空间向量和立体几何专题十二 讲义-2024届高三数学二轮复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题十二 知识点一 证明线面平行,面面角的向量求法 典例1、在三棱锥中，，，，分别为，的中点，，，分别为，，的中点，平面，与平面所成的角为． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 随堂练习：在正方体中，E，F分别是，的中点． （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面EDC所成的二面角的正弦值． 典例2、如图1，已知△ABC是边长为4的正三角形，D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，将△ADE沿DE折起，使点A到达如图2所示的点P的位置，M为DP边的中点． （1）证明：平面MEF． （2）若平面平面BCED，求平面MEF与平面PDE所成锐二面角的余弦值． 随堂练习：如图，在四棱锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点． （1）求证：平面ABE； （2）当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值． 典例3、如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，沿DE把 折起，得到如图2所示的四棱锥. （1）证明：平面. （2）若二面角的大小为60°，求平面与平面的夹角的大小. 随堂练习：已知正方形的边长为4，E、F分别为AD、BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上． （1）若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线平面EMC； （2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由． 知识点二 线面垂直证明线线垂直,面面垂直证线面垂直,面面角的向量求法 典例4、已知矩形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 随堂练习：如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AC = CD = 2，，，PC = 3. （1）证:AD⊥PC （2）求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值. 典例5、如图1是直角梯形ABCD，，，，，，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图 （1）证明： （2）求二面角余弦值. 随堂练习：如图，在直三棱柱，，． （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 典例6、四棱锥，底面为矩形，侧面底面，． （1）证明：； （2）设与平面所成的角为，求二面角的大小． 随堂练习：如图，直三棱柱中，，E，F分别是AB，的中点． （1）证明：EF⊥BC； （2）若，直线EF与平面ABC所成的角为，求平面与平面FEC夹角的余弦值． 空间向量和立体几何高考复习专题十二答案 典例1、答案：（1）证明见解析； （2）. 解：（1）连结． ∵，分别为，的中点， ∴，即四边形是梯形， ∵，为分别为，的中点， ∴，而平面，平面 ∴平面， ∵、为分别为 、的中点， ∴，而平面，平面 ∴平面，又，平面，平面， ∴平面平面，平面， ∴平面； （2）∵，为的中点， ∴， ∵平面，故，，两两垂直． 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 不妨设，由得，， ∵与平面所成的角为，而平面， ∴，∴， ∴，，， 易知为平面的法向量， ，， 设为平面的法向量， ∴， 令，则为平面的一个法向量， ∴， ∴平角与平面的夹角的余弦值为. 随堂练习：答案：（1）见解析； （2）. 解：（1）如图，连接，，连接， ∵BC∥且BC＝，∴四边形是平行四边形， ∴∥且， ∵E是中点，G是中点，∴∥CG且， ∴四边形是平行四边形，∴∥CE， ∵平面，CE平面，∴CE∥平面； （2）如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取； 设平面EDC的法向量为， 则， 取，则； 设平面与平面EDC所成的二面角的平面角为α， 则， ∴ 典例2、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：连接DF，DC，设DC与EF交于点，连接MQ． 因为D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，所以且， 则四边形DFCE为平行四边形，所以为DC的中点， 因为为DP的中点，所以， 又因为平面，平面MEF，所以平面MEF （2）取DE的中点，连接OP，OF，则， 因为平面平面BCED，平面平面， 所以平面BCED，PO，OD，OF两两垂直． 如图所示，以为原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，． 设平面MEF的法向量为，则， 即令，得． 易知为平面PDE的一个法向量，由， 得平面MEF与平面PDE所成锐二面角的余弦值为． 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF， 因为M，F分别为ED和EC的中点，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）如图所示，过E作交AB于O， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面ABCD，故EO为四棱锥E-ABCD的高， 要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧的中点，所以O与AB的中点， 取CD的中点G，连接OG，因为，，所以， 因为平面ABCD，所以，，所以EO，AB，OG两两垂直， 以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系， 设，所以， 可得，，，则，， 设平面的一个法向量，则，可得， 令，则平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为，则， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二成角的余弦值为． 典例3、答案：（1）证明见解析； （2）. 解：（1）在中，因为E，F分别是AC，BC的中点，所以， 则在图2中，，而平面，平面， 所以平面. （2）依题意，是正三角形，四边形是菱形，取DE的中点M，连接，FM，如图， 则，，即是二面角的平面角，， 取中点N，连接，则有，在中， 由余弦定理得：， 于是有，，即， 而，，，平面，则平面， 又平面，从而有平面平面， 因平面平面，平面， 因此，平面，过点N作，则两两垂直， 以点N为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 显然有，即， 所以平面与平面的夹角为. 随堂练习：答案： （1）点O在EA的延长线上，且，证明见解析； （2）存在，. 解：（1）依题意，四边形是矩形，点M为AB的中点，如图1，延长FM与EA的延长线交于点O， 又平面ADE，即有平面ADE，因，且， 因此点A为线段EO中点，即AO=2，M为线段FO的中点， 连接DF交CE于N，连接MN，矩形CDEF中，N是线段DF中点， 于是得，而平面，平面， 所以平面. （2）依题意，，，，平面，平面， 则平面，且为二面角的平面角，即. 连接，而， 即有为正三角形，取的中点H，连接DH，则， 由平面，平面，得平面平面， 又平面，平面平面，于是得平面， 取BF中点G，连接HG，由矩形得，即有两两垂直， 以点H为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图2， 则点，，. 假设存在点M满足条件，因点M在线段AB上，设，， ，，. 设平面的一个法向量，则， 令，得， 因直线DE与平面EMC所成的角为60°， 则，解得或， 即存在点满足直线DE与平面EMC所成的角为60°， 点为线段AB的靠近点A或B的四等分点. 设平面的一个法向量，则， 令，得， 则. 令平面MEC与平面ECF的夹角为， 则， 显然或时，. 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 典例4、答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）如图，在上取一点H，使得 ，连接, 因为 ，所以,平面,平面, 故平面， 因为 , ，再由条件知，所以是平行四边形， 所以 ，平面,平面,故平面， 又平面 ， 所以平面平面. 由条件可知 ， 又因为平面平面 ，交线为 ，平面, 所以平面，所以平面，平面, 所以. （2）由（1）知平面，而，故平面， 故分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， 则 , 设平面的法向量为 ， 则 ， 令 ，得 ， 平面的一个法向量为 ， 设平面与平面 的夹角为 ， 则 . 随堂练习：答案： （1）证明详见解析 （2） 解：（1）设是的中点，连接. 由于，所以， 由于平面平面且交线为， 平面，所以平面， 由于平面，所以，则， 所以， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以. （2）在三角形中，延长，过作，交的延长线于， 由于，所以， ，所以， ，则， 所以. 平面平面且交线为，， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则平面的法向量可设为， ， ， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设平面和平面的夹角为， 则，所以. 典例5、答案：（1）证明见解析 （2）或 解：（1）在直角梯形ABCD中，连接AC交BE于F， 由题意知：且，四边形CEAB是平行四边形， 又 ，，四边形CEAB是菱形 故，即在折叠后端的图形中，又 ，面 面，又平面， （2）由 可得，又 设二面角的平面角为，则，或 过作于则面 ，则可过点作轴 如图建系：或， 设面的一个法向量为，则 则 或取 而面ABD的一个法向量为 或 由图可知二面角为锐角 则二面角余弦值为或. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）连接，如下图： 由直三棱柱的性质可知，， 因为，， 所以平面． 因为平面，所以， 因为，则四边形为正方形， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以． （2）由（1）得平面，从而点到平面的距离为， 故，即. 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系: 则，，，， 设平面的法向量为，， 则， 令，则，即， 设平面的法向量为，，， 则， 令，则，，即， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 典例6、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）取中点，连接，由，故， 而平面平面，平面平面，平面， 平面，而平面，， 而，故，故， 而平面，平面，，平面， 又平面，， （2）如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，设， 则，，， 设平面的一个法向量为，则，令得， 而与平面所成的角为，故， 解得， 而，，，， 设平面的一个法向量为，则，令得， 同理得平面的一个法向量为 则， 而二面角为钝角，故二面角大小为 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）取BC中点H，分别连结EH，FH，因为F为的中点，所以， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面ABC，所以FH⊥平面ABC， 由平面ABC，所以FH⊥BC， 又E为AB的中点，则，且，所以， 因为EH，平面EFH，， 所以BC⊥平面EFH，因为平面EFH，所以． （2）由（1）知∠FEH为EF与平面ABC所成的角，所以，由，得． 如图，以CA，CB，分别为x轴，y轴，z轴正向，建立空间直角坐标系． 则，，，，，，，， ，，， 设平面CEF的一个法向量为， 由得，取， 平面的法向量为， 由得，取， 设平面CEF与平面的夹角为，则． 所以平面CEF与平面夹角的余弦值为. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$