空间向量和立体几何专题十一 讲义-2024届高三数学二轮复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题十一 知识点一 求点面距离,线面角的向量求法,点到平面距离的向量求法 典例1、如图,在直三棱柱中,E,F,G分别为线段及的中点,P为线段上的点,,三棱柱的体积为240. (1)求点F到平面的距离; (2)试确定动点P的位置,使直线与平面所成角的正弦值最大. 随堂练习:如图,在直三棱柱中,,分别是,的中点,已知,. (1)证明:平面; (2)求与平面所成角的正弦值; (3)求到平面的距离. 典例2、如图,在三棱柱 中,平面 平面 ,是矩形,已知 ,动点 在棱 上,点 在棱 上,且 . (1)求证: ; (2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的值; (3)在满足(2)的条件下,求点到平面的距离. 随堂练习:如图所示的几何体中,四边形为矩形,平面,, 点为棱的中点. (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值; (3)求点到平面的距离. 典例3、已知是锐角三角形,分别以为直径作三个球.这三个球交于一点. (1)若,求到平面的距离; (2)记直线与平面的夹角为,直线与平面的夹角为,直线与平面的夹角为,证明:为定值. 随堂练习:如图所示,在三棱柱中,,,,平面 平面,点是线段的中点. (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)若点在线段上,且平面,求点到平面的距离. 知识点二 证明线面垂直,求点面距离,证明面面垂直 典例4、如图,四棱锥的底面是梯形,为延长线上一点,平面是中点. (1)证明:; (2)若,三棱锥的体积为,求点到平面的距离. 随堂练习:边长为1的正方形中,点M,N分别是DC,BC的中点,现将,分别沿AN,AM折起,使得B,D两点重合于点P,连接PC,得到四棱锥. (1)证明:平面平面; (2)求四棱锥的体积. 典例5、如图,在四棱锥中,已知棱两两垂直且长度分别1,1,2,,. (1)若中点为,证明:平面; (2)求点到平面的距离. 随堂练习:在边长为2的正方形外作等边(如图1),将沿折起到的位置,使得(如图2). (1)求证:平面平面; (2)若F,M分别为线段的中点,求点P到平面的距离. 典例6、如图,在四棱锥中,底面ABCD,梯形ABCD中,,,E是PD的中点. (1)求证:平面平面PBC; (2)若,求P到平面AEC的距离. 随堂练习:如图,D,O是圆柱底面的圆心,是底面圆的内接正三角形,为圆柱的一条母线, P为的中点,Q为的中点, (1)若,证明:平面; (2)设,圆柱的侧面积为,求点B到平面的距离. 空间向量和立体几何高考复习专题十一答案 典例1、答案:(1) (2)P为中点 解:(1)在中,,为的中点,,即, 由直三棱柱的体积,则=240 解得, 以为原点,并分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系, 则,,,,, 由为的中点,则,由为的中点,则, 在平面中,取,,设该平面的法向量为, 则,即,令,则, 故平面的一个法向量为, 取,由点面距公式,可得到平面的距离. (2)由(1)可知:,,,,, 由,平面,则设,, 设,即,, 在平面内,取,,设其法向量, 则,即,令,则, 故平面的一个法向量,取, 设直线与平面所成角为,则, 则 当时,P与B重合, 当时,, 令, 当时,即,P为中点时, 随堂练习:答案: (1)证明见解析 (2) (3) 解:(1)证明:连接,,连接, 在直三棱柱中为矩形,则为的中点,又为的中点,所以, 平面,平面. 平面. (2),,,,. 由直三棱柱中,底面,底面,,. 以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系, 则,,,, 所以,,, 设平面的法向量为,则,令,则,, 所以, 设与平面所成的角为,则, 所以与平面所成角的正弦值为; (3)设到平面的距离为,则; 典例2、答案:(1)证明见解析; (2); (3)点到平面的距离为. 解:(1)因为四边形是矩形,所以, 又,,平面, 所以平面,又平面,所以, (2)因为平面平面 ,平面平面, 平面,, 所以平面,又, 所以两两相互垂直, 以为原点,,,为,,轴的正方向建立空间直角坐标系, 则,,,, 设,则, 所以,, 设平面的法向量为,, 则,, 取,可得, 设直线 与平面的夹角为, 则, 所以, 化简可得,又, 所以,所以; (3)由(2) 平面的法向量为,,又, 设点到平面的距离为, 则. 所以点到平面的距离为. 随堂练习:答案:(1)证明见解析 (2) (3)1 解:(1)连接BD,交AC于点O, 又P,O分别为DF和DB的中点, 所以BF//PO, 因为PO⊂平面APC,BF⊄平面APC, 所以BF//平面APC; (2)直线AF⊥平面,AB⊂平面ABCD, 所以AF⊥AB, 由(1)得AD⊥AF,AD⊥AB, 所以以A为原点,AB,AD,AF所在直线为x,y,z轴, 建立空间直角坐标系, , 所以,,, 设平面BCF的法向量,则 , 令,则 设直线DE与平面BCF所成角的正弦值 ,所以 , 所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值; (3)由(2), 设平面APC的法向量为,则, 令,则 所以平面APC的法向量, 则点E到平面APC的距离, 所以E到平面APC的距离1. 典例3、答案:(1); (2)证明见解析. 解:(1)依题意得,故可以为轴,为轴, 为轴建立空间直角坐标系. 而,故,故,则, 设平面的法向量为 则,故, 设到平面的距离为d,则. (2)按(1)方式建系,设, 则,故, 设平面的法向量为, 同(1)可得:, ,, 故 故为定值. 随堂练习:答案: (1)证明见解析 (2) (3) 解:(1)取线段的中点,连结, 因为平面平面,,所以平面,所以平面, 因为,,所以是正三角形, 又点是线段的中点,所以.可以建立以为原点, 分别以,,的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系(如图), 可得,,,,,,,, 证明:,,设为平面的法向量, 则,即, 不妨令,可得, 又,故, 因此平面. (2)依意,,由(I)知为平面的法向量. 因此, 所以直线与平面所成角的正弦值为. (3)依题意,设,, 所以,因此 , 设为平面的法向量, 则,即, 不妨令,可得, ,因为平面,所以,解得, 所以, 设点到平面的距离为,, 则, 所以点到平面的距离为. 典例4、答案:(1)证明见解析 (2) 解:(1)连接, 平面平面,同理,,, . 又平面,平面. 平面. 取的中点,连接为的中点, ,. , , 为的中点, . 又平面,平面. 平面. (2). ,且四边形为矩形,即, 又由(1),平面,, 平面. ∴. 连接,中,中. 为中点,点到平面的距离中, . 由(1)知面, 在中,, 中, ∴, . 设点到平面的距离为,则即, 解得.所以点到平面的距离为. 随堂练习:答案: (1)证明见解析 (2) 解:(1)证明:在正方形中有,,, ,又因为,所以平面,而平面, 所以平面平面. (2)连接MN,由题意可得,, ,由,所以为直角三角形,即, , 设点到平面的距离为,由得, ,即,得, 即四棱锥的体积为 典例5、答案:(1)证明见解析 (2) 解:(1)证明:取中点为,连接,如图所示: 分别为中点, ,且, ,, , 故四边形为平行四边形, 故, 不含于平面,平面, 故平面; (2)连接,两两垂直且长度分别为1,1,2, 且,, , 将底面拿出考虑如下: ,,, , , , 记到平面的距离为, 则, 解得:, 故到平面的距离为. 随堂练习:答案:(1)证明见解析 (2) 解:(1)由于,所以, 由于四边形是正方形,所以, 由于平面,所以平面, 由于平面, 所以平面平面. (2)连接,由于三角形是等边三角形,所以, 由于平面平面且交线为,平面, 所以平面. 由于是的中点,所以到平面的距离是, 且到平面的距离等于到平面的距离,设这个距离为. 由于平面,所以, 所以,, 在三角形中,由余弦定理得, 所以,, 在三角形中,, 则为锐角,, 所以, , 由得, 解得, 所以点P到平面的距离为. 典例6、答案: (1)证明见解析 (2) 解:(1)∵PC⊥平面ABCD,平面ABCD,∴. 取AB的中点M,连接CM, ∵,,∴,, ∴四边形ADCM为平行四边形. ∵,∴为菱形,∴. ∵,∴四边形BMDC为平行四边形, ∴, ∴.又有,平面PBC, ∴AC⊥平面PBC.平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC. (2)∵,,,∴, 又有,,,∴. ,E为PD的中点,, ∴在中,. 由, 得, 求得. 在中,,则,∴的面积. 设P到平面AEC的距离为d,又,解得. 随堂练习:答案: (1)证明见解析 (2) 解:(1)∵D,O为圆柱底面的圆心, ∴平面. 而为圆柱的一条母线, ∴. 又∵P为的中点,Q为的中点, ∴, ∴四边形为平行四边形, ∴. 又∵P在上,而平面, ∴O为P在内的投影, 且是圆内接正三角形. ∴三棱锥为正三棱锥. ∴, ∴, 即. ∵,平面. ∴平面, ∵, ∴平面. (2)设点B到面的距离为h,设圆柱底面半径为r, 由母线及圆柱的侧面积为, 得,解得, 则. 在中,, 则, , 又, 且, ∴,解得. 故点B到平面的距离为. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网(北京)股份有限公司 $$