空间向量和立体几何专题十四 讲义-2024届高三数学二轮复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题十四 知识点一 证明线面平行,面面角的向量求法 典例1、如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点. （1）记平面与平面的交线为，求证：直线平面； （2）若，点是的中点，求二面角的正弦值. 随堂练习：如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且，，，M，N， P，D分别为，BC，，的中点. （1）求证：面； （2）求平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值. 典例2、如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，． （1）求证：平面，且平面． （2）已知，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 典例3、如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 随堂练习：如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 知识点二 证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,线面角的向量求法 典例4、如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是 的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 随堂练习：如图，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点． （1）求证：； （2）设直线PC与平面PAB所成的角为，求． 典例5、在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为的中点，点P在平面内的投影F恰好在直线上． （1）证明：． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 随堂练习：如图，在中，，，为的中点，，.现将 沿翻折至，得四棱锥. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正切值 典例6、如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，，，是等边三角形，且. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，且，，，点在上． （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值． 空间向量和立体几何高考复习专题十四答案 典例1、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）因为分别是的中点 所以， 又因为平面，平面 所以平面 又平面，平面与平面的交线为， 所以， 而平面，平面， 所以平面 （2）如图，因为是圆的直径，点是的中点， 所以， 因为直线平面 所以 所以以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，则 ，， 所以， 设平面的法向量，则，即 令，则 得 因为直线平面 所以为平面的法向量 所以 所以二面角的正弦值为 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）解法一： 以点A为坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 取向量为平面的一个法向量，， ∴， ∴. 又∵平面， ∴平面. 解法二： ∵P，D分别为，的中点， ∴，且平面，平面， ∴平面， ∵D，N分别为，BC的中点， ∴，且平面，平面， ∴平面，又， ∴平面平面， 又∵平面PDN， ∴平面. 以点A为坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. ∴，, 取向量为平面的一个法向量， 设平面PMN的法向量为，则，即， 令，则，，则， ∴， 由图示可知平面PMN与平面的夹角为锐角， ∴平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值为. 典例2、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：分别取的中点，连接， 设，则， ， 又平面平面，平面平面平面， 平面， 同理可证平面，， 又因为，所以四边形是平行四边形，， 又平面平面，平面； （2）如图，取的中点为，则， 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为， 则， 令，得平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）平面，平面，， 又，，平面，平面； 为等边三角形，，又，， 平面，平面，平面. 平面，平面，； （2）以为坐标原点，为轴正方向，作轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，令，则，，； 设平面的法向量， 则，令，则，，； ， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 典例3、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：因为四边形为菱形，则， 平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， ，所以，平面平面， 因为平面，平面. （2）取的中点，连接、， 因为四边形为菱形，则， 因为，则为等边三角形， 因为为的中点，则，同理可得， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设平面的向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为，则. 因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 随堂练习：答案： （1）见解析；（2）. 解:（1）连接， ，分别为，中点 为的中位线 且 又为中点，且 且 四边形为平行四边形 ，又平面，平面 平面 （2）设， 由直四棱柱性质可知：平面 四边形为菱形 则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则：，，，D（0，-1,0） 取中点，连接，则 四边形为菱形且 为等边三角形 又平面，平面 平面，即平面 为平面的一个法向量，且 设平面的法向量，又， ，令，则， 二面角的正弦值为： 典例4、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）如图，连接， ∵四边形是正方形，∴. 又平面，平面，∴， ∵平面，， ∴平面， 又平面， ∴ （2）易知，，两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，∴，，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，得.设直线与平面所成角为，由图可知， 则 即直线与平面所成角的正弦值为. 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：由题意知：， ∴PO⊥平面AOB， 又∵平面AOB，所以PO⊥AB． 又点C为的中点，所以OC⊥AB， ， 所以AB⊥平面POC， 又∵平面POC，所以PC⊥AB． （2）以O为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，， 所以，，． 设平面PAB的法向量为，则取，则 可得平面PAB的一个法向量为， 所以． 典例5、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）因为，，E为的中点，所以， 所以四边形为长方形，， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以平面， 平面，所以． （2）连接，由（1）平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，即，，， 所以，即， 过做交于，分别以所在的直线为轴的正方向 建立空间直角坐标系，，，，，，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则， 所以， 设直线PB与平面PAD所成角的为，所以 ， 所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为． 随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）7 解:（1）设为的中点，为的中点，，则， 故，则， 又，则， 所以是的角平分线，且三点共线. 由，且,得面，则； （2）法一：连结. 由平面得，平面平面，交线为， 所以在面上的射影点在上， 为直线与平面所成角. 在中，，由余弦定理得， ，故，， 又，在得，由余弦定理得，则， 所以， 由（1）得为角平分线， 在中，，由余弦定理得，则， 所以，所以直线与平面所成角的正切值为7. 法二：如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系. ， 设，由， 得， 得., 平面法向量为，设直线与平面所成角为，所以 ，,则， 所以直线与平面所成角的正切值为7. 典例6、答案：（1）证明见解析；（2）. 解:（1）取中点，连接，，，所以， 由余弦定理得：，得， ，又，且，则平面， 故，又，所以平面， 则，由等边三角形得，且， 则平面，故， 又，因此. （2）连接，过点作平面于点，连接，， 由平面得平面平面，则点在平面内的射影位于直线上， 由等边三角形得点在平面内的射影位于的中垂线上， 因此，由几何关系可确定点在平面内的射影位于的重心， 又由（1）知平面，平面，则，，，，五点共面， 如图，以点为原点，以射线，为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系Gxyz， 不妨设，则，，， 在和中，由余弦定理得，， 则， 解得， 因此，，， 设平面的法向量， 由得，取， 设直线与平面所成角为，则 ， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2） 解:（1）取的中点，连结，则， 所以四边形为平行四边形，， 又，， 又平面，平面， 且，平面，平面 又平面， （2）以为坐标原点，分别所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，易得， 设平面的法向量为，， 则，令则． 又平面的法向量为， 由题知，解得， 即， 而是平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则． 故直线与平面所成的角的正弦值为． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$