空间向量和立体几何专题八 讲义-2024届高三数学二轮复习

高中数学 空间向量和立体几何高考复习专题八 知识点一 证明线面垂直,求线面角,面面垂直证线面垂直,线面角的向量求法 典例1、已知，如图四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，平面ABCD， E，M分别是BC，PD中点，点F是棱PC上的动点． （1）证明：平面PAD； （2）请确定F点的位置，使得直线AF与平面PCD所成的角取最大值． 随堂练习：已知正方体和平面，直线平面，直线平面. （1）证明：平面平面； （2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值. 典例2、如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点． （1）若平面，求； （2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？ 随堂练习：如图，在三棱柱中，底面，D为的中点，点P为棱上的动点（不包括端点），，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 典例3、在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，， ，为棱上的点，且． （1）求证：平面； （2）若二面角的平面角的正切值为，求的长； （3）在（2）的条件下，若为线段上一点，求与面所成角为，求的最大值． 随堂练习：如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，. （1）证明：平面； （2）若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 知识点一 锥体体积的有关计算,证明面面垂直 典例4、边长为1的正方形中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN， AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥. （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥的体积. 随堂练习：如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，． （1）证明：平面PCD⊥平面PBC； （2）若，求三棱锥的体积． 典例5、如图，在三棱柱中，，，，点D，E，F分别为线段BC，，的中点，且. （1）证明：平面平面ABC； （2）若，求三棱锥的体积. 随堂练习：如图，三棱柱中，侧面为矩形，是边长为2的菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）若，求三棱柱的体积． 典例6、如图，已知在四棱锥中，，，，， E，F分别为棱PB，PA的中点． （1）求证：平面平面EFDC； （2）若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥的体积． 随堂练习：如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，， ，是的中点. （1）求证：平面平面； （2）点在棱上，满足且三棱锥的体积为，求的值. 空间向量和立体几何高考复习专题八答案 典例1、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）证明：在正方形中有，，， ，又因为，所以平面，而平面， 所以平面平面. （2）连接MN,由题意可得，， ，由，所以为直角三角形，即， ， 设点到平面的距离为，由得， ，即，得， 即四棱锥的体积为 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）连接，因为，所以, 又因为，，所以，即, 又因为底面ABCD，底面ABCD，所以 BC， 又因为平面PCD，， 所以平面PCD,又因为平面PBC， 所以平面PCD⊥平面PBC. （2）在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以， 所以， 所以. 典例2、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）如图，取AC的中点O，连接OD，，因为，， 所以为等边三角形，所以. 又因为，点O，D分别为线段AC，BC的中点，所以，所以， 因为，，平面，所以平面， ∵平面，则， 又因为，平面ABC，所以平面ABC， 又因为平面，所以平面平面ABC. （2）如图，过B作于点G，由（1）得平面平面ABC， 且平面平面，平面，所以平面， 在直角ABC中，，，，所以，由， 又因为点D为线段BC的中点，所以点D到平面的距离h为点B到平面的距离BG的一半，即. 因为点E，F分别为线段，的中点，所以， 又因为，所以的面积为，， 所以三棱锥的体积为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2）. 解：（1）因为侧面是矩形，则，又因为，，， 即有，则，又，平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面． （2）由（1）知，平面，而平面，则， 因为，于是得，而是边长为2的菱形， 因此是正三角形，， 所以三棱柱的体积. 典例3、答案：（1）见解析； （2） 解：（1）因为在平面中，，故， 因为，故，而， ，平面，故平面. 因为平面，故， 因为，，故， 因为，平面，故平面. 因为分别为棱的中点，故， 而，故， 故四点共面，而平面， 故平面平面. （2）取的中点为，连接， 由（1）可得，， 故，而平面， 故平面，故为直线与平面所成的角， 故， 因为平面，平面，故， 故为等腰直角三角形，而，故，故， 故直角梯形的面积. 又平面，故平面平面， 而为等边三角形，故，且. 因为平面，平面平面， 故平面， 故四棱锥的体积为. 随堂练习：答案： （1）证明见解析. （2）. 解：（1）由题意底面， ,， 则底面为直角梯形， 连接 ，则,故四边形为矩形， 则 ， 所以四边形为正方形，所以 ， 因为侧面为等边三角形，O是 的中点， 所以 ，平面， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面 ， 所以平面， 因为平面 ，所以平面平面. （2）因为底面中， ,， 侧面 为等边三角形，O是的中点， 所以,,, ， 因为平面，平面， 所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以,所以 , 设点到平面的距离分别为， 因为 ，所以 ,即，故， 因为三棱锥的体积为， 所以 所以 ，解得， 所以，即 因为，所以 . 典例4、答案： （1）证明见解析 （2）F为PC的中点 解：（1）连接AC，∵底面ABCD为菱形，， ∴△ABC为正三角形， ∵E是BC的中点，∴， 又， ∴， ∵平面ABCD，平面ABCD，∴， ∵，PA、平面PAD， ∴平面PAD， （2）由（1）知，AE、AD、AP两两垂直，故以AE、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，． 设，． 设平面PCD的法向量为， 则 令，则，， ∴． 设直线AF与平面PCD所成的角为， 则 当时，最大，此时F为PC的中点． 随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）最大值为. 解:（1）证明：连接，则，因为平面，平面，所以； 又因为，所以平面； 因为平面，所以； 同理；因为，所以平面； 因为平面，过直线作平面与平面相交于直线，则； 所以平面；又平面， 所以平面平面； （2）设正方体的棱长为，以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向 建立空间直角坐标系，则，，，，所以，. 设平面的法向量为， 则，即，取，则； 设，则，因为， 所以； 设直线与平面所成的角为， 则， 所以当时，取到最大值为，此时的最大值为. 典例5、答案：（1） （2）当时，直线与平面所成角的正弦值最大. 解：（1），所以，解得， 由于三角形是等边三角形，圆是其外接圆，是圆的直径， 所以垂直平分，， 在三角形中，由正弦定理得，则， 由于平面，所以， 由于， 所以三角形是等腰直角三角形，所以, 所以. （2）由（1）得，设，， 结合圆锥的几何性质，建立如图所示空间直角坐标系，， 设， 则， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则， 由于，当且仅当时等号成立，所以， 即当时，直线与平面所成角的正弦值最大. 随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）. 解:（1）因为，，所以. 因为底面，平面，所以. 又因为，所以. 因为，，，，平面， 所以平面. （2）如图，取的中点E，连接. 由，可得平面， 又由，可得，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. 由，，可得， 所以，，，，. 设点P的坐标为，平面的法向量为. 由，，有， 取，则，，可得平面的法向量. 又由，设直线与平面所成的角为. 由，，， 有. 令，， 有 ， 故当时，，的最大值为， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 典例6、答案：（1）证明见解析 （2） （3） 解：（1）因为平面，面，所以，， 因为，所以两两垂直， 如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，，， 因为，，所以，， 即，，因为，所以平面 （2）由（1）知：平面，取平面的法向量， 因为，， 设平面的一个法向量为， 由，取，则，，所以， 设二面角的平面角为，且为锐角， 则，所以 所以， 整理可得：，解得：，所以的长为. （3）由（2）知的长为，即， 因为为线段上一点，所以，设， 所以， 平面的一个法向量， 则 ， 当时，最小为， 所以最大值为， 综上所述：的最大值为. 随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）. 解: （1）取，中点，，连接，，. 由，得，， 又， 所以平面. 由，知四边形是平行四边形，则， 平面，平面，所以平面， 同理平面，且， 所以平面平面， 所以平面. （2）由， 知四边形是以的等腰梯形. 连接，则， 又平面，所以， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 于是点在底面内的射影在上. （在平面中，，点在以AC为直径的圆上运动） 取中点，则， 于是当底面时，四棱锥的体积最大. 如图，以为原点，分别以射线，，为，，轴的正半轴， 建立空间直角坐标系. 由题意得，，， ，. 所以，，. 设平面的法向量， 由，得， 取，则. 因此，直线与平面所成角的正弦值为. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$