27.2 相似三角形-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（人教版）广西专版

侧-样+合解得一文浙数的的析式为)。 第二十七章相似 制之解：位，理由复下： 7》在面的中，由匀量定月.图幼■√G-C万4 设小正方用的边长为1，由匀解定理，得AB正，佩，2正， 4特(-小，)代人-红c0.每m-3 27.1图形的相银 请，hL①，2.4 用状2边数3相等车慢比得5相标国比6相蒂 例23例3,0 人反比时有数的析式为y一子：<。 成比倒， 又：∠是ea∠F=日5，六△AnG,△ 第2课时像角的余这、正切 214 到1.律交 例支例41 深边具迪家边斜拉6石边邻边 第5课时两角分别相海的两个三尾形 (5)观察闲象，当：<0时.天T年的不等式红+《一的加 制2照125mA4m小-5m1m,学 对边邻边山 好刷及直角三角形相的判定 集是《-3成-1C30 子本它门是线比斜夏 工再2域比钢 例1昌刚二：压 例头C例48 例1.证用：在△C中，LA40,上青✉知 例2解：(1)在BAC中，G年阳C6 26.2实际判海有反比例南数 第【课时用反比货公书解法实问领 一合六它阳不是成比例段 ∠G。1m-∠A-∠N 雀△球灯中，∠有加，∠F间 m以景领子解碧想 (3]?线厚a,,c,d域比例，a=m-h=认2m=2m 1时2单像信黄事4其位商高 ∠雀m∠R,∠C■LP,÷△A0C△ 根素与股定原，得以。yW一C。√可一行35 例1.解：出题童可科从甲始到乙地的高程为：面×1.5 +=0n 例2（例3G刚43或3正 15m一t美于的而数解新式为：，圆 27,2.2相m三角形的住质 （4件小是成t州n共-号 工相其忧2相比3相白比主相自比的平方 第3课时特殊角的三抢④酸值 (2)当汽车匀速行维的流度为闭4n%.率：=0% 在，②4.令：0得0.回都得115 到15m是m)号4中5 1华号号对停15 制三证明：△A一8w6m广分剩屋LA,∠A'G的 养：小车匀速行收的速度为0mh时，只乙地运润甲地 什算器 6=6已 周3,5 剑头工中4布 器·带借亮-式W以：剧 倒L解：草式一 州二船：6刊做酒鱼，得识马 例4留春座内料边峰呢形成的同个里毛相，写可以得司 高矩形长之比与宽之住相等 2肖-3时，号-3，解一倍+2-0号 A0 M 在w一a本春，+7"m容N石 m是 )刃一鲜干1中约而数)的情不装取到长5 保嘴用或的西个形相显 例(1)1000(2)104话 例2C例及3 到4新1n3=0.258:m20r-0.307,t36-0.7265 例头解：（山设反比钢函数解新次为一法时， 制天知用鳞4万%，：Fm收 m线行 27,2.3相m三角彩位用攀例 例5解：1)∠4-35157”.(2)24-5811” 到1,2m2B 43》2A1239w“ 点(1司A5)在反比例函数5象上，41闭×45一0 27.2相很三角形 制s解：？∠结=CC球=0，∠IEB CCED,△8 ·y美于，哈函数新偶式为，知，3， 27.2.1相（三角形的判定 6一”-总普-营-16新教学大楼m 级.2解直角三角形及其成用 (2)105 第1津肘平行线分线悦成比列 商度A情是6米 28,2.1解直角三角形 (3)州y30元-3万现时.国9c成3.丽特23. 例喜射做 过学明+=2用乙A+B=9w8华 管：主比划每月伦业价教不槿过30元，侧少害要四 个月运清 135别22刚亭是制 27.3位很 第1课时位图形 刚4.C 制天篇：设m周my球形C品莞牌 ①位里图形位敏心例1D例2降 例1解：在用△4中，由2定用，得：。家+=4 第2课时利用反比例差数解决挡学料得题 第2射平置直角坐标系中的位税 D电肝电则这及力售因 ,与)或(-，- -厚4wr 刚1都61-是 -A0■40+W0■2+1■3（■l.Y,6限 侧1.(6.-2)(421.2)【式131 期2解：在面&4面中，∠G0,240,年=5.之香 (2)小灯物的度特出源来的灯出更意：厘由凯下： 倒2(3,2减-3，-2)【变式11461 T产2410.六各。7-05 与民<0时高即1,3，一小物的充度锋世聚的 例1路.例4.《62)成(-6，一2) 甘货亮 第2课时三边气比例城两边压比侧目 第二十八章锐角三角函数 夹角相得的两个三角形相双 LA4:业t业：vW-C:, 2级.1锐角三角雨数 例41说3 卵银商可建，=1的组4 到1.解：1)6AG和△成不相 露1误到锐角的正第 28.2,2应用举例 勇1国时视角 2当p0时-品=2寺r阳 计地斜道迪不的边零号 :AC程△DEF不面做 ①上 例解：DL,∠g∠W0 01,导=48)0，骑V的增大减小 (2)么ABC和△F射就 例1转 越不2W,1.过，时r02, 上.4m-4意-w-…情=由∠=指 例2解：如解丽，过丝C作C3L也千点￡， 意的中经皇少为Q2时，气非东会整 调∠=∠=2=上0C=, 年辆加钱，轮的体室小，面内气压惜大导登爆的 AC拜AEF相程 国边包A0E是即那 卧考答离吃透教材九下·第二十七章 27.2相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例 教材知识梳理 1.相似三角形的定义：在△ABC和△A'B'C中，如果∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C', AB-BC-XC=太，即三个角分别0 AB BC AC ,三条边② ,我们就说△ABC与 △A'B'C'相似，相似比为③ ,记作△ABC④ △A'B'C' 【温馨提示】(1)对应顶，点要写在对应的位置上：(2)△A'B'C与△ABC的相似比为 :(3)当k=1 时，两三角形全等 2.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段⑤ 【温馨提示】(1)基本事实中的一组平行线两两平行，但两条被截直线不一定平行；(2)所有的成比 例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关：(3)当所截线段相等时，说明这组平 行线间的距离相等 3.推论：⑥ 于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线 段⑦) 4.相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原 三角形⑧ 教材经典母题变式 教材母题1相似三角形的有关概念 例1如果△ABC∽△A'BC',BC=3,B'C'=1.8,则△ABC与△A'B'C的相似比为 △A'B'C'与△ABC的相似比为 教材母题②平行线分线段成比例定理及其推论 例2（教材P29探究变式）如图，直线L1∥12∥13，直线AC交1，L,,13于点A,B,C,直线DF交 464于点D,EP,已知兮则E 例2题图 例3题图 【方法总结】(1)当题目中出现三条（或三条以上）平行线，且求线段的长度或比值时，常利用平行线 分线段成比例获得比例线段：(2)平行线分线段成比例一定要注意所截线段在位置上的对应关系. 例3（教材31练习卫变式）如图，DE∥BC长-号则8 PAD :若Fc/Bc8瓷=2. 则AR AB 986 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九下·第二十七章 教材母题3)利用平行线判定两个三角形相似 例4（教材P42习题T5变式）如图，AB∥CD∥EF,则图中相似三角形有对. 例5（教材31练习T2变式）如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=EC,DB=1cm,AE=4cm, BC=5cm,求DE的长. 【方法总结】相似三角形的相似比，经常用来计算三角形的边长，是将形转化为数的有力工具， 易错剖析 易错点1忽略线段的对应关系而致错 例6如图，AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点O,则下列结论中正确的个数是 品器®品-0能-4能666路 FOEO A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 易错提圃在利用平行线分线段成比例和相似三角形的对应边成比例求比例式或线段长时，一定 要注意线段的对应性，不可写错 易错点2被截平行线位置不确定时应分类讨论 例7在△ABC中，AB=6,AC=9,点P是直线AB上一点，且AP=2,过点P作BC边的平行 线，交直线AC于点M,则MC的长为 易错提国点在直线AB上，包含点在线段AB上、点在线段AB的延长线上和点在线段BA的延长 线上三种情况.当题干未指明且未画出图形时，需要分类讨论，避免漏解 众相原创分层练·广西数学() 987 吃透教材九下·第二十七章 第2课时 三边成比例或两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 教材知识梳理 1.三边① 的两个三角形相似： 2.两边② 且③ 角相等的两个三角形相似. 【温馨提示】(1)两组对应边及其夹角，不是边所对的角：(2)两组边和夹角这两个条件缺一不可： (3)在比例式中，对应边的位置要正确 教材经典母题变式 教材母题1由三边成比例判定两个三角形相化 例1（教材P34练习T1变式）已知△ABC和△DEF,根据下列条件判断它们是否相似，并说 明理由， (1)AB=3,BC=4,AC=6,DE=6,EF=8,DF=9: (2)AB=4.BC=8,AC=10,DE=20,EF=16,DF=8. 【方法总结】利用三边成比例判定三角形相似的步骤： (1)将每个三角形的三条线段长按从小到大的顺序排列： (2)分别计算两条最短线段的比、中等线段的比、最长线段的比： (3)判断三组线段的比是否相等：若相等，则相似：反之，则不相似 988 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九下·第二十七章 教材母题2)由两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 例2（教材P42习题T3变式）如图是由小正方形组成的网格，点A,B,C,D,E,F均在格点 上，∠BAC=∠EDF=135°，网格中的这两个三角形相似吗？请说明理由 例3（教材P34练习T2变式）如图，四边形ABCD的两条不等长对角线AC,BD相交于点 O,且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若O:OC=OB:OD=1:2,则() 丙 A.甲、丙相似，乙、丁相似 B.甲、丙相似，乙、丁不相似 C.甲、丙不相似，乙、丁相似 D.甲、丙不相似，乙、丁不相似 易错剖析 易错点当两边对应成比例，但相等的角不是夹角时，两个三角形不一定相似 例4已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的有个 5 329 P675 30 5 ① 3 ④ 易错提国由两边及角判定三角形相似时，要注意，该角一定是成比例的两边的夹角。当角为其中 一边的对角时，相似不一定成立，如本题中的① 众相原创分层练·广西数学() 989 吃透教材九下·第二十七章 第3课时两角分别相等的两个三角形相似及直角三角形相似的判定 教材知识梳理 1.① 角分别相等的两个三角形相似 2.直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边② 的两个直角三角形相似， 【温馨提示】(1)两个三角形必须都是直角三角形才能使用该定理；(2)注意分清楚直角边的对应关 系，若没有明确说明，则需要分类讨论：(3)相似三角形的判定定理同样适用于直角三角形相似的判定， 教材经典母题变式 教材母题1) 由两角分别相等判定三角形相似 例1（教材P42习题T2变式）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°.求证：△ABC∽△DEF 例2（教材P58复习题T9变式）如图，锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于点O,则与 △DOB相似的三角形个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 【方法总结】一般来说，在相似三角形中，对顶角、公共角是隐藏的对应角。 教材母题2直角三角形相似的判定 例3（教材P36练习T3变式）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件中不 能判定这两个三角形相似的是 A.∠A=55°，∠D=35° B.AC=9.BC=12,DF=6.EF=8 C.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8 D.AB=10,AC=8,DE=15,EF=9 【方法总结】直角三角形相似的判定方法有三种： (1)一个锐角相等的两个直角三角形相似： (2)两组直角边成比例的两个直角三角形相似： (3)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 易错剖析 易错点当未明确相似三角形的对应边时，因考虑不全面导致漏解 例4如图，已知∠ACB=∠ADC=90°，AD=2,CD=√2，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似. 易错提国当题千给出“△ABC一△DEF”时，边和角的对应关系均已确定； 当题千给出“△ABC和△DEF相似”时，边和角的对应关系未确定，需分类讨论，避免漏解 990 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九下·第二十七章 27.2.2 相似三角形的性质 教材知识梳理 1.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于① 即相似 三角形对应线段的比等于② 2.相似三角形周长的比等于③ 3.相似三角形面积的比等于④ 教材经典母题变式 教材母题1)相似三角形对应线段、周长的比 例1已知△ABC∽△A'B'C',相似比为2：3. (1)如果AD,A'D分别为这两个三角形的对应高，且AD=9cm,则A'D的长为 (2)如果AE,A'E分别为这两个三角形的对应中线，且A'E=10cm,则AE的长为 (3)如果，F分别为这两个三角形的对应角平分线.则仁的值为 (4)△ABC与△A'B'C'的周长比为 例2（教材P39练习T2变式）如图，△ABC∽△A'B'C',BE,B'E'分别是∠ABC、∠A'B'C'的 平分线，点D,D'分别是BC、B'C的三等分点，即CD=2BD,C'D'=2B'D',连接AD,A'D'. 求证0能 教材母题2)相似三角形面积的比 例3（教材P39练习3变式）(1)如果把一个三角形的三边长扩大为原来的100倍，那么 这个三角形的面积扩大为原来的 倍 (2)如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的三边 长分别扩大为原来的 倍 易错剖析 易错点误认为相似三角形的面积比等于相似比而出错 例4两个相似三角形的相似比为1：2，较小的三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为 易错提国相似三角形的面积比等于相似比的平方，不等于对应线段的比， 众相原创分层练·广西数学() 991 吃透教材九下·第二十七章 27.2.3 相似三角形应用举例 教材知识梳理 1.当被测物体不能直接测量时，我们往往利用相似三角形的性质测量物体. 2.利用阳光下的影子、标杆和镜子的反射，可以测量物体的高度， 3.解题思路：(1)根据题意构建相似三角形：(2)证明三角形相似：(3)根据相似三角形的性 质得比例线段，列方程求解， 教材经典母题变式 教材母题1)利用相似三角形测量物高 例1（教材P39例4变式）如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB 长2m,它的影长BC为1m,旗杆DE的影长EF为6m,则旗杆DE的高度为 AG.--.--7 BE D 例1题图 例2题图 例2（教材P43习题T9变式）如图，线段AB,EF,CD分别表示人、竹竿、楼房的高度，且A, E,C在同一直线上.测得人和竹竿的水平距离为1.2m,人和楼房的水平距离为20m,人 的高度为1.5m,竹竿的高度为3m,则楼房的高度是 )》 A.25m B.26.5m C.50m D.51.5m 例3（教材P43习题T10变式）小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度.如图， 在水平地面E处放一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），镜子与教学大楼的距离EA= 25米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看 到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面的高度DC=1.6 米.请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB(注意：根据光的 反射定律：反射角等于入射角) 教材母题2利用相似三角形测量宽度 例4（教材41练习2变式）金沙江是中国第一大河长江的上游，早在2000多年前的战 国时期成书的《禹贡》中将其称为黑水，随后 的《山海经》中称之为绳水.家住长江边的亮 亮同学为了估计江水流域的宽度，在江的对 岸选定一个目标作为点A,在江的这一边选定 点B和C,使AB⊥BC,然后再选定点E,使EC⊥BC,确定BC与AE交于点D,此时测得 BD=150m,DC=50m,CE=30m,则江水流域的宽度AB是 A.80m B.90m C.100m D.110m 992 众相原创分层练·广西数学()