授 第2望时配方法 第3课时图糊间题 1.B22天5 1D2D1.-24y■-2+1H答案6裤一) 3中C投 例1.0例20【麦式1中C汉标例3.5，■5c5 142B4412)%60曾 4解：当背国尽席含的长为0群，宽为多翻时，需含室积为 (2次两数的解析式为y一1+4凸- 29.2三悦闲 0, 第1课时三视图 5解1设路过写2(6-)2-k,垫界.得2一6加+=0 D正国本千蜜寒直香氢视指方湘混因 694-1+江1-不212 解月=1，为=4.50过2成4.△0的自积为8 卧考答案