24.2 点和圆、直线和圆的位置关系-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（人教版）广西专版

吃透教材九上·第二十四章 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 教材知识梳理 1.点和圆的位置关系 如图，设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有： 点P,在圆外，d① r:点P,在圆上，d② r;点P,在圆内， 3 2.圆的确定 (1)已知圆心和半径，可以确定一个圆： (2)④ 的三个点确定一个圆. 圆心的确定方法： 如图，A,B,C是不共线的三点，分别作线段AB,线段BC的 ⑤ 线，设它们的交点为0O,则以点0为圆心，OA(或 OB,OC)为半径，便可作出经过A,B,C三点的圆. 3.三角形的外接圆和外心 经过三角形的三个⑥ 可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心 是三角形三条边的⑦ 的交点，叫做这个三角形的⑧ 【温馨提示】三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等， 4.反证法 假设命题的结论⑨ ,由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设0 从 而得到原命题① ,这种方法叫做反证法 【温馨提示】用反证法主要解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，适用于：(1)结论不定型的 命题；(2)结论包含很多或无限种可能情况的命题；(3)结论含有“至少”“至多”等词语的命题， 教材经典母题变式 教材母题1)点与圆的位置关系 例1如图，已知矩形ABCD的边AB=3,AD=4. (1)以点A为圆心，4为半径作⊙A,则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作⊙A,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆 外，直接写出⊙A的半径r的取值范围， 众相原创分层练·广西数学() 955 吃透教材九上·第二十四章 教材母题2)圆的确定 例2小明家的圆形玻璃被打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆 形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是 A.① B.② 2 C.③ D.均不可能 教材母题3三角形的外接圆和外心 例3（教材PI02习题T8变式）如图，在△ABC中，AB=AC. (1)用直尺和圆规作出△ABC的外接圆⊙O:(保留作图痕迹，不写作法) (2)若AB=AC=13,BC=24,求△ABC的外接圆半径r. 【归纳总结】锐角三角形的外心在圆内：直角三角形的外心是斜边中点，半径等于斜边的一半：钝角 三角形的外心在圆外 教材母题4反证法 例4用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60° 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°， 证明：假设 ,则 … 这与 矛盾，假设不成立 【温馨提示】用反证法证明时需注意：(1)否定的是命题的结论，而不是已知条件.(2)推理论证时， 要把假设作为新增条件参与论证，(3)用反证法证明命题时，准确写出与原命题的结论相反的假设 是关键 易错剖析 易错点点的位置考虑不全面而出错 例5在⊙0中，点A到⊙0的最小距离为3，最大距离是19，那么⊙0的半径为 易错提醒当已知点和圆的最小（大）距离，且题中无图时，需要分两种情况进行分类讨论：①点在 圆内：②点在圆外。 956 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九上·第二十四章 24.2.2直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 教材知识梳理 直线和圆的位置关系 相交 ① 相离 图示 公共点个数 ② ③ ④ 圆心到直线的距离 d⑤ d⑥ r d⑦ d与半径r的关系 直线名称 割线 ⑧ 公共点名称 交点 ⑨ 教材经典母题变式 教材母题直线和圆的位置关系 例1已知⊙0的半径为5cm,圆心O与直线AB的距离为d,根据条件填写d的取值范围： (1)若AB和⊙0相离，则 ;(2)若AB和⊙0相切，则 (3)若AB和⊙0相交，则 例2已知Rt△ABC的斜边AB=6cm,直角边AC=3cm. (1)以C为圆心，以2cm长为半径的圆和AB的位置关系是 (2)以C为圆心，以4cm长为半径的圆和AB的位置关系是 (3)以C为圆心，以 cm长为半径的圆和AB的位置关系是相切. 【方法总结】判断直线和圆的位置关系的方法：当无法确定直线和國有儿个公共，点时，通常过圆心 作直线的垂线，计算垂线段的长度，再比较垂线段的长与半径的大小关系即可 易错剖析 易错点1忽视圆心到直线的距离必须是圆心到直线的垂线段的长而出错 例3已知⊙0的半径为2，直线1上有一点P满足P0=2,则直线1与⊙0的位置关系是( A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交 易错提醒圆心到直线的距离≤圆心到直线上的点的距离.在利用距离判断直线与圆的位置关系 时，一定要找准圆心到直线的距离，即圆心到直线的垂线段的长 易错点2动态问题中，考虑问题不全面而出错 例4如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标 为(-3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距 离为 易错提国涉及动态问题，由直线和圆的位置关系进行计算时，常需要分类讨论.如本题，需要分 ⊙P在y轴左侧和⊙P在y轴右侧两种情况进行讨论. 众相原创分层练·广西数学() 957 吃透教材九上·第二十四章 第2课时 切线的判定和性质 教材知识梳理 1.切线的判定定理 文字 数学语言 图示 经过半径的① 并且 :OC为⊙0的半径，直线AB⊥OC ② 于这条半径的直线是 于点C 0, 圆的切线. ∴直线AB与⊙O相切，切点为C 【温馨提示】两个条件，缺一不可 【归纳】切线的判定方法有三种： (1)定义法：与圆只有③ 公共点的直线是圆的切线： (2)数量关系法：和圆心的距离等于④ 的直线是圆的切线： (3)判定定理 2.切线的性质定理 文字 数学语言 图示 OC为⊙0的半径，直线AB与 圆的切线⑤ 于过 ⊙0相切于点C, 6 的半径 ∴直线AB⊥OC于点C C 【归纳】切线的性质有三个： (1)定义：与圆只有⑦ 公共点： (2)数量关系：圆心到切线的距离等于⑧ (3)性质定理 教材经典母题变式 教材母题1)切线的判定 例1（教材P98例1变式）如图，△ABC为等腰三角形，以AB为直径的⊙O交底边BC于点 P,PE⊥AC于点E.求证：PE是⊙O的切线. 258 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九上·第二十四章 例2（教材P102习题T12变式）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC 于点D,以D为圆心，DB长为半径作⊙D.求证：AC是⊙O的切线. 【方法总结】判定切线的常见辅助线作法： ①已知切，点时，连半径，证垂直； ②切点不确定时，作垂直，证半径 教材母题2)切线的性质 例3（教材P123复习题T4变式）如图，PB与⊙O相切于点B,PB=4,PA=2,求⊙0的 半径. B 【方法总结】已知切线时，常见的辅助线作法：见切点，连半径，得垂直.当求线段长时，常在直角三 角形中利用勾股定理求解 众相原创分层练·广西数学() 959 吃透教材九上·第二十四章 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆 教材知识梳理 1.切线长的概念 经过① 点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长 【温馨提示】切线和切线长的区别：切线是直线，无法测量；切线长是切线上一条线段的长，即圆外 一点与切点之间的距离，可以测量。 2.切线长定理 从圆外一点可以引圆的② 条切线，它们的切线长③ ,这一点和圆心的连线 ④ 两条切线的夹角， 【温馨提示】经过圆上一点作國圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圈外 点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段长度相等 3.三角形的内切圆和内心 与三角形⑤ 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条 ⑥ 的交点，叫做三角形的⑦ 【温馨提示】三角形的内心到三角形三条边的距离相等， 4.三角形的外接圆与内切圆对比 定义 圆心 性质 角度关系 图示 外心：三条边 三角形的外心到三角 三角形 经过三角形三 ∠BOC= ⑧ 形⑨ 的外接圆 个顶点的圆 0 ∠A 的交点 的距离相等 三角形的内心到三 三角形的 与三角形各边内心：三条① ∠BOC=90°+ 角形② 的 内切圆 都相切的圆 的交点 B 距离相等 教材经典母题变式 教材母题①切线长和切线长定理 例1如图，PA,PB是⊙0的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙0于点D E,交AB于C (1)图中的垂直关系共有 组，分别为 (2)图中与∠OAC相等的角共有 个，分别为 (3)AC与BC的数量关系为 (4)图中的全等三角形共有 组，分别为 (5)图中的等腰三角形共有 个，分别为 【方法总结】切线长定理为证明线段相等、角相等、线段垂直提供了新的方法 960 众相原创分层练·广西数学() 吃透教材九上·第二十四章 例2如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA=6.求： (1)△PCD的周长； (2)若∠P=50°，求∠C0D的度数. D B 【方法总结】见到双切线，常见的辅助线作法为：(1)分别连接圆心和切点；(2)连接两切，点；(3)连 接圆心和圆外一点 教材母题【②三角形的内切圆和内心 例3（教材PI00例2变式）如图，△ABC的内切圆分别和BC,AC,AB 2 相切于点D,E,F.若AF=2,BD=7,CE=4,则BC=,AC= 0 ,AB=· 【结论归纳】如3题图，切线长与三角形边长的关系为：AB=AF=AB+AG-BC,BD=BF= AB +BC-AC CD=CE=AC+BC-AB 2 【结论拓展】如图，设Rt△ABC的直角边为a、b,斜边为c,则Rt△ABC的内切圆的 半径r=0+b-c或r=b 2 a+b+c 例4如图，⊙0是等边三角形ABC的内切圆，若AB=4,求⊙0的半径. 【方法总结】求三角形内切圆的相关问题，一般作辅助线的方法有两种：一是连顶，点、内心产生角平 分线；二是连切点、内心产生半径及垂直条件。 众相原创分层练·广西数学() 961答:这个短的民为1第时,第药到大,路1C2(1(20'00”(3云ACAC” 图2100 例3:画出阳彬加图. -c5nBb 大10”. 71赴C:弦文是径 第?课时 利问题 AC&D·图内 内国达的对角互计,国内撞边对的相等 ###_## (3苍F文的死到[案王一 a1.25 例3A4.③ 例3.:连接1现形A是内择码过. 例2.:没要春联的拾记为:无时,整利泪为无。 24.1.2 垂直于弦的直图 -乙C-1-D-1%-100-0 (.-2-(-25)-10].-10 ①直径听在直线 ②早分 ③平分 ①直径 5直 平分 ·Aw:A乙An.CAo. 0-10000-10-35]+2250 1.D 乙.-(1r-01-50 --10c25,3寸3时大7 例2:图1356且径理的件 答,出每阻春的物径室为3元时,铅程留最大,最大 阅)料图 a4陆起 ·过A活为同的内提国形. 图?担为没有直,析口不具备。 日判是730元 4.:方一:选接D”用刻度只技点的中点,即对称 图4因为两部书是直径,所不其路 二+-10F-1-%-1r 3.(1.-10.u t0 13.C 24.2 点和圆.直线和罔的位置关系 (2)设每天获得的元。 二:”C”其完点为中8图所示: 4.--16n.0c:AA--80 ①②-③④不在-直线上 平 24.2.1 点和司的位置关系 图-30-10+80-101100-000 23.2.2 中对形 -10:-55)6250 ①一个图 ②旋转10 ③重合 ③中心对弥用那 对 在品A0由句段冠理得0-A0-A. ①平分线 ③心不 不正 ① 一件这音品的和不起过60%.1-30×100% 中经过 平分 B对中心一个 -0-v10-8-60n-0-0-1. 1.:(1选一-3c4A-4.t。v4-55 两个 B一个图形上 两个图形上 中心对 15.C 60%.哥:648. 4点在内.点C在04,点D②上 中心 一个整体 中心图 两分 ②心对称 --10cD:,-时在最大前,最大为5760 24.1.3 营.ō.阅角 17c5 点 2线 旋1如折 ② 翻折 ①心②现:概因 ,结单价定%43元时,商家陪哲该度品无铁得的利 树3.幅:(1)图.③0即为%永 删2A 大,最大%5760元 1.(1)(31(5)(6)(9)是中0过图形(2)(4)(7)) 中心阳阳 线到 等 词或图 D 幅等 第3课时 物形问题 (7)加%,0%交基平点B !题没1:(1)2)(3)(4(55)16)(8)(0)是对称1所 图1.D过I 1:8 AAc-13.-. (7)不是轴对梅图系 删2证朗:(o0 2.(1)由题料.物线是过点10.D).(12.0) 2224n例3路 :08分1. )C为答三A-:8-60 2.可以段物线的析式为,-:-32)(D)把A2 4.幅:连挂80空于点 即品-o-tc-12.0p.an ..- 一正古形A与新线况---构度了中心对称医形。 △80D和△0BE是等边三. 在△A0--1-3 .or--rr.on--ō -0.n0r-60 一.t式v.- 一△C的外圆o0的社为. .00-60。 -:0--/%50-505 0r0m-5. (2312-9-3,相对那性..-.n.-×。。 0n-zp-0. 00-1语好-..]·28 将_ 在&pr中1.25-25 例.11 .△的外丰校, 得-5减.-2().-5x7:1 24.1.4 阁圈期 -4.5三.高陵不超过4.5n的车交余过该链道. 23.2.3 关于原点对称的点的坐标 图4.A0C4没有一十内角小于或于sA560二5 第1请时 角定理具推论 ① -1.- ③-)④-1) 6.360+.38+060-180 .D ①上 ②交 ③上 ④无数 心②文 -.) 等干60 三角形角标为1期A中至少有一个内角小王或 第二十三章 旋转 111.-3)(2340.3(31(-14-1! B一 国 等 非者 直段 遍10 2.:(1)画用略(2)画图. 例5.11霞) 23.1 阐的转 (3)△4点C与△4&七吴干,称 例2AC-530-4CW100 24.2.2 直线和回的位置关率 C00.oc-乙A0C-:AW-14-10- 第1课时 封的概与性 23.3 题学习 图案设计 ① ② s ④0 第1课时 直和的位首关系 去心②转 ③点 ④相 5转 全答 ①对称 ②平 ③ 402c-10r-20 .{ 别1C2略 删(1174367(24△1 例2.幅(1数较中心是时与分计的交点 第二十四章 圈 例4:助-(2.理由加下:连AD. 图1(1)51253n5 (2)7360°4-6'6.20-120.了1度 ·A游A-即AD0 (2(概(2相 3幅1中心%点A 24.1 的有关性盾 一这:望:人是三心: (2)也0是00 例5.2.56.30霞150 24.1.1四 例3.D附415 (3)院的料&.一A品答 ②概心③半 ③点长(半是+}一个 第时 内四动形 第澜时 切线的判定和性 三短. 喝上 等子 弦 直 网 大子园 ①一回 ②调内多过 ③斗 ① ② ①确 ②考页 ③一个 ③段 直 点 一个 第时 转作图 B4干丰 B B重分 洞 主分 例1.:7c:135°2An是00的内边。 21.路 例2.略 3.B 例4.B 1证霸:画、品的中 .A-1--C-0. 1.证:连接P一A&C为等三角用段C是实 23.2 中心封称 点700. 心高-C -7A-10% 23.21 中对称 乙8--00-. 0s0P..8-00-C.0PA0 例2:阻这形ACB本照内接阻形,阻由下 ②重合 2文下这点对称 ④中心封称 -8n-0n:0CA.ACa 四5ABCD的内角2A.7B.2C2D的度数之比为 为00的是为0题 心高: 心对点 平分会等 个点回一个昌上 3:1:5.A-8.”r-”p5. 2:H点BB1AC子E 图1%r是的内提去三角 25.1.2 一ACoA 年下题 文A平C1AC ①是② 300 第二十六章 .a-第-rac是①0的 责 反比例函数 3.:连0与0于点20-0° 删1.A2不平 段0-.七0P 例3篇;(1)改均分流6分,其中1占1号. 26.1 反比例涵数 在取△0甲中,由勾空现、0+. 指针指线1是士 26.1.1 反比例函数 ?4(2.了3②0年径%3 ①--②6③%在孝学实数 第3课时 好长定三角形的内切数 (2)不会章 ·盘中在两个3.一个2.这说明小面去的概本是-士 ①外 ②调 ③等 ③ 各达相错 图7 图1 例1:(112)(4)(5(71是段比数 ②内心 直平分线 三个题 0 0角平分级 (21画间的内接茫影,在在正方影的基上,用直尺和 (3)()(8)是反比例画数,其中本的值分期为-1.5 提现分则与三方些相部也音的在段,现可正人动 面小芳去的概率是士,士”士这个游戏不会平, 第2第:(1)山题意得1-号--反说例数. 【011 如图2入达AGD是0D的内接正入边 1(1) 1P.01.1 w 5.6114 .不会铜益这个办 AIC.C (3)AC&C (4) △A△0r 24.4 强长和扇形南 0CABCAPCC5O (2由题意得.-8x.不是段比例涵数 25.2 用列琴法求概率 第1课时 长形面程 AP△15)△ADP.A0 (3)由题意程-是反比何数 △80.:800 签2段③ 第1课时 用列表法图率 1_1 1PAPo于Ac祝0干. (4)由-24.则y48是比数 1.1I【1]1712]8.5 ①限个 ②大小等 是 ④个 ·P-P-6.EB-BD CE-ACPCD长P 1.0删21 第3.第:(1)设--0.因%-3-4 限.C+0-Pt-17 1第:连0对0第题得0=%10C一点6 Cr-9950-09-0.6-0 3(ari. (2这0如由切线的 r以-得.-12 1耳0. 料011.001陪01cD. 3.:满次换取的小球的际号之为5的概来是1 6品80-08208-300 -0C-0C-:0- 因此,是平,的数解析式为,.-12 0pp-90+:P-10 【同】 oo-B. (2)y--2---2. 1:A0-1-:P-10. 70-0-30. 第?课过 用状图法求概率 由铅线长过得:乙A0EoC50D-乙B0D. ①健 到4一函数,(1-2是反例数 2A0-18-0-30-120 2 00-0-:10-5 树1.(1)从右里任出一个小球,上面的数字拾好是”3”的 -3-1.B$-0.叫- 由程,ar-or-or-v-0y m). 3.116) 26.1.2 反比例涵数的图象和性质 .-1题.3100.上有本部的面-× 4.解:解到,没C0分与A8C标铅干点V选共0 第1课时 段比引到数的和性睛 (21两次记的数字之和为3的概来为子 oC.0.ov. ①一三②二 ③ ④大 ① 8r 1 0i0viA-0v80平AB 2 u . n. 例1.幅:1略 第?课时 的侧积和析 (21到扑克牌的花品拾好是1张”红晚”1'方块”的 (2)涵数的图分位平等一,三胆 理c0408乙00--AC ① ②形 3线①面固长视② 。 例2B【式1】-1【交式2】 (3)在喝个象限内,画数负·随自变坠;的增火面减小 一选AC达三2故A-4. ② 高 长①积 84 3.:(1)数y-(w-21”是段比同涵数。 1723A 1ABC--ACB-. 1 -20n00-0:0. 第二十五章 概率初步 25.3 用幅估计概 01B--B-20 ①大复 ② ③{ 25.1 陆机事作与概 (2)由(1)知-2.反比例数的式为,-. 年为0.0-20-2- (1.C 25.1.1 随事件 例2:110.1(2)1 It]-34.A 图略 -Rror-o(2r-点 ①必然 ②不会爱生③可发生可不复生 (3语子交定价%,元 例1(答一) 题1000(1-.1-1000×18=5400.-6. 第2时 反比图象和性的境合运用 (1)中装有红球2个、直球3个,附”指出三个球群是红球”是 等:在色指措琴(击掉报域的相1时,高子立定价大构号 书。 2.6元比投合活 24.3 正多边形和 例上解:设没比的涵数的析式为,--(1-{). (2孙)盒中装有红球8个,背球2个则”模出红球”是必然事件; 删3.口) ①相等 ②相等 凉相等 ①内正多边 (巧接 (3)这中行个球?个,附”现同个高球”是陪件。 2-3是反比幅y-(0)图上一点. 心②径概心-211了相 (41盒中装有红球个、苟球上个,则”模出齿个英球”是不 习这种说法是乱的理由,在60次试验中,“4加下”的析 可料,属干确定事料. 是,并不说呢”&下”的概来为一,有当验的 .2-31人反比数,--(-0)初上- 1.4421252.31.5 2.第:8共有25来卡片,属于元吾字母的有9个,不属干元音 4.第(1)先些②0的内接正六,在正六达形的基础 次数大时,件发生的来本会稳定在位的事性发生的 给有36个,上的字是是”十”的有2个,所以可能性 -3)--6该段比例语数的解析式为. 止.选不邻的三个点,顺次摇,可正三角,效 大的列为(3Y(1)(2) 2(1将A-3.11.C-1.0v- 参答案