空间向量和立体几何专题十三 讲义-2024届高三数学二轮复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题十三 知识点一 多面体与球体内切外接问题,由导数求函数的最值（不含参）,棱锥表面积的有关计算 典例1、在高为、底面半径为的圆锥内作一内接圆柱体．则圆柱体的半径为多大时： （1）圆柱体的体积最大？ （2）圆柱体的表面积最大？ 随堂练习：如图，圆形纸片的圆心为，半径为5，该纸片上的正方形的中心为，，，， 为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合，得到四棱锥，设． （1）试把四棱锥的体积表示为的函数； （2）多大时，四棱锥的体积最大？ 典例2、如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面. （1）证明：平面； （2）若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时与所成角的正切值. 随堂练习：如图，已知是以的直角三角形铁皮，米，分别是边上不与端点重合的动点，且.现将铁皮沿折起至的位置，使得平面平面，连接，如图所示.现要制作一个四棱锥的封闭容器，其中铁皮和直角梯形铁皮分别是这个封闭容器的一个侧面和底面，其他三个侧面用相同材料的铁皮无缝焊接密封而成（假设制作过程中不浪费材料，且铁皮厚度忽略不计）． （1）若为边的中点，求制作三个新增侧面的铁皮面积是多少平方米？ （2）求这个封闭容器的最大体积． 典例3、蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）． （1）求蜂房曲顶空间的弯曲度； （2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值． 随堂练习：双层的温室大棚具有很好的保温效果，某农业合作公司欲制作这样的大棚用于蔬菜的种植， 如图（1）所示，工人师傅在地面上画出一个圆，然后用钢丝网编织出一个网状空心球的上部分钢结 构，使得地面上的圆为空心球的一个截面圆，同时在其外部用塑料薄膜覆盖起来作外部保温.如图（1） 所示，用塑料薄膜覆盖起来的内部保温层钢结构为一个圆柱面，制作方法如下：工人师傅将圆柱 面的下底面圆置于球O在地面上的截面圆内（可与截面圆重合），把下底面的圆心固定在球 O在地面上截面圆的圆心位置上，圆柱面的上底面圆的圆周固定在球的内壁上，已知球O的半 径为3．如图（2），取圆柱的轴截面为矩形PQRS，． （1）设为圆上任意一点，RO与底面所成的角为，将圆柱体积V表示为的函数并判断的范围； （2）求V的最大值． 知识点二 证明线面平行,面面角的向量求法 典例4、如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F分别为，的中点． （1）证明：面ABCD； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 随堂练习：已知将圆柱沿着轴截面分割，得到如图所示的几何体，若四边形是边长为2的正方形，E，F分别是上的点，H是的中点，与交于点O，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 典例5、四棱雉 中， 平面， 底面 是 等腰梯形， 且， 点 在棱 上. （1）当 是棱 的中点时， 求证: 平面; （2）当直线 与平面 所成角 最大时， 求二面角 的大小. 随堂练习：在如图所示的圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，、、 都是圆柱的母线． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 典例6、如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，，M，N分别是对角线BD，AE上异于端点的动点，且． （1）求证：直线平面CDE； （2）当MN的长最小时，求二面角A-MN-D的正弦值． 随堂练习：如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，， （1）证明：平面ABD； （2）若，求二面角的余弦值． 空间向量和立体几何高考复习专题十三答案 典例1、答案】：（1）；（2）. 解:（1）当圆柱的底面半径为时，设圆柱体的高为， 可得，所以， 圆柱的体积 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以圆柱的最大体积为. （2）由（1）可得：圆柱体的表面积 则， ①当时，，所以在上是增函数，所以函数 没有最大值； ②当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以当时，取得最大值． 随堂练习：答案： （1）；（2）． 解：（1）连接，交于点， ，， 四棱锥的高， ∴． （2）， 令，， ， 令得， 当时，，在上递增， 当时，，在上递减， ∴当且仅当时，有最大值，． 典例2、答案： （1）证明见解析 （2）6 解：（1）过点作交与点， 平面平面，且两平面的交线为 平面 又平面 又且 平面 （2）过点作交与点,连接 平面平面，且两平面的交线为 平面 又平面 到平面的距离相等 且，平面 又， 令 则，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 即，当且仅当时取得最大值. 如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设与所成角为，则，则， 即当几何体体积最大时，与所成角的正切值为6. 随堂练习：答案：（1） （2） 解:（1）由于，且，则，即， 又平面平面，且平面平面，所以平面， 易得，又为边的中点， 则米，米， 于是得米，米，米， 取的中点为，则，且米， 则（平方米），（平方米）， （平方米）， 故制作三个新增侧面的铁皮面积是平方米． （2）依题意，设米，则米，且． 由，知与相似，则，得米． 由（1）知，底面， 则四棱锥的体积（）， 则， 易知在上单调递增，在上单调递减，则立方米． 故这个封闭容器的最大体积是立方米． 典例3、答案： （1）；（2）； 解:（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，根据定义其度量值等于 减去三个菱形的内角和，再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和， 即蜂房曲顶空间的弯曲度为. （2）设底面正六边形的边长为1， 如图所示，连接AC，SH，则， 设点在上底面ABCDEF的射影为O，则, 令，则， 菱形SAHC的面积， 的面积为， 令正六棱柱的侧面积为定值时， 蜂房的表面积为， ，令得到， 经研究函数的单调性， 得到函数在处取得极小值， 此时， 在中，令， 由余弦定理得, 顶点的曲率为， 其余弦值为. 随堂练习：答案： （1）， （2） 解：（1）由题意，，， 所以， 即， （2）当P、Q点落在球面被地面所截得的圆周上时，RO与地面所成的角取得最小值为， 此时，所以，所以； 因为，所以令， ， 所以，因为， 所以， 所以在时单调递减， 所以时，． 典例4、答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）证明：取的中点G，连接EG，FG，AC， 因为，平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD， 因为，，所以四边形AGFC是平行四边形， ，又平面ABCD，平面ABCD， 所以平面ABCD， 因为，平面, 所以平面平面ABCD， 因为平面ABCD，所以平面ABCD． （2）设， 由，得，且， 由题意知CA，CB，两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 由得，取，得， 连接BD，因为，，，所以平面， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）证明：由题意知，又，所以H为的中点． 连接，因为为的中点，所以． 又平面, 平面, 所以平面； 易知，又平面, 平面, 所以平面 又平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． （2）连接，由题意知平面，故以F为坐标原点， 以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意知， 所以． 设平面的法向量为． 则即，得，令，则，所以． 设平面的法向量为， 则，即，得，令，则，所以． 故． 所以平面与平面所成角的余弦值． 典例5、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）取中点， 的中点为， ，且， ∴四边形是平行四边形， ，平面， 平面； （2）等腰梯形中，， 作于，则中， 由余弦定理得，，，即， 底面，则两两垂直 如图，以为原点，为轴、轴、轴为正方向建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面法向量，则 ∴平面的一个法向量， 设，则， ， ，∴当时，取得最大值， ， 设平面法向量，则 ∴平面的一个法向量， 设平面法向量，则， ∴平面的一个法向量， ， ∴二面角的大小为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：连接、， 在圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点， 则，且， 故、、均为等边三角形， 所以，在底面中，，则， 平面，平面，所以，平面， 因为、、都是圆柱的母线，则， 平面，平面，平面， ，所以，平面平面， 因为平面，因此，平面. （2）连接，因为是边长为的等边三角形，则， 因为，由余弦定理可得， ，， 因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为，所以，， 由图可知，二面角为锐角，因此，二面角的余弦值为. 典例6、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）过N作与ED交于点，过M作与CD交于点，连接． 由已知条件，可知矩形ABCD与矩形ADEF全等． ∵，， ∴ ∴ 又，则四边形为平行四边形， 所以． ∵平面CDE，平面CDE， ∴平面CDE． （2）由平面ABCD⊥平面ADEF，平面平面， 又平面ADEF，AF⊥AD， ∴AF⊥平面ABCD． 以A为原点，分别以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 过M点作MG⊥AD，垂足为G，连接NG，易知NG⊥AD，设 可得，， ∴， 可知当时，MN长最小值为． 此时，， 又，， ∴，， 设平面AMN的法向量为， 由可得， 令，可得 设平面MND的法向量为， 由可得， 令，可得 ∴， ∴ 则二面角A-MN-D的正弦值为． 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）证明：过D作，垂足为G， ∵平面平面ABC，平面平面，平面DEF， ∴平面ABC，∵平面ABC，∴， ∵E是等腰直角三角形ADC斜边AC的中点， ∴，又，DE，平面DEF， ∴平面DEF，∵平面DEF，∴， ∵，∴， ∵平面ABD，平面ABD，∴平面ABD． （2）由题意可知，在等腰直角三角形ADC中， ∵，∴， 由（1）可知，EF为直角三角形BAC的中位线， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，． 以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面CDF的法向量， 则，，，，， 由得，令，则， 显然，平面ABC的法向量，． 二面角的余弦值． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$